Theorem imagekexg 4312

Description: The Kuratowski image functor preserves sethood. (Contributed by SF, 14-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
imagekexg	⊢ (A ∈ V → ImagekA ∈ V)

Proof of Theorem imagekexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-imagek 4195	. 2 ⊢ ImagekA = ((V ×k V) ∖ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ( Sk ∘k ◡k SIk A)) “k ℘1℘11c))
2		sikexg 4297	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ V → SIk A ∈ V)
3		cnvkexg 4287	. . . . . . . 8 ⊢ ( SIk A ∈ V → ◡k SIk A ∈ V)
4	2, 3	syl 15	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ V → ◡k SIk A ∈ V)
5		ssetkex 4295	. . . . . . . 8 ⊢ Sk ∈ V
6		cokexg 4310	. . . . . . . 8 ⊢ (( Sk ∈ V ∧ ◡k SIk A ∈ V) → ( Sk ∘k ◡k SIk A) ∈ V)
7	5, 6	mpan 651	. . . . . . 7 ⊢ (◡k SIk A ∈ V → ( Sk ∘k ◡k SIk A) ∈ V)
8	4, 7	syl 15	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ V → ( Sk ∘k ◡k SIk A) ∈ V)
9		ins3kexg 4307	. . . . . 6 ⊢ (( Sk ∘k ◡k SIk A) ∈ V → Ins3k ( Sk ∘k ◡k SIk A) ∈ V)
10	8, 9	syl 15	. . . . 5 ⊢ (A ∈ V → Ins3k ( Sk ∘k ◡k SIk A) ∈ V)
11	5	ins2kex 4308	. . . . . 6 ⊢ Ins2k Sk ∈ V
12		symdifexg 4104	. . . . . 6 ⊢ (( Ins2k Sk ∈ V ∧ Ins3k ( Sk ∘k ◡k SIk A) ∈ V) → ( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ( Sk ∘k ◡k SIk A)) ∈ V)
13	11, 12	mpan 651	. . . . 5 ⊢ ( Ins3k ( Sk ∘k ◡k SIk A) ∈ V → ( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ( Sk ∘k ◡k SIk A)) ∈ V)
14	10, 13	syl 15	. . . 4 ⊢ (A ∈ V → ( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ( Sk ∘k ◡k SIk A)) ∈ V)
15		1cex 4143	. . . . . . 7 ⊢ 1c ∈ V
16	15	pw1ex 4304	. . . . . 6 ⊢ ℘11c ∈ V
17	16	pw1ex 4304	. . . . 5 ⊢ ℘1℘11c ∈ V
18		imakexg 4300	. . . . 5 ⊢ ((( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ( Sk ∘k ◡k SIk A)) ∈ V ∧ ℘1℘11c ∈ V) → (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ( Sk ∘k ◡k SIk A)) “k ℘1℘11c) ∈ V)
19	17, 18	mpan2 652	. . . 4 ⊢ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ( Sk ∘k ◡k SIk A)) ∈ V → (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ( Sk ∘k ◡k SIk A)) “k ℘1℘11c) ∈ V)
20	14, 19	syl 15	. . 3 ⊢ (A ∈ V → (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ( Sk ∘k ◡k SIk A)) “k ℘1℘11c) ∈ V)
21		vvex 4110	. . . . 5 ⊢ V ∈ V
22	21, 21	xpkex 4290	. . . 4 ⊢ (V ×k V) ∈ V
23		difexg 4103	. . . 4 ⊢ (((V ×k V) ∈ V ∧ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ( Sk ∘k ◡k SIk A)) “k ℘1℘11c) ∈ V) → ((V ×k V) ∖ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ( Sk ∘k ◡k SIk A)) “k ℘1℘11c)) ∈ V)
24	22, 23	mpan 651	. . 3 ⊢ ((( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ( Sk ∘k ◡k SIk A)) “k ℘1℘11c) ∈ V → ((V ×k V) ∖ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ( Sk ∘k ◡k SIk A)) “k ℘1℘11c)) ∈ V)
25	20, 24	syl 15	. 2 ⊢ (A ∈ V → ((V ×k V) ∖ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ( Sk ∘k ◡k SIk A)) “k ℘1℘11c)) ∈ V)
26	1, 25	syl5eqel 2437	1 ⊢ (A ∈ V → ImagekA ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1710  Vcvv 2860   ∖ cdif 3207   ⊕ csymdif 3210  1_cc1c 4135  ℘₁cpw1 4136   ×_k cxpk 4175  ^◡_kccnvk 4176   Ins2_k cins2k 4177   Ins3_k cins3k 4178   “_k cimak 4180   ∘_k ccomk 4181   SI_k csik 4182  Image_kcimagek 4183   S_k cssetk 4184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1925  ax-ext 2334  ax-nin 4079  ax-xp 4080  ax-cnv 4081  ax-1c 4082  ax-sset 4083  ax-si 4084  ax-ins2 4085  ax-ins3 4086  ax-typlower 4087  ax-sn 4088

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-nan 1288  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-clab 2340  df-cleq 2346  df-clel 2349  df-nfc 2479  df-ne 2519  df-ral 2620  df-rex 2621  df-v 2862  df-nin 3212  df-compl 3213  df-in 3214  df-un 3215  df-dif 3216  df-symdif 3217  df-ss 3260  df-nul 3552  df-pw 3725  df-sn 3742  df-pr 3743  df-opk 4059  df-1c 4137  df-pw1 4138  df-xpk 4186  df-cnvk 4187  df-ins2k 4188  df-ins3k 4189  df-imak 4190  df-cok 4191  df-p6 4192  df-sik 4193  df-ssetk 4194  df-imagek 4195

This theorem is referenced by:  imagekex  4313