Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | euind.2 |
. . . . . 6
⊢ (x = y →
(φ ↔ ψ)) |
2 | 1 | cbvexv 2003 |
. . . . 5
⊢ (∃xφ ↔ ∃yψ) |
3 | | euind.1 |
. . . . . . . . 9
⊢ B ∈
V |
4 | 3 | isseti 2865 |
. . . . . . . 8
⊢ ∃z z = B |
5 | 4 | biantrur 492 |
. . . . . . 7
⊢ (ψ ↔ (∃z z = B ∧ ψ)) |
6 | 5 | exbii 1582 |
. . . . . 6
⊢ (∃yψ ↔ ∃y(∃z z = B ∧ ψ)) |
7 | | 19.41v 1901 |
. . . . . . . 8
⊢ (∃z(z = B ∧ ψ) ↔
(∃z
z = B
∧ ψ)) |
8 | 7 | exbii 1582 |
. . . . . . 7
⊢ (∃y∃z(z = B ∧ ψ) ↔
∃y(∃z z = B ∧ ψ)) |
9 | | excom 1741 |
. . . . . . 7
⊢ (∃y∃z(z = B ∧ ψ) ↔
∃z∃y(z = B ∧ ψ)) |
10 | 8, 9 | bitr3i 242 |
. . . . . 6
⊢ (∃y(∃z z = B ∧ ψ) ↔
∃z∃y(z = B ∧ ψ)) |
11 | 6, 10 | bitri 240 |
. . . . 5
⊢ (∃yψ ↔ ∃z∃y(z = B ∧ ψ)) |
12 | 2, 11 | bitri 240 |
. . . 4
⊢ (∃xφ ↔ ∃z∃y(z = B ∧ ψ)) |
13 | | eqeq2 2362 |
. . . . . . . . 9
⊢ (A = B →
(z = A
↔ z = B)) |
14 | 13 | imim2i 13 |
. . . . . . . 8
⊢ (((φ ∧ ψ) → A = B) →
((φ ∧
ψ) → (z = A ↔
z = B))) |
15 | | bi2 189 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((z = A ↔
z = B)
→ (z = B → z =
A)) |
16 | 15 | imim2i 13 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((φ ∧ ψ) → (z = A ↔
z = B))
→ ((φ ∧ ψ) →
(z = B
→ z = A))) |
17 | | an31 775 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((φ ∧ ψ) ∧
z = B)
↔ ((z = B ∧ ψ) ∧ φ)) |
18 | 17 | imbi1i 315 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((φ ∧ ψ) ∧
z = B)
→ z = A) ↔ (((z =
B ∧ ψ) ∧ φ) → z = A)) |
19 | | impexp 433 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((φ ∧ ψ) ∧
z = B)
→ z = A) ↔ ((φ ∧ ψ) → (z = B →
z = A))) |
20 | | impexp 433 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((z = B ∧ ψ) ∧ φ) →
z = A)
↔ ((z = B ∧ ψ) → (φ → z = A))) |
21 | 18, 19, 20 | 3bitr3i 266 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((φ ∧ ψ) → (z = B →
z = A))
↔ ((z = B ∧ ψ) → (φ → z = A))) |
22 | 16, 21 | sylib 188 |
. . . . . . . 8
⊢ (((φ ∧ ψ) → (z = A ↔
z = B))
→ ((z = B ∧ ψ) → (φ → z = A))) |
23 | 14, 22 | syl 15 |
. . . . . . 7
⊢ (((φ ∧ ψ) → A = B) →
((z = B
∧ ψ)
→ (φ → z = A))) |
24 | 23 | 2alimi 1560 |
. . . . . 6
⊢ (∀x∀y((φ ∧ ψ) → A = B) →
∀x∀y((z = B ∧ ψ) →
(φ → z = A))) |
25 | | 19.23v 1891 |
. . . . . . . 8
⊢ (∀y((z = B ∧ ψ) →
(φ → z = A)) ↔
(∃y(z = B ∧ ψ) → (φ → z = A))) |
26 | 25 | albii 1566 |
. . . . . . 7
⊢ (∀x∀y((z = B ∧ ψ) →
(φ → z = A)) ↔
∀x(∃y(z = B ∧ ψ) → (φ → z = A))) |
27 | | 19.21v 1890 |
. . . . . . 7
⊢ (∀x(∃y(z = B ∧ ψ) →
(φ → z = A)) ↔
(∃y(z = B ∧ ψ) → ∀x(φ → z = A))) |
28 | 26, 27 | bitri 240 |
. . . . . 6
⊢ (∀x∀y((z = B ∧ ψ) →
(φ → z = A)) ↔
(∃y(z = B ∧ ψ) → ∀x(φ → z = A))) |
29 | 24, 28 | sylib 188 |
. . . . 5
⊢ (∀x∀y((φ ∧ ψ) → A = B) →
(∃y(z = B ∧ ψ) → ∀x(φ → z = A))) |
30 | 29 | eximdv 1622 |
. . . 4
⊢ (∀x∀y((φ ∧ ψ) → A = B) →
(∃z∃y(z = B ∧ ψ) →
∃z∀x(φ → z = A))) |
31 | 12, 30 | syl5bi 208 |
. . 3
⊢ (∀x∀y((φ ∧ ψ) → A = B) →
(∃xφ → ∃z∀x(φ → z = A))) |
32 | 31 | imp 418 |
. 2
⊢ ((∀x∀y((φ ∧ ψ) → A = B) ∧ ∃xφ) →
∃z∀x(φ → z = A)) |
33 | | pm4.24 624 |
. . . . . . . 8
⊢ (φ ↔ (φ ∧ φ)) |
34 | 33 | biimpi 186 |
. . . . . . 7
⊢ (φ → (φ ∧ φ)) |
35 | | prth 554 |
. . . . . . 7
⊢ (((φ → z = A) ∧ (φ →
w = A))
→ ((φ ∧ φ) →
(z = A
∧ w =
A))) |
36 | | eqtr3 2372 |
. . . . . . 7
⊢ ((z = A ∧ w = A) → z =
w) |
37 | 34, 35, 36 | syl56 30 |
. . . . . 6
⊢ (((φ → z = A) ∧ (φ →
w = A))
→ (φ → z = w)) |
38 | 37 | alanimi 1562 |
. . . . 5
⊢ ((∀x(φ → z = A) ∧ ∀x(φ →
w = A))
→ ∀x(φ →
z = w)) |
39 | | 19.23v 1891 |
. . . . . . 7
⊢ (∀x(φ → z = w) ↔
(∃xφ → z = w)) |
40 | 39 | biimpi 186 |
. . . . . 6
⊢ (∀x(φ → z = w) →
(∃xφ → z = w)) |
41 | 40 | com12 27 |
. . . . 5
⊢ (∃xφ → (∀x(φ → z = w) →
z = w)) |
42 | 38, 41 | syl5 28 |
. . . 4
⊢ (∃xφ → ((∀x(φ → z = A) ∧ ∀x(φ →
w = A))
→ z = w)) |
43 | 42 | alrimivv 1632 |
. . 3
⊢ (∃xφ → ∀z∀w((∀x(φ → z = A) ∧ ∀x(φ →
w = A))
→ z = w)) |
44 | 43 | adantl 452 |
. 2
⊢ ((∀x∀y((φ ∧ ψ) → A = B) ∧ ∃xφ) →
∀z∀w((∀x(φ → z = A) ∧ ∀x(φ →
w = A))
→ z = w)) |
45 | | eqeq1 2359 |
. . . . 5
⊢ (z = w →
(z = A
↔ w = A)) |
46 | 45 | imbi2d 307 |
. . . 4
⊢ (z = w →
((φ → z = A) ↔
(φ → w = A))) |
47 | 46 | albidv 1625 |
. . 3
⊢ (z = w →
(∀x(φ →
z = A)
↔ ∀x(φ →
w = A))) |
48 | 47 | eu4 2243 |
. 2
⊢ (∃!z∀x(φ → z = A) ↔
(∃z∀x(φ → z = A) ∧ ∀z∀w((∀x(φ →
z = A)
∧ ∀x(φ → w = A)) →
z = w))) |
49 | 32, 44, 48 | sylanbrc 645 |
1
⊢ ((∀x∀y((φ ∧ ψ) → A = B) ∧ ∃xφ) →
∃!z∀x(φ → z = A)) |