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Theorem preaddccan2lem1 4454
 Description: Lemma for preaddccan2 4455. Establish stratification for the induction step. (Contributed by SF, 30-Mar-2021.)
Assertion
Ref Expression
preaddccan2lem1 ((N Nn P Nn ) → {m (((m +c N) ≠ (m +c N) = (m +c P)) → N = P)} V)
Distinct variable groups:   m,N   P,m

Proof of Theorem preaddccan2lem1
Dummy variables n p t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addceq2 4384 . . . . . . 7 (n = N → (m +c n) = (m +c N))
21neeq1d 2529 . . . . . 6 (n = N → ((m +c n) ≠ ↔ (m +c N) ≠ ))
31eqeq1d 2361 . . . . . 6 (n = N → ((m +c n) = (m +c p) ↔ (m +c N) = (m +c p)))
42, 3anbi12d 691 . . . . 5 (n = N → (((m +c n) ≠ (m +c n) = (m +c p)) ↔ ((m +c N) ≠ (m +c N) = (m +c p))))
54imbi1d 308 . . . 4 (n = N → ((((m +c n) ≠ (m +c n) = (m +c p)) → N = P) ↔ (((m +c N) ≠ (m +c N) = (m +c p)) → N = P)))
65abbidv 2467 . . 3 (n = N → {m (((m +c n) ≠ (m +c n) = (m +c p)) → N = P)} = {m (((m +c N) ≠ (m +c N) = (m +c p)) → N = P)})
76eleq1d 2419 . 2 (n = N → ({m (((m +c n) ≠ (m +c n) = (m +c p)) → N = P)} V ↔ {m (((m +c N) ≠ (m +c N) = (m +c p)) → N = P)} V))
8 addceq2 4384 . . . . . . 7 (p = P → (m +c p) = (m +c P))
98eqeq2d 2364 . . . . . 6 (p = P → ((m +c N) = (m +c p) ↔ (m +c N) = (m +c P)))
109anbi2d 684 . . . . 5 (p = P → (((m +c N) ≠ (m +c N) = (m +c p)) ↔ ((m +c N) ≠ (m +c N) = (m +c P))))
1110imbi1d 308 . . . 4 (p = P → ((((m +c N) ≠ (m +c N) = (m +c p)) → N = P) ↔ (((m +c N) ≠ (m +c N) = (m +c P)) → N = P)))
1211abbidv 2467 . . 3 (p = P → {m (((m +c N) ≠ (m +c N) = (m +c p)) → N = P)} = {m (((m +c N) ≠ (m +c N) = (m +c P)) → N = P)})
1312eleq1d 2419 . 2 (p = P → ({m (((m +c N) ≠ (m +c N) = (m +c p)) → N = P)} V ↔ {m (((m +c N) ≠ (m +c N) = (m +c P)) → N = P)} V))
14 imor 401 . . . . 5 ((((m +c n) ≠ (m +c n) = (m +c p)) → N = P) ↔ (¬ ((m +c n) ≠ (m +c n) = (m +c p)) N = P))
1514abbii 2465 . . . 4 {m (((m +c n) ≠ (m +c n) = (m +c p)) → N = P)} = {m (¬ ((m +c n) ≠ (m +c n) = (m +c p)) N = P)}
16 unab 3521 . . . 4 ({m ¬ ((m +c n) ≠ (m +c n) = (m +c p))} ∪ {m N = P}) = {m (¬ ((m +c n) ≠ (m +c n) = (m +c p)) N = P)}
1715, 16eqtr4i 2376 . . 3 {m (((m +c n) ≠ (m +c n) = (m +c p)) → N = P)} = ({m ¬ ((m +c n) ≠ (m +c n) = (m +c p))} ∪ {m N = P})
18 vex 2862 . . . . . . . 8 m V
1918elcompl 3225 . . . . . . 7 (m ∼ ( ∼ (kImagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) “k {}) ∩ (k(Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) ∩ Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p)) “k V)) ↔ ¬ m ( ∼ (kImagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) “k {}) ∩ (k(Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) ∩ Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p)) “k V)))
20 elin 3219 . . . . . . . . 9 (m ( ∼ (kImagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) “k {}) ∩ (k(Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) ∩ Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p)) “k V)) ↔ (m ∼ (kImagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) “k {}) m (k(Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) ∩ Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p)) “k V)))
21 0ex 4110 . . . . . . . . . . . . . 14 V
2221, 18opkelcnvk 4250 . . . . . . . . . . . . 13 (⟪, m kImagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) ↔ ⟪m, Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n))
2321, 18elimaksn 4283 . . . . . . . . . . . . 13 (m (kImagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) “k {}) ↔ ⟪, m kImagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n))
24 dfaddc2 4381 . . . . . . . . . . . . . . 15 (m +c n) = ((( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) “k m)
2524eqeq2i 2363 . . . . . . . . . . . . . 14 ( = (m +c n) ↔ = ((( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) “k m))
26 eqcom 2355 . . . . . . . . . . . . . 14 ((m +c n) = = (m +c n))
2718, 21opkelimagek 4272 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟪m, Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) ↔ = ((( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) “k m))
2825, 26, 273bitr4i 268 . . . . . . . . . . . . 13 ((m +c n) = ↔ ⟪m, Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n))
2922, 23, 283bitr4i 268 . . . . . . . . . . . 12 (m (kImagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) “k {}) ↔ (m +c n) = )
3029notbii 287 . . . . . . . . . . 11 m (kImagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) “k {}) ↔ ¬ (m +c n) = )
3118elcompl 3225 . . . . . . . . . . 11 (m ∼ (kImagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) “k {}) ↔ ¬ m (kImagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) “k {}))
32 df-ne 2518 . . . . . . . . . . 11 ((m +c n) ≠ ↔ ¬ (m +c n) = )
3330, 31, 323bitr4i 268 . . . . . . . . . 10 (m ∼ (kImagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) “k {}) ↔ (m +c n) ≠ )
34 rexv 2873 . . . . . . . . . . . 12 (t V ⟪t, m k(Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) ∩ Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p)) ↔ tt, m k(Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) ∩ Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p)))
35 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . . 15 t V
3635, 18opkelcnvk 4250 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟪t, m k(Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) ∩ Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p)) ↔ ⟪m, t (Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) ∩ Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p)))
37 elin 3219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⟪m, t (Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) ∩ Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p)) ↔ (⟪m, t Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) m, t Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p)))
3818, 35opkelimagek 4272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟪m, t Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) ↔ t = ((( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) “k m))
3924eqeq2i 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (t = (m +c n) ↔ t = ((( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) “k m))
4038, 39bitr4i 243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟪m, t Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) ↔ t = (m +c n))
4118, 35opkelimagek 4272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⟪m, t Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p) ↔ t = ((( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p) “k m))
42 dfaddc2 4381 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (m +c p) = ((( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p) “k m)
4342eqeq2i 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (t = (m +c p) ↔ t = ((( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p) “k m))
4441, 43bitr4i 243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⟪m, t Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p) ↔ t = (m +c p))
4540, 44anbi12i 678 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⟪m, t Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) m, t Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p)) ↔ (t = (m +c n) t = (m +c p)))
4637, 45bitri 240 . . . . . . . . . . . . . 14 (⟪m, t (Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) ∩ Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p)) ↔ (t = (m +c n) t = (m +c p)))
4736, 46bitri 240 . . . . . . . . . . . . 13 (⟪t, m k(Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) ∩ Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p)) ↔ (t = (m +c n) t = (m +c p)))
4847exbii 1582 . . . . . . . . . . . 12 (tt, m k(Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) ∩ Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p)) ↔ t(t = (m +c n) t = (m +c p)))
4934, 48bitri 240 . . . . . . . . . . 11 (t V ⟪t, m k(Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) ∩ Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p)) ↔ t(t = (m +c n) t = (m +c p)))
5018elimak 4259 . . . . . . . . . . 11 (m (k(Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) ∩ Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p)) “k V) ↔ t V ⟪t, m k(Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) ∩ Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p)))
51 vex 2862 . . . . . . . . . . . . 13 n V
5218, 51addcex 4394 . . . . . . . . . . . 12 (m +c n) V
5352eqvinc 2966 . . . . . . . . . . 11 ((m +c n) = (m +c p) ↔ t(t = (m +c n) t = (m +c p)))
5449, 50, 533bitr4i 268 . . . . . . . . . 10 (m (k(Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) ∩ Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p)) “k V) ↔ (m +c n) = (m +c p))
5533, 54anbi12i 678 . . . . . . . . 9 ((m ∼ (kImagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) “k {}) m (k(Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) ∩ Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p)) “k V)) ↔ ((m +c n) ≠ (m +c n) = (m +c p)))
5620, 55bitri 240 . . . . . . . 8 (m ( ∼ (kImagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) “k {}) ∩ (k(Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) ∩ Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p)) “k V)) ↔ ((m +c n) ≠ (m +c n) = (m +c p)))
5756notbii 287 . . . . . . 7 m ( ∼ (kImagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) “k {}) ∩ (k(Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) ∩ Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p)) “k V)) ↔ ¬ ((m +c n) ≠ (m +c n) = (m +c p)))
5819, 57bitri 240 . . . . . 6 (m ∼ ( ∼ (kImagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) “k {}) ∩ (k(Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) ∩ Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p)) “k V)) ↔ ¬ ((m +c n) ≠ (m +c n) = (m +c p)))
5958abbi2i 2464 . . . . 5 ∼ ( ∼ (kImagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) “k {}) ∩ (k(Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) ∩ Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p)) “k V)) = {m ¬ ((m +c n) ≠ (m +c n) = (m +c p))}
60 addcexlem 4382 . . . . . . . . . . . 12 ( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) V
6151pw1ex 4303 . . . . . . . . . . . . 13 1n V
6261pw1ex 4303 . . . . . . . . . . . 12 11n V
6360, 62imakex 4300 . . . . . . . . . . 11 (( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) V
6463imagekex 4312 . . . . . . . . . 10 Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) V
6564cnvkex 4287 . . . . . . . . 9 kImagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) V
66 snex 4111 . . . . . . . . 9 {} V
6765, 66imakex 4300 . . . . . . . 8 (kImagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) “k {}) V
6867complex 4104 . . . . . . 7 ∼ (kImagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) “k {}) V
69 vex 2862 . . . . . . . . . . . . . 14 p V
7069pw1ex 4303 . . . . . . . . . . . . 13 1p V
7170pw1ex 4303 . . . . . . . . . . . 12 11p V
7260, 71imakex 4300 . . . . . . . . . . 11 (( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p) V
7372imagekex 4312 . . . . . . . . . 10 Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p) V
7464, 73inex 4105 . . . . . . . . 9 (Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) ∩ Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p)) V
7574cnvkex 4287 . . . . . . . 8 k(Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) ∩ Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p)) V
76 vvex 4109 . . . . . . . 8 V V
7775, 76imakex 4300 . . . . . . 7 (k(Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) ∩ Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p)) “k V) V
7868, 77inex 4105 . . . . . 6 ( ∼ (kImagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) “k {}) ∩ (k(Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) ∩ Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p)) “k V)) V
7978complex 4104 . . . . 5 ∼ ( ∼ (kImagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) “k {}) ∩ (k(Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11n) ∩ Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k SkIns2k Sk ) “k 111c) (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k SkIns3k SIk SIk Sk )) “k 11111c)) “k 11p)) “k V)) V
8059, 79eqeltrri 2424 . . . 4 {m ¬ ((m +c n) ≠ (m +c n) = (m +c p))} V
81 abexv 4324 . . . 4 {m N = P} V
8280, 81unex 4106 . . 3 ({m ¬ ((m +c n) ≠ (m +c n) = (m +c p))} ∪ {m N = P}) V
8317, 82eqeltri 2423 . 2 {m (((m +c n) ≠ (m +c n) = (m +c p)) → N = P)} V
847, 13, 83vtocl2g 2918 1 ((N Nn P Nn ) → {m (((m +c N) ≠ (m +c N) = (m +c P)) → N = P)} V)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 357   ∧ wa 358  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  {cab 2339   ≠ wne 2516  ∃wrex 2615  Vcvv 2859   ∼ ccompl 3205   ∖ cdif 3206   ∪ cun 3207   ∩ cin 3208   ⊕ csymdif 3209  ∅c0 3550  {csn 3737  ⟪copk 4057  1cc1c 4134  ℘1cpw1 4135  ◡kccnvk 4175   Ins2k cins2k 4176   Ins3k cins3k 4177   “k cimak 4179   SIk csik 4181  Imagekcimagek 4182   Sk cssetk 4183   Nn cnnc 4373   +c cplc 4375 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4078  ax-xp 4079  ax-cnv 4080  ax-1c 4081  ax-sset 4082  ax-si 4083  ax-ins2 4084  ax-ins3 4085  ax-typlower 4086  ax-sn 4087 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2478  df-ne 2518  df-ral 2619  df-rex 2620  df-v 2861  df-sbc 3047  df-nin 3211  df-compl 3212  df-in 3213  df-un 3214  df-dif 3215  df-symdif 3216  df-ss 3259  df-nul 3551  df-pw 3724  df-sn 3741  df-pr 3742  df-opk 4058  df-1c 4136  df-pw1 4137  df-xpk 4185  df-cnvk 4186  df-ins2k 4187  df-ins3k 4188  df-imak 4189  df-cok 4190  df-p6 4191  df-sik 4192  df-ssetk 4193  df-imagek 4194  df-addc 4378 This theorem is referenced by:  preaddccan2  4455
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