Theorem preaddccan2 4456

Description: Cancellation law for natural addition with a non-null condition. (Contributed by SF, 29-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
preaddccan2	⊢ (((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn ) ∧ (M +c N) ≠ ∅) → ((M +c N) = (M +c P) ↔ N = P))

Proof of Theorem preaddccan2

Dummy variables m k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preaddccan2lem1 4455	. . . . 5 ⊢ ((N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn ) → {m ∣ (((m +c N) ≠ ∅ ∧ (m +c N) = (m +c P)) → N = P)} ∈ V)
2		addceq1 4384	. . . . . . . 8 ⊢ (m = 0c → (m +c N) = (0c +c N))
3	2	neeq1d 2530	. . . . . . 7 ⊢ (m = 0c → ((m +c N) ≠ ∅ ↔ (0c +c N) ≠ ∅))
4		addceq1 4384	. . . . . . . 8 ⊢ (m = 0c → (m +c P) = (0c +c P))
5	2, 4	eqeq12d 2367	. . . . . . 7 ⊢ (m = 0c → ((m +c N) = (m +c P) ↔ (0c +c N) = (0c +c P)))
6	3, 5	anbi12d 691	. . . . . 6 ⊢ (m = 0c → (((m +c N) ≠ ∅ ∧ (m +c N) = (m +c P)) ↔ ((0c +c N) ≠ ∅ ∧ (0c +c N) = (0c +c P))))
7	6	imbi1d 308	. . . . 5 ⊢ (m = 0c → ((((m +c N) ≠ ∅ ∧ (m +c N) = (m +c P)) → N = P) ↔ (((0c +c N) ≠ ∅ ∧ (0c +c N) = (0c +c P)) → N = P)))
8		addceq1 4384	. . . . . . . 8 ⊢ (m = k → (m +c N) = (k +c N))
9	8	neeq1d 2530	. . . . . . 7 ⊢ (m = k → ((m +c N) ≠ ∅ ↔ (k +c N) ≠ ∅))
10		addceq1 4384	. . . . . . . 8 ⊢ (m = k → (m +c P) = (k +c P))
11	8, 10	eqeq12d 2367	. . . . . . 7 ⊢ (m = k → ((m +c N) = (m +c P) ↔ (k +c N) = (k +c P)))
12	9, 11	anbi12d 691	. . . . . 6 ⊢ (m = k → (((m +c N) ≠ ∅ ∧ (m +c N) = (m +c P)) ↔ ((k +c N) ≠ ∅ ∧ (k +c N) = (k +c P))))
13	12	imbi1d 308	. . . . 5 ⊢ (m = k → ((((m +c N) ≠ ∅ ∧ (m +c N) = (m +c P)) → N = P) ↔ (((k +c N) ≠ ∅ ∧ (k +c N) = (k +c P)) → N = P)))
14		addceq1 4384	. . . . . . . . 9 ⊢ (m = (k +c 1c) → (m +c N) = ((k +c 1c) +c N))
15		addc32 4417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((k +c 1c) +c N) = ((k +c N) +c 1c)
16	14, 15	syl6eq 2401	. . . . . . . 8 ⊢ (m = (k +c 1c) → (m +c N) = ((k +c N) +c 1c))
17	16	neeq1d 2530	. . . . . . 7 ⊢ (m = (k +c 1c) → ((m +c N) ≠ ∅ ↔ ((k +c N) +c 1c) ≠ ∅))
18		addceq1 4384	. . . . . . . . 9 ⊢ (m = (k +c 1c) → (m +c P) = ((k +c 1c) +c P))
19		addc32 4417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((k +c 1c) +c P) = ((k +c P) +c 1c)
20	18, 19	syl6eq 2401	. . . . . . . 8 ⊢ (m = (k +c 1c) → (m +c P) = ((k +c P) +c 1c))
21	16, 20	eqeq12d 2367	. . . . . . 7 ⊢ (m = (k +c 1c) → ((m +c N) = (m +c P) ↔ ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c)))
22	17, 21	anbi12d 691	. . . . . 6 ⊢ (m = (k +c 1c) → (((m +c N) ≠ ∅ ∧ (m +c N) = (m +c P)) ↔ (((k +c N) +c 1c) ≠ ∅ ∧ ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c))))
23	22	imbi1d 308	. . . . 5 ⊢ (m = (k +c 1c) → ((((m +c N) ≠ ∅ ∧ (m +c N) = (m +c P)) → N = P) ↔ ((((k +c N) +c 1c) ≠ ∅ ∧ ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c)) → N = P)))
24		addceq1 4384	. . . . . . . 8 ⊢ (m = M → (m +c N) = (M +c N))
25	24	neeq1d 2530	. . . . . . 7 ⊢ (m = M → ((m +c N) ≠ ∅ ↔ (M +c N) ≠ ∅))
26		addceq1 4384	. . . . . . . 8 ⊢ (m = M → (m +c P) = (M +c P))
27	24, 26	eqeq12d 2367	. . . . . . 7 ⊢ (m = M → ((m +c N) = (m +c P) ↔ (M +c N) = (M +c P)))
28	25, 27	anbi12d 691	. . . . . 6 ⊢ (m = M → (((m +c N) ≠ ∅ ∧ (m +c N) = (m +c P)) ↔ ((M +c N) ≠ ∅ ∧ (M +c N) = (M +c P))))
29	28	imbi1d 308	. . . . 5 ⊢ (m = M → ((((m +c N) ≠ ∅ ∧ (m +c N) = (m +c P)) → N = P) ↔ (((M +c N) ≠ ∅ ∧ (M +c N) = (M +c P)) → N = P)))
30		addcid2 4408	. . . . . . . . 9 ⊢ (0c +c N) = N
31		addcid2 4408	. . . . . . . . 9 ⊢ (0c +c P) = P
32	30, 31	eqeq12i 2366	. . . . . . . 8 ⊢ ((0c +c N) = (0c +c P) ↔ N = P)
33	32	biimpi 186	. . . . . . 7 ⊢ ((0c +c N) = (0c +c P) → N = P)
34	33	adantl 452	. . . . . 6 ⊢ (((0c +c N) ≠ ∅ ∧ (0c +c N) = (0c +c P)) → N = P)
35	34	a1i 10	. . . . 5 ⊢ ((N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn ) → (((0c +c N) ≠ ∅ ∧ (0c +c N) = (0c +c P)) → N = P))
36		addcnnul 4454	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((k +c N) +c 1c) ≠ ∅ → ((k +c N) ≠ ∅ ∧ 1c ≠ ∅))
37	36	simpld 445	. . . . . . . . 9 ⊢ (((k +c N) +c 1c) ≠ ∅ → (k +c N) ≠ ∅)
38	37	ad2antrl 708	. . . . . . . 8 ⊢ (((k ∈ Nn ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) ∧ (((k +c N) +c 1c) ≠ ∅ ∧ ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c))) → (k +c N) ≠ ∅)
39		simpll 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((k ∈ Nn ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) ∧ (((k +c N) +c 1c) ≠ ∅ ∧ ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c))) → k ∈ Nn )
40		simplrl 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((k ∈ Nn ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) ∧ (((k +c N) +c 1c) ≠ ∅ ∧ ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c))) → N ∈ Nn )
41		nncaddccl 4420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((k ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ) → (k +c N) ∈ Nn )
42	39, 40, 41	syl2anc 642	. . . . . . . . 9 ⊢ (((k ∈ Nn ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) ∧ (((k +c N) +c 1c) ≠ ∅ ∧ ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c))) → (k +c N) ∈ Nn )
43		simplrr 737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((k ∈ Nn ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) ∧ (((k +c N) +c 1c) ≠ ∅ ∧ ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c))) → P ∈ Nn )
44		nncaddccl 4420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((k ∈ Nn ∧ P ∈ Nn ) → (k +c P) ∈ Nn )
45	39, 43, 44	syl2anc 642	. . . . . . . . 9 ⊢ (((k ∈ Nn ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) ∧ (((k +c N) +c 1c) ≠ ∅ ∧ ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c))) → (k +c P) ∈ Nn )
46		simprr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((k ∈ Nn ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) ∧ (((k +c N) +c 1c) ≠ ∅ ∧ ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c))) → ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c))
47		simprl 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((k ∈ Nn ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) ∧ (((k +c N) +c 1c) ≠ ∅ ∧ ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c))) → ((k +c N) +c 1c) ≠ ∅)
48		prepeano4 4452	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((k +c N) ∈ Nn ∧ (k +c P) ∈ Nn ) ∧ (((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c) ∧ ((k +c N) +c 1c) ≠ ∅)) → (k +c N) = (k +c P))
49	42, 45, 46, 47, 48	syl22anc 1183	. . . . . . . 8 ⊢ (((k ∈ Nn ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) ∧ (((k +c N) +c 1c) ≠ ∅ ∧ ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c))) → (k +c N) = (k +c P))
50	38, 49	jca 518	. . . . . . 7 ⊢ (((k ∈ Nn ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) ∧ (((k +c N) +c 1c) ≠ ∅ ∧ ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c))) → ((k +c N) ≠ ∅ ∧ (k +c N) = (k +c P)))
51	50	ex 423	. . . . . 6 ⊢ ((k ∈ Nn ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) → ((((k +c N) +c 1c) ≠ ∅ ∧ ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c)) → ((k +c N) ≠ ∅ ∧ (k +c N) = (k +c P))))
52	51	imim1d 69	. . . . 5 ⊢ ((k ∈ Nn ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) → ((((k +c N) ≠ ∅ ∧ (k +c N) = (k +c P)) → N = P) → ((((k +c N) +c 1c) ≠ ∅ ∧ ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c)) → N = P)))
53	1, 7, 13, 23, 29, 35, 52	findsd 4411	. . . 4 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ (N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn )) → (((M +c N) ≠ ∅ ∧ (M +c N) = (M +c P)) → N = P))
54	53	3impb 1147	. . 3 ⊢ ((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn ) → (((M +c N) ≠ ∅ ∧ (M +c N) = (M +c P)) → N = P))
55	54	expdimp 426	. 2 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn ) ∧ (M +c N) ≠ ∅) → ((M +c N) = (M +c P) → N = P))
56		addceq2 4385	. 2 ⊢ (N = P → (M +c N) = (M +c P))
57	55, 56	impbid1 194	1 ⊢ (((M ∈ Nn ∧ N ∈ Nn ∧ P ∈ Nn ) ∧ (M +c N) ≠ ∅) → ((M +c N) = (M +c P) ↔ N = P))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   ∧ w3a 934   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2517  Vcvv 2860  ∅c0 3551  1_cc1c 4135   Nn cnnc 4374  0_cc0c 4375   +_c cplc 4376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-sbc 3048  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-nul 3552  df-if 3664  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-uni 3893  df-int 3928  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-uni1 4139  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195  df-idk 4196  df-0c 4378  df-addc 4379  df-nnc 4380

This theorem is referenced by:  ltfinirr  4458  vfin1cltv  4548  addccan2  4560