New Foundations Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  NFE Home  >  Th. List  >  preaddccan2 GIF version

 Description: Cancellation law for natural addition with a non-null condition. (Contributed by SF, 29-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
preaddccan2 (((M Nn N Nn P Nn ) (M +c N) ≠ ) → ((M +c N) = (M +c P) ↔ N = P))

Dummy variables m k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 preaddccan2lem1 4454 . . . . 5 ((N Nn P Nn ) → {m (((m +c N) ≠ (m +c N) = (m +c P)) → N = P)} V)
2 addceq1 4383 . . . . . . . 8 (m = 0c → (m +c N) = (0c +c N))
32neeq1d 2529 . . . . . . 7 (m = 0c → ((m +c N) ≠ ↔ (0c +c N) ≠ ))
4 addceq1 4383 . . . . . . . 8 (m = 0c → (m +c P) = (0c +c P))
52, 4eqeq12d 2367 . . . . . . 7 (m = 0c → ((m +c N) = (m +c P) ↔ (0c +c N) = (0c +c P)))
63, 5anbi12d 691 . . . . . 6 (m = 0c → (((m +c N) ≠ (m +c N) = (m +c P)) ↔ ((0c +c N) ≠ (0c +c N) = (0c +c P))))
76imbi1d 308 . . . . 5 (m = 0c → ((((m +c N) ≠ (m +c N) = (m +c P)) → N = P) ↔ (((0c +c N) ≠ (0c +c N) = (0c +c P)) → N = P)))
8 addceq1 4383 . . . . . . . 8 (m = k → (m +c N) = (k +c N))
98neeq1d 2529 . . . . . . 7 (m = k → ((m +c N) ≠ ↔ (k +c N) ≠ ))
10 addceq1 4383 . . . . . . . 8 (m = k → (m +c P) = (k +c P))
118, 10eqeq12d 2367 . . . . . . 7 (m = k → ((m +c N) = (m +c P) ↔ (k +c N) = (k +c P)))
129, 11anbi12d 691 . . . . . 6 (m = k → (((m +c N) ≠ (m +c N) = (m +c P)) ↔ ((k +c N) ≠ (k +c N) = (k +c P))))
1312imbi1d 308 . . . . 5 (m = k → ((((m +c N) ≠ (m +c N) = (m +c P)) → N = P) ↔ (((k +c N) ≠ (k +c N) = (k +c P)) → N = P)))
14 addceq1 4383 . . . . . . . . 9 (m = (k +c 1c) → (m +c N) = ((k +c 1c) +c N))
15 addc32 4416 . . . . . . . . 9 ((k +c 1c) +c N) = ((k +c N) +c 1c)
1614, 15syl6eq 2401 . . . . . . . 8 (m = (k +c 1c) → (m +c N) = ((k +c N) +c 1c))
1716neeq1d 2529 . . . . . . 7 (m = (k +c 1c) → ((m +c N) ≠ ↔ ((k +c N) +c 1c) ≠ ))
18 addceq1 4383 . . . . . . . . 9 (m = (k +c 1c) → (m +c P) = ((k +c 1c) +c P))
19 addc32 4416 . . . . . . . . 9 ((k +c 1c) +c P) = ((k +c P) +c 1c)
2018, 19syl6eq 2401 . . . . . . . 8 (m = (k +c 1c) → (m +c P) = ((k +c P) +c 1c))
2116, 20eqeq12d 2367 . . . . . . 7 (m = (k +c 1c) → ((m +c N) = (m +c P) ↔ ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c)))
2217, 21anbi12d 691 . . . . . 6 (m = (k +c 1c) → (((m +c N) ≠ (m +c N) = (m +c P)) ↔ (((k +c N) +c 1c) ≠ ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c))))
2322imbi1d 308 . . . . 5 (m = (k +c 1c) → ((((m +c N) ≠ (m +c N) = (m +c P)) → N = P) ↔ ((((k +c N) +c 1c) ≠ ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c)) → N = P)))
24 addceq1 4383 . . . . . . . 8 (m = M → (m +c N) = (M +c N))
2524neeq1d 2529 . . . . . . 7 (m = M → ((m +c N) ≠ ↔ (M +c N) ≠ ))
26 addceq1 4383 . . . . . . . 8 (m = M → (m +c P) = (M +c P))
2724, 26eqeq12d 2367 . . . . . . 7 (m = M → ((m +c N) = (m +c P) ↔ (M +c N) = (M +c P)))
2825, 27anbi12d 691 . . . . . 6 (m = M → (((m +c N) ≠ (m +c N) = (m +c P)) ↔ ((M +c N) ≠ (M +c N) = (M +c P))))
2928imbi1d 308 . . . . 5 (m = M → ((((m +c N) ≠ (m +c N) = (m +c P)) → N = P) ↔ (((M +c N) ≠ (M +c N) = (M +c P)) → N = P)))
30 addcid2 4407 . . . . . . . . 9 (0c +c N) = N
31 addcid2 4407 . . . . . . . . 9 (0c +c P) = P
3230, 31eqeq12i 2366 . . . . . . . 8 ((0c +c N) = (0c +c P) ↔ N = P)
3332biimpi 186 . . . . . . 7 ((0c +c N) = (0c +c P) → N = P)
3433adantl 452 . . . . . 6 (((0c +c N) ≠ (0c +c N) = (0c +c P)) → N = P)
3534a1i 10 . . . . 5 ((N Nn P Nn ) → (((0c +c N) ≠ (0c +c N) = (0c +c P)) → N = P))
36 addcnnul 4453 . . . . . . . . . 10 (((k +c N) +c 1c) ≠ → ((k +c N) ≠ 1c))
3736simpld 445 . . . . . . . . 9 (((k +c N) +c 1c) ≠ → (k +c N) ≠ )
3837ad2antrl 708 . . . . . . . 8 (((k Nn (N Nn P Nn )) (((k +c N) +c 1c) ≠ ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c))) → (k +c N) ≠ )
39 simpll 730 . . . . . . . . . 10 (((k Nn (N Nn P Nn )) (((k +c N) +c 1c) ≠ ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c))) → k Nn )
40 simplrl 736 . . . . . . . . . 10 (((k Nn (N Nn P Nn )) (((k +c N) +c 1c) ≠ ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c))) → N Nn )
41 nncaddccl 4419 . . . . . . . . . 10 ((k Nn N Nn ) → (k +c N) Nn )
4239, 40, 41syl2anc 642 . . . . . . . . 9 (((k Nn (N Nn P Nn )) (((k +c N) +c 1c) ≠ ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c))) → (k +c N) Nn )
43 simplrr 737 . . . . . . . . . 10 (((k Nn (N Nn P Nn )) (((k +c N) +c 1c) ≠ ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c))) → P Nn )
44 nncaddccl 4419 . . . . . . . . . 10 ((k Nn P Nn ) → (k +c P) Nn )
4539, 43, 44syl2anc 642 . . . . . . . . 9 (((k Nn (N Nn P Nn )) (((k +c N) +c 1c) ≠ ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c))) → (k +c P) Nn )
46 simprr 733 . . . . . . . . 9 (((k Nn (N Nn P Nn )) (((k +c N) +c 1c) ≠ ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c))) → ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c))
47 simprl 732 . . . . . . . . 9 (((k Nn (N Nn P Nn )) (((k +c N) +c 1c) ≠ ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c))) → ((k +c N) +c 1c) ≠ )
48 prepeano4 4451 . . . . . . . . 9 ((((k +c N) Nn (k +c P) Nn ) (((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c) ((k +c N) +c 1c) ≠ )) → (k +c N) = (k +c P))
4942, 45, 46, 47, 48syl22anc 1183 . . . . . . . 8 (((k Nn (N Nn P Nn )) (((k +c N) +c 1c) ≠ ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c))) → (k +c N) = (k +c P))
5038, 49jca 518 . . . . . . 7 (((k Nn (N Nn P Nn )) (((k +c N) +c 1c) ≠ ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c))) → ((k +c N) ≠ (k +c N) = (k +c P)))
5150ex 423 . . . . . 6 ((k Nn (N Nn P Nn )) → ((((k +c N) +c 1c) ≠ ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c)) → ((k +c N) ≠ (k +c N) = (k +c P))))
5251imim1d 69 . . . . 5 ((k Nn (N Nn P Nn )) → ((((k +c N) ≠ (k +c N) = (k +c P)) → N = P) → ((((k +c N) +c 1c) ≠ ((k +c N) +c 1c) = ((k +c P) +c 1c)) → N = P)))
531, 7, 13, 23, 29, 35, 52findsd 4410 . . . 4 ((M Nn (N Nn P Nn )) → (((M +c N) ≠ (M +c N) = (M +c P)) → N = P))
54533impb 1147 . . 3 ((M Nn N Nn P Nn ) → (((M +c N) ≠ (M +c N) = (M +c P)) → N = P))
5554expdimp 426 . 2 (((M Nn N Nn P Nn ) (M +c N) ≠ ) → ((M +c N) = (M +c P) → N = P))
56 addceq2 4384 . 2 (N = P → (M +c N) = (M +c P))
5755, 56impbid1 194 1 (((M Nn N Nn P Nn ) (M +c N) ≠ ) → ((M +c N) = (M +c P) ↔ N = P))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358   ∧ w3a 934   = wceq 1642   ∈ wcel 1710   ≠ wne 2516  Vcvv 2859  ∅c0 3550  1cc1c 4134   Nn cnnc 4373  0cc0c 4374   +c cplc 4375 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-if 3663  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-uni 3892  df-int 3927  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-uni1 4138  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-idk 4195  df-0c 4377  df-addc 4378  df-nnc 4379 This theorem is referenced by:  ltfinirr  4457  vfin1cltv  4547  addccan2  4559
 Copyright terms: Public domain W3C validator