Theorem addcnnul 4454

Description: If cardinal addition is nonempty, then both addends are nonempty. Theorem X.1.20 of [Rosser] p. 526. (Contributed by SF, 18-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
addcnnul	⊢ ((A +c B) ≠ ∅ → (A ≠ ∅ ∧ B ≠ ∅))

Proof of Theorem addcnnul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addceq1 4384	. . . 4 ⊢ (A = ∅ → (A +c B) = (∅ +c B))
2		addccom 4407	. . . . 5 ⊢ (∅ +c B) = (B +c ∅)
3		addcnul1 4453	. . . . 5 ⊢ (B +c ∅) = ∅
4	2, 3	eqtri 2373	. . . 4 ⊢ (∅ +c B) = ∅
5	1, 4	syl6eq 2401	. . 3 ⊢ (A = ∅ → (A +c B) = ∅)
6	5	necon3i 2556	. 2 ⊢ ((A +c B) ≠ ∅ → A ≠ ∅)
7		addceq2 4385	. . . 4 ⊢ (B = ∅ → (A +c B) = (A +c ∅))
8		addcnul1 4453	. . . 4 ⊢ (A +c ∅) = ∅
9	7, 8	syl6eq 2401	. . 3 ⊢ (B = ∅ → (A +c B) = ∅)
10	9	necon3i 2556	. 2 ⊢ ((A +c B) ≠ ∅ → B ≠ ∅)
11	6, 10	jca 518	1 ⊢ ((A +c B) ≠ ∅ → (A ≠ ∅ ∧ B ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 358   = wceq 1642   ≠ wne 2517  ∅c0 3551   +_c cplc 4376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-nul 3552  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-addc 4379

This theorem is referenced by:  preaddccan2  4456  leltfintr  4459  ltfintri  4467  tfinltfinlem1  4501  evenoddnnnul  4515  evenodddisj  4517  oddtfin  4519