Theorem xpkex 4290

Description: The Kuratowski cross product of two sets is a set. (Contributed by SF, 14-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpkex.1	⊢ A ∈ V
xpkex.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
xpkex	⊢ (A ×k B) ∈ V

Proof of Theorem xpkex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpkex.1	. 2 ⊢ A ∈ V
2		xpkex.2	. 2 ⊢ B ∈ V
3		xpkexg 4289	. 2 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ V) → (A ×k B) ∈ V)
4	1, 2, 3	mp2an 653	1 ⊢ (A ×k B) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 1710  Vcvv 2860   ×_k cxpk 4175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-ss 3260  df-nul 3552  df-sn 3742  df-pr 3743  df-opk 4059  df-xpk 4186  df-cnvk 4187

This theorem is referenced by:  sikexg  4297  imakexg  4300  ins2kexg  4306  ins3kexg  4307  imagekexg  4312  nnsucelrlem1  4425  ltfinex  4465  ssfin  4471  ncfinraiselem2  4481  ncfinlowerlem1  4483  tfinrelkex  4488  evenfinex  4504  oddfinex  4505  evenodddisjlem1  4516  nnadjoinlem1  4520  srelkex  4526  tfinnnlem1  4534  phiexg  4572  opexg  4588  proj1exg  4592  proj2exg  4593  setconslem5  4736  1stex  4740  swapex  4743  ssetex  4745  imaexg  4747  coexg  4750  siexg  4753