Theorem euind 3023

Description: Existential uniqueness via an indirect equality. (Contributed by NM, 11-Oct-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
euind.1	⊢ B ∈ V
euind.2	⊢ (x = y → (φ ↔ ψ))
euind.3	⊢ (x = y → A = B)

Assertion

Ref	Expression
euind	⊢ ((∀x∀y((φ ∧ ψ) → A = B) ∧ ∃xφ) → ∃!z∀x(φ → z = A))

Distinct variable groups:   y,z,φ   x,z,ψ   y,A,z   x,B,z   x,y

Allowed substitution hints:   φ(x)   ψ(y)   A(x)   B(y)

Proof of Theorem euind

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euind.2	. . . . . 6 ⊢ (x = y → (φ ↔ ψ))
2	1	cbvexv 2003	. . . . 5 ⊢ (∃xφ ↔ ∃yψ)
3		euind.1	. . . . . . . . 9 ⊢ B ∈ V
4	3	isseti 2865	. . . . . . . 8 ⊢ ∃z z = B
5	4	biantrur 492	. . . . . . 7 ⊢ (ψ ↔ (∃z z = B ∧ ψ))
6	5	exbii 1582	. . . . . 6 ⊢ (∃yψ ↔ ∃y(∃z z = B ∧ ψ))
7		19.41v 1901	. . . . . . . 8 ⊢ (∃z(z = B ∧ ψ) ↔ (∃z z = B ∧ ψ))
8	7	exbii 1582	. . . . . . 7 ⊢ (∃y∃z(z = B ∧ ψ) ↔ ∃y(∃z z = B ∧ ψ))
9		excom 1741	. . . . . . 7 ⊢ (∃y∃z(z = B ∧ ψ) ↔ ∃z∃y(z = B ∧ ψ))
10	8, 9	bitr3i 242	. . . . . 6 ⊢ (∃y(∃z z = B ∧ ψ) ↔ ∃z∃y(z = B ∧ ψ))
11	6, 10	bitri 240	. . . . 5 ⊢ (∃yψ ↔ ∃z∃y(z = B ∧ ψ))
12	2, 11	bitri 240	. . . 4 ⊢ (∃xφ ↔ ∃z∃y(z = B ∧ ψ))
13		eqeq2 2362	. . . . . . . . 9 ⊢ (A = B → (z = A ↔ z = B))
14	13	imim2i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (((φ ∧ ψ) → A = B) → ((φ ∧ ψ) → (z = A ↔ z = B)))
15		bi2 189	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((z = A ↔ z = B) → (z = B → z = A))
16	15	imim2i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (((φ ∧ ψ) → (z = A ↔ z = B)) → ((φ ∧ ψ) → (z = B → z = A)))
17		an31 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((φ ∧ ψ) ∧ z = B) ↔ ((z = B ∧ ψ) ∧ φ))
18	17	imbi1i 315	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((φ ∧ ψ) ∧ z = B) → z = A) ↔ (((z = B ∧ ψ) ∧ φ) → z = A))
19		impexp 433	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((φ ∧ ψ) ∧ z = B) → z = A) ↔ ((φ ∧ ψ) → (z = B → z = A)))
20		impexp 433	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((z = B ∧ ψ) ∧ φ) → z = A) ↔ ((z = B ∧ ψ) → (φ → z = A)))
21	18, 19, 20	3bitr3i 266	. . . . . . . . 9 ⊢ (((φ ∧ ψ) → (z = B → z = A)) ↔ ((z = B ∧ ψ) → (φ → z = A)))
22	16, 21	sylib 188	. . . . . . . 8 ⊢ (((φ ∧ ψ) → (z = A ↔ z = B)) → ((z = B ∧ ψ) → (φ → z = A)))
23	14, 22	syl 15	. . . . . . 7 ⊢ (((φ ∧ ψ) → A = B) → ((z = B ∧ ψ) → (φ → z = A)))
24	23	2alimi 1560	. . . . . 6 ⊢ (∀x∀y((φ ∧ ψ) → A = B) → ∀x∀y((z = B ∧ ψ) → (φ → z = A)))
25		19.23v 1891	. . . . . . . 8 ⊢ (∀y((z = B ∧ ψ) → (φ → z = A)) ↔ (∃y(z = B ∧ ψ) → (φ → z = A)))
26	25	albii 1566	. . . . . . 7 ⊢ (∀x∀y((z = B ∧ ψ) → (φ → z = A)) ↔ ∀x(∃y(z = B ∧ ψ) → (φ → z = A)))
27		19.21v 1890	. . . . . . 7 ⊢ (∀x(∃y(z = B ∧ ψ) → (φ → z = A)) ↔ (∃y(z = B ∧ ψ) → ∀x(φ → z = A)))
28	26, 27	bitri 240	. . . . . 6 ⊢ (∀x∀y((z = B ∧ ψ) → (φ → z = A)) ↔ (∃y(z = B ∧ ψ) → ∀x(φ → z = A)))
29	24, 28	sylib 188	. . . . 5 ⊢ (∀x∀y((φ ∧ ψ) → A = B) → (∃y(z = B ∧ ψ) → ∀x(φ → z = A)))
30	29	eximdv 1622	. . . 4 ⊢ (∀x∀y((φ ∧ ψ) → A = B) → (∃z∃y(z = B ∧ ψ) → ∃z∀x(φ → z = A)))
31	12, 30	syl5bi 208	. . 3 ⊢ (∀x∀y((φ ∧ ψ) → A = B) → (∃xφ → ∃z∀x(φ → z = A)))
32	31	imp 418	. 2 ⊢ ((∀x∀y((φ ∧ ψ) → A = B) ∧ ∃xφ) → ∃z∀x(φ → z = A))
33		pm4.24 624	. . . . . . . 8 ⊢ (φ ↔ (φ ∧ φ))
34	33	biimpi 186	. . . . . . 7 ⊢ (φ → (φ ∧ φ))
35		prth 554	. . . . . . 7 ⊢ (((φ → z = A) ∧ (φ → w = A)) → ((φ ∧ φ) → (z = A ∧ w = A)))
36		eqtr3 2372	. . . . . . 7 ⊢ ((z = A ∧ w = A) → z = w)
37	34, 35, 36	syl56 30	. . . . . 6 ⊢ (((φ → z = A) ∧ (φ → w = A)) → (φ → z = w))
38	37	alanimi 1562	. . . . 5 ⊢ ((∀x(φ → z = A) ∧ ∀x(φ → w = A)) → ∀x(φ → z = w))
39		19.23v 1891	. . . . . . 7 ⊢ (∀x(φ → z = w) ↔ (∃xφ → z = w))
40	39	biimpi 186	. . . . . 6 ⊢ (∀x(φ → z = w) → (∃xφ → z = w))
41	40	com12 27	. . . . 5 ⊢ (∃xφ → (∀x(φ → z = w) → z = w))
42	38, 41	syl5 28	. . . 4 ⊢ (∃xφ → ((∀x(φ → z = A) ∧ ∀x(φ → w = A)) → z = w))
43	42	alrimivv 1632	. . 3 ⊢ (∃xφ → ∀z∀w((∀x(φ → z = A) ∧ ∀x(φ → w = A)) → z = w))
44	43	adantl 452	. 2 ⊢ ((∀x∀y((φ ∧ ψ) → A = B) ∧ ∃xφ) → ∀z∀w((∀x(φ → z = A) ∧ ∀x(φ → w = A)) → z = w))
45		eqeq1 2359	. . . . 5 ⊢ (z = w → (z = A ↔ w = A))
46	45	imbi2d 307	. . . 4 ⊢ (z = w → ((φ → z = A) ↔ (φ → w = A)))
47	46	albidv 1625	. . 3 ⊢ (z = w → (∀x(φ → z = A) ↔ ∀x(φ → w = A)))
48	47	eu4 2243	. 2 ⊢ (∃!z∀x(φ → z = A) ↔ (∃z∀x(φ → z = A) ∧ ∀z∀w((∀x(φ → z = A) ∧ ∀x(φ → w = A)) → z = w)))
49	32, 44, 48	sylanbrc 645	1 ⊢ ((∀x∀y((φ ∧ ψ) → A = B) ∧ ∃xφ) → ∃!z∀x(φ → z = A))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 176   ∧ wa 358  ∀wal 1540  ∃wex 1541   = wceq 1642   ∈ wcel 1710  ∃!weu 2204  Vcvv 2859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2208  df-mo 2209  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-v 2861

This theorem is referenced by: (None)