oddfinex - New Foundations Explorer

	New Foundations Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > NFE Home > Th. List > oddfinex		GIF version

Theorem oddfinex 4505

Description: The set of all odd naturals exists. (Contributed by SF, 20-Jan-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
oddfinex	⊢ Odd_fin ∈ V

Proof of Theorem oddfinex Dummy variables a b c n t x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-oddfin 4446	. . 3 ⊢ Odd_fin = {x ∣ (∃n ∈ Nn x = ((n +_c n) +_c 1_c) ∧ x ≠ ∅)}
2		eldifsn 3840	. . . . 5 ⊢ (x ∈ (( ∼ (( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) “_k Nn ) ∖ {∅}) ↔ (x ∈ ( ∼ (( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) “_k Nn ) ∧ x ≠ ∅))
3		vex 2863	. . . . . . . 8 ⊢ x ∈ V
4	3	elimak 4260	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ( ∼ (( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) “_k Nn ) ↔ ∃n ∈ Nn ⟪n, x⟫ ∈ ∼ (( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))
5		opkex 4114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ⟪n, x⟫ ∈ V
6	5	elimak 4260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟪n, x⟫ ∈ (( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ∃t ∈ ℘₁ ℘₁1_c⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)))
7		elpw121c 4149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (t ∈ ℘₁℘₁1_c ↔ ∃a t = {{{a}}})
8	7	anbi1i 676	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ (∃a t = {{{a}}} ∧ ⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c))))
9		19.41v 1901	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃a(t = {{{a}}} ∧ ⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ (∃a t = {{{a}}} ∧ ⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c))))
10	8, 9	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃a(t = {{{a}}} ∧ ⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c))))
11	10	exbii 1582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃t(t ∈ ℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃t∃a(t = {{{a}}} ∧ ⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c))))
12		df-rex 2621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁1_c⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃t(t ∈ ℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c))))
13		excom 1741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃a∃t(t = {{{a}}} ∧ ⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃t∃a(t = {{{a}}} ∧ ⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c))))
14	11, 12, 13	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁1_c⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃a∃t(t = {{{a}}} ∧ ⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c))))
15		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {{{a}}} ∈ V
16		opkeq1 4060	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (t = {{{a}}} → ⟪t, ⟪n, x⟫⟫ = ⟪{{{a}}}, ⟪n, x⟫⟫)
17	16	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (t = {{{a}}} → (⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ⟪{{{a}}}, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c))))
18	15, 17	ceqsexv 2895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃t(t = {{{a}}} ∧ ⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ⟪{{{a}}}, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)))
19		elsymdif 3224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (⟪{{{a}}}, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ¬ (⟪{{{a}}}, ⟪n, x⟫⟫ ∈ Ins2_k S_k ↔ ⟪{{{a}}}, ⟪n, x⟫⟫ ∈ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)))
20		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ {a} ∈ V
21		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ n ∈ V
22	20, 21, 3	otkelins2k 4256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟪{{{a}}}, ⟪n, x⟫⟫ ∈ Ins2_k S_k ↔ ⟪{a}, x⟫ ∈ S_k )
23		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ a ∈ V
24	23, 3	elssetk 4271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟪{a}, x⟫ ∈ S_k ↔ a ∈ x)
25	22, 24	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟪{{{a}}}, ⟪n, x⟫⟫ ∈ Ins2_k S_k ↔ a ∈ x)
26		opkex 4114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ⟪{a}, n⟫ ∈ V
27	26	elimak 4260	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⟪{a}, n⟫ ∈ (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{a}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))
28		df-rex 2621	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{a}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃t(t ∈ ℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{a}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
29		elpw131c 4150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (t ∈ ℘₁℘₁℘₁1_c ↔ ∃x t = {{{{x}}}})
30	29	anbi1i 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{a}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ (∃x t = {{{{x}}}} ∧ ⟪t, ⟪{a}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
31		19.41v 1901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃x(t = {{{{x}}}} ∧ ⟪t, ⟪{a}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ (∃x t = {{{{x}}}} ∧ ⟪t, ⟪{a}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
32	30, 31	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{a}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃x(t = {{{{x}}}} ∧ ⟪t, ⟪{a}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
33	32	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃t(t ∈ ℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{a}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃t∃x(t = {{{{x}}}} ∧ ⟪t, ⟪{a}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
34		excom 1741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃t∃x(t = {{{{x}}}} ∧ ⟪t, ⟪{a}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃x∃t(t = {{{{x}}}} ∧ ⟪t, ⟪{a}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
35	28, 33, 34	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{a}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃x∃t(t = {{{{x}}}} ∧ ⟪t, ⟪{a}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
36		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ {{{{x}}}} ∈ V
37		opkeq1 4060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (t = {{{{x}}}} → ⟪t, ⟪{a}, n⟫⟫ = ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫)
38	37	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (t = {{{{x}}}} → (⟪t, ⟪{a}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
39	36, 38	ceqsexv 2895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃t(t = {{{{x}}}} ∧ ⟪t, ⟪{a}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))
40		opkex 4114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫ ∈ V
41	40	elimak 4260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
42		df-rex 2621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃t(t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
43		elpw141c 4151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ↔ ∃b t = {{{{{b}}}}})
44	43	anbi1i 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ (∃b t = {{{{{b}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
45		19.41v 1901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (∃b(t = {{{{{b}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ (∃b t = {{{{{b}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
46	44, 45	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃b(t = {{{{{b}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
47	46	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∃t(t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃t∃b(t = {{{{{b}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
48		excom 1741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∃b∃t(t = {{{{{b}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃t∃b(t = {{{{{b}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
49	47, 48	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃t(t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃b∃t(t = {{{{{b}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
50	41, 42, 49	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃b∃t(t = {{{{{b}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
51		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ {{{{{b}}}}} ∈ V
52		opkeq1 4060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (t = {{{{{b}}}}} → ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ = ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫)
53	52	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (t = {{{{{b}}}}} → (⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
54	51, 53	ceqsexv 2895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∃t(t = {{{{{b}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
55		elin 3220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ (⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∧ ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
56		elin 3220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ↔ (⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∧ ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ))
57		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ {{{b}}} ∈ V
58	57, 36, 26	otkelins2k 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ⟪{{{b}}}, ⟪{a}, n⟫⟫ ∈ Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c))
59		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ {b} ∈ V
60	59, 20, 21	otkelins2k 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (⟪{{{b}}}, ⟪{a}, n⟫⟫ ∈ Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ⟪{b}, n⟫ ∈ (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c))
61		opkex 4114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ⟪{b}, n⟫ ∈ V
62	61	elimak 4260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (⟪{b}, n⟫ ∈ (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ∃t ∈ ℘₁ ℘₁1_c⟪t, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))
63		elpw121c 4149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (t ∈ ℘₁℘₁1_c ↔ ∃c t = {{{c}}})
64	63	anbi1i 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ (∃c t = {{{c}}} ∧ ⟪t, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
65		19.41v 1901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (∃c(t = {{{c}}} ∧ ⟪t, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ (∃c t = {{{c}}} ∧ ⟪t, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
66	64, 65	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃c(t = {{{c}}} ∧ ⟪t, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
67	66	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∃t(t ∈ ℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃t∃c(t = {{{c}}} ∧ ⟪t, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
68		df-rex 2621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁1_c⟪t, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃t(t ∈ ℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
69		excom 1741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∃c∃t(t = {{{c}}} ∧ ⟪t, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃t∃c(t = {{{c}}} ∧ ⟪t, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
70	67, 68, 69	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁1_c⟪t, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃c∃t(t = {{{c}}} ∧ ⟪t, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
71		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ {{{c}}} ∈ V
72		opkeq1 4060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (t = {{{c}}} → ⟪t, ⟪{b}, n⟫⟫ = ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫)
73	72	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (t = {{{c}}} → (⟪t, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
74	71, 73	ceqsexv 2895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (∃t(t = {{{c}}} ∧ ⟪t, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))
75		opkex 4114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ V
76	75	elimak 4260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
77		df-rex 2621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃t(t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
78		elpw141c 4151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ↔ ∃a t = {{{{{a}}}}})
79	78	anbi1i 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))) ↔ (∃a t = {{{{{a}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
80		19.41v 1901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (∃a(t = {{{{{a}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))) ↔ (∃a t = {{{{{a}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
81	79, 80	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))) ↔ ∃a(t = {{{{{a}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
82	81	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (∃t(t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))) ↔ ∃t∃a(t = {{{{{a}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
83		excom 1741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (∃a∃t(t = {{{{{a}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))) ↔ ∃t∃a(t = {{{{{a}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
84	82, 83	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (∃t(t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))) ↔ ∃a∃t(t = {{{{{a}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
85	76, 77, 84	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃a∃t(t = {{{{{a}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
86		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ {{{{{a}}}}} ∈ V
87		opkeq1 4060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (t = {{{{{a}}}}} → ⟪t, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ = ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫)
88	87	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (t = {{{{{a}}}}} → (⟪t, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
89	86, 88	ceqsexv 2895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (∃t(t = {{{{{a}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))) ↔ ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
90		elin 3220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∧ ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
91		elin 3220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ↔ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k S_k ∧ ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (V ×_k Ins2_k S_k )))
92	15, 71, 61	otkelins2k 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k S_k ↔ ⟪{{{a}}}, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ Ins2_k S_k )
93	20, 59, 21	otkelins2k 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (⟪{{{a}}}, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ Ins2_k S_k ↔ ⟪{a}, n⟫ ∈ S_k )
94	23, 21	elssetk 4271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (⟪{a}, n⟫ ∈ S_k ↔ a ∈ n)
95	92, 93, 94	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k S_k ↔ a ∈ n)
96	86, 75	opkelxpk 4249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (V ×_k Ins2_k S_k ) ↔ ({{{{{a}}}}} ∈ V ∧ ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ Ins2_k S_k ))
97	86, 96	mpbiran 884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (V ×_k Ins2_k S_k ) ↔ ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ Ins2_k S_k )
98		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ {c} ∈ V
99	98, 59, 21	otkelins2k 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ Ins2_k S_k ↔ ⟪{c}, n⟫ ∈ S_k )
100		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ c ∈ V
101	100, 21	elssetk 4271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (⟪{c}, n⟫ ∈ S_k ↔ c ∈ n)
102	97, 99, 101	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (V ×_k Ins2_k S_k ) ↔ c ∈ n)
103	95, 102	anbi12i 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k S_k ∧ ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (V ×_k Ins2_k S_k )) ↔ (a ∈ n ∧ c ∈ n))
104	91, 103	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ↔ (a ∈ n ∧ c ∈ n))
105		elin 3220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∧ ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
106	15, 71, 61	otkelins3k 4257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ⟪{{{a}}}, {{{c}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c))
107		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ {{a}} ∈ V
108		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ {{c}} ∈ V
109	107, 108	opksnelsik 4266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (⟪{{{a}}}, {{{c}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ⟪{{a}}, {{c}}⟫ ∈ SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c))
110	20, 98	opksnelsik 4266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (⟪{{a}}, {{c}}⟫ ∈ SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ⟪{a}, {c}⟫ ∈ SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c))
111	23, 100	opksnelsik 4266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (⟪{a}, {c}⟫ ∈ SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ⟪a, c⟫ ∈ ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c))
112	23, 100	ndisjrelk 4324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (⟪a, c⟫ ∈ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ (a ∩ c) ≠ ∅)
113	112	notbii 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (¬ ⟪a, c⟫ ∈ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ¬ (a ∩ c) ≠ ∅)
114		opkex 4114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ⟪a, c⟫ ∈ V
115	114	elcompl 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (⟪a, c⟫ ∈ ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ¬ ⟪a, c⟫ ∈ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c))
116		df-ne 2519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((a ∩ c) ≠ ∅ ↔ ¬ (a ∩ c) = ∅)
117	116	con2bii 322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((a ∩ c) = ∅ ↔ ¬ (a ∩ c) ≠ ∅)
118	113, 115, 117	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (⟪a, c⟫ ∈ ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ (a ∩ c) = ∅)
119	110, 111, 118	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (⟪{{a}}, {{c}}⟫ ∈ SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ (a ∩ c) = ∅)
120	106, 109, 119	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ (a ∩ c) = ∅)
121		opkex 4114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ V
122	121	elimak 4260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )))
123		elpw171c 4154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ↔ ∃x t = {{{{{{{{x}}}}}}}})
124	123	anbi1i 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))) ↔ (∃x t = {{{{{{{{x}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))))
125		19.41v 1901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (∃x(t = {{{{{{{{x}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))) ↔ (∃x t = {{{{{{{{x}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))))
126	124, 125	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))) ↔ ∃x(t = {{{{{{{{x}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))))
127	126	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (∃t(t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))) ↔ ∃t∃x(t = {{{{{{{{x}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))))
128		df-rex 2621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) ↔ ∃t(t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))))
129		excom 1741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (∃x∃t(t = {{{{{{{{x}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))) ↔ ∃t∃x(t = {{{{{{{{x}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))))
130	127, 128, 129	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) ↔ ∃x∃t(t = {{{{{{{{x}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))))
131		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ {{{{{{{{x}}}}}}}} ∈ V
132		opkeq1 4060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (t = {{{{{{{{x}}}}}}}} → ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ = ⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫)
133	132	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (t = {{{{{{{{x}}}}}}}} → (⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) ↔ ⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))))
134	131, 133	ceqsexv 2895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (∃t(t = {{{{{{{{x}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))) ↔ ⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )))
135		elsymdif 3224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) ↔ ¬ (⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )))
136		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ {{{{{{x}}}}}} ∈ V
137	136, 86, 75	otkelins2k 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{x}}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins3_k SI_k S_k )
138	36, 71, 61	otkelins2k 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (⟪{{{{{{x}}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{x}}}}, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k S_k )
139		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ {{x}} ∈ V
140	139, 59, 21	otkelins3k 4257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (⟪{{{{x}}}}, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k S_k ↔ ⟪{{x}}, {b}⟫ ∈ SI_k S_k )
141		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ {x} ∈ V
142		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ b ∈ V
143	141, 142	opksnelsik 4266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (⟪{{x}}, {b}⟫ ∈ SI_k S_k ↔ ⟪{x}, b⟫ ∈ S_k )
144	3, 142	elssetk 4271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (⟪{x}, b⟫ ∈ S_k ↔ x ∈ b)
145	140, 143, 144	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (⟪{{{{x}}}}, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k S_k ↔ x ∈ b)
146	137, 138, 145	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ↔ x ∈ b)
147	136, 86, 75	otkelins3k 4257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{x}}}}}}, {{{{{a}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )
148		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ {{{{{x}}}}} ∈ V
149		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ {{{{a}}}} ∈ V
150	148, 149	opksnelsik 4266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (⟪{{{{{{x}}}}}}, {{{{{a}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{x}}}}}, {{{{a}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )
151	36, 15	opksnelsik 4266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (⟪{{{{{x}}}}}, {{{{a}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{x}}}}, {{{a}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k S_k )
152		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ {{{x}}} ∈ V
153	152, 107	opksnelsik 4266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (⟪{{{{x}}}}, {{{a}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{x}}}, {{a}}⟫ ∈ SI_k SI_k S_k )
154	139, 20	opksnelsik 4266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (⟪{{{x}}}, {{a}}⟫ ∈ SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{x}}, {a}⟫ ∈ SI_k S_k )
155	141, 23	opksnelsik 4266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (⟪{{x}}, {a}⟫ ∈ SI_k S_k ↔ ⟪{x}, a⟫ ∈ S_k )
156	3, 23	elssetk 4271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (⟪{x}, a⟫ ∈ S_k ↔ x ∈ a)
157	154, 155, 156	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (⟪{{{x}}}, {{a}}⟫ ∈ SI_k SI_k S_k ↔ x ∈ a)
158	151, 153, 157	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (⟪{{{{{x}}}}}, {{{{a}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ x ∈ a)
159	147, 150, 158	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ x ∈ a)
160	136, 86, 75	otkelins2k 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{x}}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )
161	36, 71, 61	otkelins3k 4257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (⟪{{{{{{x}}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{x}}}}, {{{c}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k S_k )
162	152, 108	opksnelsik 4266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (⟪{{{{x}}}}, {{{c}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{x}}}, {{c}}⟫ ∈ SI_k SI_k S_k )
163	139, 98	opksnelsik 4266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (⟪{{{x}}}, {{c}}⟫ ∈ SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{x}}, {c}⟫ ∈ SI_k S_k )
164	141, 100	opksnelsik 4266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (⟪{{x}}, {c}⟫ ∈ SI_k S_k ↔ ⟪{x}, c⟫ ∈ S_k )
165	3, 100	elssetk 4271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (⟪{x}, c⟫ ∈ S_k ↔ x ∈ c)
166	164, 165	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (⟪{{x}}, {c}⟫ ∈ SI_k S_k ↔ x ∈ c)
167	162, 163, 166	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (⟪{{{{x}}}}, {{{c}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k S_k ↔ x ∈ c)
168	160, 161, 167	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ x ∈ c)
169	159, 168	orbi12i 507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∨ ⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ) ↔ (x ∈ a ∨ x ∈ c))
170		elun 3221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ) ↔ (⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∨ ⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))
171		elun 3221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (x ∈ (a ∪ c) ↔ (x ∈ a ∨ x ∈ c))
172	169, 170, 171	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ) ↔ x ∈ (a ∪ c))
173	146, 172	bibi12i 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) ↔ (x ∈ b ↔ x ∈ (a ∪ c)))
174	173	notbii 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (¬ (⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) ↔ ¬ (x ∈ b ↔ x ∈ (a ∪ c)))
175	134, 135, 174	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (∃t(t = {{{{{{{{x}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))) ↔ ¬ (x ∈ b ↔ x ∈ (a ∪ c)))
176	175	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (∃x∃t(t = {{{{{{{{x}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))) ↔ ∃x ¬ (x ∈ b ↔ x ∈ (a ∪ c)))
177	122, 130, 176	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃x ¬ (x ∈ b ↔ x ∈ (a ∪ c)))
178	177	notbii 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (¬ ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ¬ ∃x ¬ (x ∈ b ↔ x ∈ (a ∪ c)))
179	121	elcompl 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ¬ ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))
180		dfcleq 2347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (b = (a ∪ c) ↔ ∀x(x ∈ b ↔ x ∈ (a ∪ c)))
181		alex 1572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (∀x(x ∈ b ↔ x ∈ (a ∪ c)) ↔ ¬ ∃x ¬ (x ∈ b ↔ x ∈ (a ∪ c)))
182	180, 181	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (b = (a ∪ c) ↔ ¬ ∃x ¬ (x ∈ b ↔ x ∈ (a ∪ c)))
183	178, 179, 182	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ b = (a ∪ c))
184	120, 183	anbi12i 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∧ ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ((a ∩ c) = ∅ ∧ b = (a ∪ c)))
185	105, 184	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ((a ∩ c) = ∅ ∧ b = (a ∪ c)))
186	104, 185	anbi12i 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∧ ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ((a ∈ n ∧ c ∈ n) ∧ ((a ∩ c) = ∅ ∧ b = (a ∪ c))))
187	89, 90, 186	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (∃t(t = {{{{{a}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))) ↔ ((a ∈ n ∧ c ∈ n) ∧ ((a ∩ c) = ∅ ∧ b = (a ∪ c))))
188	187	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (∃a∃t(t = {{{{{a}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{c}}}, ⟪{b}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))) ↔ ∃a((a ∈ n ∧ c ∈ n) ∧ ((a ∩ c) = ∅ ∧ b = (a ∪ c))))
189	74, 85, 188	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∃t(t = {{{c}}} ∧ ⟪t, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃a((a ∈ n ∧ c ∈ n) ∧ ((a ∩ c) = ∅ ∧ b = (a ∪ c))))
190	189	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (∃c∃t(t = {{{c}}} ∧ ⟪t, ⟪{b}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃c∃a((a ∈ n ∧ c ∈ n) ∧ ((a ∩ c) = ∅ ∧ b = (a ∪ c))))
191	62, 70, 190	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⟪{b}, n⟫ ∈ (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ∃c∃a((a ∈ n ∧ c ∈ n) ∧ ((a ∩ c) = ∅ ∧ b = (a ∪ c))))
192		eladdc 4399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (b ∈ (n +_c n) ↔ ∃a ∈ n ∃c ∈ n ((a ∩ c) = ∅ ∧ b = (a ∪ c)))
193		r2ex 2653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (∃a ∈ n ∃c ∈ n ((a ∩ c) = ∅ ∧ b = (a ∪ c)) ↔ ∃a∃c((a ∈ n ∧ c ∈ n) ∧ ((a ∩ c) = ∅ ∧ b = (a ∪ c))))
194		excom 1741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (∃a∃c((a ∈ n ∧ c ∈ n) ∧ ((a ∩ c) = ∅ ∧ b = (a ∪ c))) ↔ ∃c∃a((a ∈ n ∧ c ∈ n) ∧ ((a ∩ c) = ∅ ∧ b = (a ∪ c))))
195	192, 193, 194	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (b ∈ (n +_c n) ↔ ∃c∃a((a ∈ n ∧ c ∈ n) ∧ ((a ∩ c) = ∅ ∧ b = (a ∪ c))))
196	191, 195	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (⟪{b}, n⟫ ∈ (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ b ∈ (n +_c n))
197	58, 60, 196	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ b ∈ (n +_c n))
198	57, 36, 26	otkelins3k 4257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ↔ ⟪{{{b}}}, {{{{x}}}}⟫ ∈ ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k )
199	57, 36	opkelcnvk 4251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (⟪{{{b}}}, {{{{x}}}}⟫ ∈ ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ↔ ⟪{{{{x}}}}, {{{b}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k ∼ S_k )
200		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ {{b}} ∈ V
201	152, 200	opksnelsik 4266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⟪{{{{x}}}}, {{{b}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ↔ ⟪{{{x}}}, {{b}}⟫ ∈ SI_k SI_k ∼ S_k )
202	139, 59	opksnelsik 4266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⟪{{{x}}}, {{b}}⟫ ∈ SI_k SI_k ∼ S_k ↔ ⟪{{x}}, {b}⟫ ∈ SI_k ∼ S_k )
203	141, 142	opksnelsik 4266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (⟪{{x}}, {b}⟫ ∈ SI_k ∼ S_k ↔ ⟪{x}, b⟫ ∈ ∼ S_k )
204	144	notbii 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (¬ ⟪{x}, b⟫ ∈ S_k ↔ ¬ x ∈ b)
205		opkex 4114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ⟪{x}, b⟫ ∈ V
206	205	elcompl 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (⟪{x}, b⟫ ∈ ∼ S_k ↔ ¬ ⟪{x}, b⟫ ∈ S_k )
207	3	elcompl 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (x ∈ ∼ b ↔ ¬ x ∈ b)
208	204, 206, 207	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (⟪{x}, b⟫ ∈ ∼ S_k ↔ x ∈ ∼ b)
209	203, 208	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⟪{{x}}, {b}⟫ ∈ SI_k ∼ S_k ↔ x ∈ ∼ b)
210	201, 202, 209	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (⟪{{{{x}}}}, {{{b}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ↔ x ∈ ∼ b)
211	198, 199, 210	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ↔ x ∈ ∼ b)
212	197, 211	anbi12i 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∧ ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ↔ (b ∈ (n +_c n) ∧ x ∈ ∼ b))
213	56, 212	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ↔ (b ∈ (n +_c n) ∧ x ∈ ∼ b))
214		opkex 4114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ V
215	214	elimak 4260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )))
216		elpw171c 4154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ↔ ∃y t = {{{{{{{{y}}}}}}}})
217	216	anbi1i 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k ))) ↔ (∃y t = {{{{{{{{y}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k ))))
218		19.41v 1901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∃y(t = {{{{{{{{y}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k ))) ↔ (∃y t = {{{{{{{{y}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k ))))
219	217, 218	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k ))) ↔ ∃y(t = {{{{{{{{y}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k ))))
220	219	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (∃t(t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k ))) ↔ ∃t∃y(t = {{{{{{{{y}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k ))))
221		df-rex 2621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) ↔ ∃t(t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k ))))
222		excom 1741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (∃y∃t(t = {{{{{{{{y}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k ))) ↔ ∃t∃y(t = {{{{{{{{y}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k ))))
223	220, 221, 222	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) ↔ ∃y∃t(t = {{{{{{{{y}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k ))))
224		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ {{{{{{{{y}}}}}}}} ∈ V
225		opkeq1 4060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (t = {{{{{{{{y}}}}}}}} → ⟪t, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ = ⟪{{{{{{{{y}}}}}}}}, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫)
226	225	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (t = {{{{{{{{y}}}}}}}} → (⟪t, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) ↔ ⟪{{{{{{{{y}}}}}}}}, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k ))))
227	224, 226	ceqsexv 2895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (∃t(t = {{{{{{{{y}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k ))) ↔ ⟪{{{{{{{{y}}}}}}}}, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )))
228		elsymdif 3224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (⟪{{{{{{{{y}}}}}}}}, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) ↔ ¬ (⟪{{{{{{{{y}}}}}}}}, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{{{y}}}}}}}}, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )))
229		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ {{{{{{y}}}}}} ∈ V
230	229, 51, 40	otkelins2k 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (⟪{{{{{{{{y}}}}}}}}, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{y}}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins3_k SI_k S_k )
231		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ {{{{y}}}} ∈ V
232	231, 36, 26	otkelins2k 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (⟪{{{{{{y}}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{y}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k S_k )
233		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ {{y}} ∈ V
234	233, 20, 21	otkelins3k 4257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (⟪{{{{y}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k S_k ↔ ⟪{{y}}, {a}⟫ ∈ SI_k S_k )
235		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ {y} ∈ V
236	235, 23	opksnelsik 4266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (⟪{{y}}, {a}⟫ ∈ SI_k S_k ↔ ⟪{y}, a⟫ ∈ S_k )
237		vex 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ y ∈ V
238	237, 23	elssetk 4271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (⟪{y}, a⟫ ∈ S_k ↔ y ∈ a)
239	234, 236, 238	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (⟪{{{{y}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k S_k ↔ y ∈ a)
240	230, 232, 239	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (⟪{{{{{{{{y}}}}}}}}, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ↔ y ∈ a)
241	229, 51, 40	otkelins3k 4257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (⟪{{{{{{{{y}}}}}}}}, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{y}}}}}}, {{{{{b}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )
242		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ {{{{{y}}}}} ∈ V
243		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ {{{{b}}}} ∈ V
244	242, 243	opksnelsik 4266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (⟪{{{{{{y}}}}}}, {{{{{b}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{y}}}}}, {{{{b}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )
245	231, 57	opksnelsik 4266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (⟪{{{{{y}}}}}, {{{{b}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{y}}}}, {{{b}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k S_k )
246		snex 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ {{{y}}} ∈ V
247	246, 200	opksnelsik 4266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (⟪{{{{y}}}}, {{{b}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{y}}}, {{b}}⟫ ∈ SI_k SI_k S_k )
248	233, 59	opksnelsik 4266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (⟪{{{y}}}, {{b}}⟫ ∈ SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{y}}, {b}⟫ ∈ SI_k S_k )
249	235, 142	opksnelsik 4266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (⟪{{y}}, {b}⟫ ∈ SI_k S_k ↔ ⟪{y}, b⟫ ∈ S_k )
250	237, 142	elssetk 4271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (⟪{y}, b⟫ ∈ S_k ↔ y ∈ b)
251	248, 249, 250	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (⟪{{{y}}}, {{b}}⟫ ∈ SI_k SI_k S_k ↔ y ∈ b)
252	245, 247, 251	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (⟪{{{{{y}}}}}, {{{{b}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ y ∈ b)
253	241, 244, 252	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (⟪{{{{{{{{y}}}}}}}}, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ y ∈ b)
254	229, 51, 40	otkelins2k 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (⟪{{{{{{{{y}}}}}}}}, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins3_k I_k ↔ ⟪{{{{{{y}}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k I_k )
255	231, 36, 26	otkelins3k 4257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (⟪{{{{{{y}}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k I_k ↔ ⟪{{{{y}}}}, {{{{x}}}}⟫ ∈ I_k )
256	246	sneqb 3877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ({{{{y}}}} = {{{{x}}}} ↔ {{{y}}} = {{{x}}})
257	233	sneqb 3877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ({{{y}}} = {{{x}}} ↔ {{y}} = {{x}})
258	235	sneqb 3877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ({{y}} = {{x}} ↔ {y} = {x})
259	237	sneqb 3877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ({y} = {x} ↔ y = x)
260	258, 259	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ({{y}} = {{x}} ↔ y = x)
261	256, 257, 260	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ({{{{y}}}} = {{{{x}}}} ↔ y = x)
262		opkelidkg 4275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (({{{{y}}}} ∈ V ∧ {{{{x}}}} ∈ V) → (⟪{{{{y}}}}, {{{{x}}}}⟫ ∈ I_k ↔ {{{{y}}}} = {{{{x}}}}))
263	231, 36, 262	mp2an 653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (⟪{{{{y}}}}, {{{{x}}}}⟫ ∈ I_k ↔ {{{{y}}}} = {{{{x}}}})
264	237	elsnc 3757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (y ∈ {x} ↔ y = x)
265	261, 263, 264	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (⟪{{{{y}}}}, {{{{x}}}}⟫ ∈ I_k ↔ y ∈ {x})
266	254, 255, 265	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (⟪{{{{{{{{y}}}}}}}}, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins3_k I_k ↔ y ∈ {x})
267	253, 266	orbi12i 507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((⟪{{{{{{{{y}}}}}}}}, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∨ ⟪{{{{{{{{y}}}}}}}}, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins3_k I_k ) ↔ (y ∈ b ∨ y ∈ {x}))
268		elun 3221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (⟪{{{{{{{{y}}}}}}}}, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k ) ↔ (⟪{{{{{{{{y}}}}}}}}, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∨ ⟪{{{{{{{{y}}}}}}}}, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins3_k I_k ))
269		elun 3221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (y ∈ (b ∪ {x}) ↔ (y ∈ b ∨ y ∈ {x}))
270	267, 268, 269	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (⟪{{{{{{{{y}}}}}}}}, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k ) ↔ y ∈ (b ∪ {x}))
271	240, 270	bibi12i 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((⟪{{{{{{{{y}}}}}}}}, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{{{y}}}}}}}}, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) ↔ (y ∈ a ↔ y ∈ (b ∪ {x})))
272	271	notbii 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (¬ (⟪{{{{{{{{y}}}}}}}}, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{{{y}}}}}}}}, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) ↔ ¬ (y ∈ a ↔ y ∈ (b ∪ {x})))
273	227, 228, 272	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (∃t(t = {{{{{{{{y}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k ))) ↔ ¬ (y ∈ a ↔ y ∈ (b ∪ {x})))
274	273	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (∃y∃t(t = {{{{{{{{y}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k ))) ↔ ∃y ¬ (y ∈ a ↔ y ∈ (b ∪ {x})))
275	215, 223, 274	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃y ¬ (y ∈ a ↔ y ∈ (b ∪ {x})))
276	275	notbii 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ¬ ∃y ¬ (y ∈ a ↔ y ∈ (b ∪ {x})))
277	214	elcompl 3226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ¬ ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))
278		dfcleq 2347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (a = (b ∪ {x}) ↔ ∀y(y ∈ a ↔ y ∈ (b ∪ {x})))
279		alex 1572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∀y(y ∈ a ↔ y ∈ (b ∪ {x})) ↔ ¬ ∃y ¬ (y ∈ a ↔ y ∈ (b ∪ {x})))
280	278, 279	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (a = (b ∪ {x}) ↔ ¬ ∃y ¬ (y ∈ a ↔ y ∈ (b ∪ {x})))
281	276, 277, 280	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ a = (b ∪ {x}))
282	213, 281	anbi12i 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∧ ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ((b ∈ (n +_c n) ∧ x ∈ ∼ b) ∧ a = (b ∪ {x})))
283	54, 55, 282	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃t(t = {{{{{b}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ((b ∈ (n +_c n) ∧ x ∈ ∼ b) ∧ a = (b ∪ {x})))
284	283	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃b∃t(t = {{{{{b}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{a}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃b((b ∈ (n +_c n) ∧ x ∈ ∼ b) ∧ a = (b ∪ {x})))
285	39, 50, 284	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃t(t = {{{{x}}}} ∧ ⟪t, ⟪{a}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃b((b ∈ (n +_c n) ∧ x ∈ ∼ b) ∧ a = (b ∪ {x})))
286	285	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃x∃t(t = {{{{x}}}} ∧ ⟪t, ⟪{a}, n⟫⟫ ∈ ((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃x∃b((b ∈ (n +_c n) ∧ x ∈ ∼ b) ∧ a = (b ∪ {x})))
287	27, 35, 286	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟪{a}, n⟫ ∈ (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃x∃b((b ∈ (n +_c n) ∧ x ∈ ∼ b) ∧ a = (b ∪ {x})))
288	20, 21, 3	otkelins3k 4257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟪{{{a}}}, ⟪n, x⟫⟫ ∈ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ⟪{a}, n⟫ ∈ (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c))
289		elsuc 4414	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (a ∈ ((n +_c n) +_c 1_c) ↔ ∃b ∈ (n +_c n)∃x ∈ ∼ ba = (b ∪ {x}))
290		r2ex 2653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃b ∈ (n +_c n)∃x ∈ ∼ ba = (b ∪ {x}) ↔ ∃b∃x((b ∈ (n +_c n) ∧ x ∈ ∼ b) ∧ a = (b ∪ {x})))
291		excom 1741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃b∃x((b ∈ (n +_c n) ∧ x ∈ ∼ b) ∧ a = (b ∪ {x})) ↔ ∃x∃b((b ∈ (n +_c n) ∧ x ∈ ∼ b) ∧ a = (b ∪ {x})))
292	289, 290, 291	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (a ∈ ((n +_c n) +_c 1_c) ↔ ∃x∃b((b ∈ (n +_c n) ∧ x ∈ ∼ b) ∧ a = (b ∪ {x})))
293	287, 288, 292	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟪{{{a}}}, ⟪n, x⟫⟫ ∈ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ a ∈ ((n +_c n) +_c 1_c))
294	25, 293	bibi12i 306	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⟪{{{a}}}, ⟪n, x⟫⟫ ∈ Ins2_k S_k ↔ ⟪{{{a}}}, ⟪n, x⟫⟫ ∈ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ (a ∈ x ↔ a ∈ ((n +_c n) +_c 1_c)))
295	294	notbii 287	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ (⟪{{{a}}}, ⟪n, x⟫⟫ ∈ Ins2_k S_k ↔ ⟪{{{a}}}, ⟪n, x⟫⟫ ∈ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ¬ (a ∈ x ↔ a ∈ ((n +_c n) +_c 1_c)))
296	18, 19, 295	3bitri 262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃t(t = {{{a}}} ∧ ⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ¬ (a ∈ x ↔ a ∈ ((n +_c n) +_c 1_c)))
297	296	exbii 1582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃a∃t(t = {{{a}}} ∧ ⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃a ¬ (a ∈ x ↔ a ∈ ((n +_c n) +_c 1_c)))
298	6, 14, 297	3bitri 262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟪n, x⟫ ∈ (( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ∃a ¬ (a ∈ x ↔ a ∈ ((n +_c n) +_c 1_c)))
299	298	notbii 287	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ⟪n, x⟫ ∈ (( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ¬ ∃a ¬ (a ∈ x ↔ a ∈ ((n +_c n) +_c 1_c)))
300	5	elcompl 3226	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟪n, x⟫ ∈ ∼ (( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ¬ ⟪n, x⟫ ∈ (( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))
301		dfcleq 2347	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = ((n +_c n) +_c 1_c) ↔ ∀a(a ∈ x ↔ a ∈ ((n +_c n) +_c 1_c)))
302		alex 1572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀a(a ∈ x ↔ a ∈ ((n +_c n) +_c 1_c)) ↔ ¬ ∃a ¬ (a ∈ x ↔ a ∈ ((n +_c n) +_c 1_c)))
303	301, 302	bitri 240	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = ((n +_c n) +_c 1_c) ↔ ¬ ∃a ¬ (a ∈ x ↔ a ∈ ((n +_c n) +_c 1_c)))
304	299, 300, 303	3bitr4i 268	. . . . . . . 8 ⊢ (⟪n, x⟫ ∈ ∼ (( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ x = ((n +_c n) +_c 1_c))
305	304	rexbii 2640	. . . . . . 7 ⊢ (∃n ∈ Nn ⟪n, x⟫ ∈ ∼ (( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ∃n ∈ Nn x = ((n +_c n) +_c 1_c))
306	4, 305	bitri 240	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ( ∼ (( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) “_k Nn ) ↔ ∃n ∈ Nn x = ((n +_c n) +_c 1_c))
307	306	anbi1i 676	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ ( ∼ (( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) “_k Nn ) ∧ x ≠ ∅) ↔ (∃n ∈ Nn x = ((n +_c n) +_c 1_c) ∧ x ≠ ∅))
308	2, 307	bitri 240	. . . 4 ⊢ (x ∈ (( ∼ (( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) “_k Nn ) ∖ {∅}) ↔ (∃n ∈ Nn x = ((n +_c n) +_c 1_c) ∧ x ≠ ∅))
309	308	eqabi 2465	. . 3 ⊢ (( ∼ (( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) “_k Nn ) ∖ {∅}) = {x ∣ (∃n ∈ Nn x = ((n +_c n) +_c 1_c) ∧ x ≠ ∅)}
310	1, 309	eqtr4i 2376	. 2 ⊢ Odd_fin = (( ∼ (( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) “_k Nn ) ∖ {∅})
311		ssetkex 4295	. . . . . . . 8 ⊢ S_k ∈ V
312	311	ins2kex 4308	. . . . . . 7 ⊢ Ins2_k S_k ∈ V
313	312	ins2kex 4308	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ins2_k Ins2_k S_k ∈ V
314		vvex 4110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ V ∈ V
315	314, 312	xpkex 4290	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (V ×_k Ins2_k S_k ) ∈ V
316	313, 315	inex 4106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∈ V
317	311	ins3kex 4309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ Ins3_k S_k ∈ V
318	317, 312	inex 4106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) ∈ V
319		1cex 4143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 1_c ∈ V
320	319	pw1ex 4304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ℘₁1_c ∈ V
321	320	pw1ex 4304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ℘₁℘₁1_c ∈ V
322	318, 321	imakex 4301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∈ V
323	322	complex 4105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∈ V
324	323	sikex 4298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∈ V
325	324	sikex 4298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∈ V
326	325	sikex 4298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∈ V
327	326	ins3kex 4309	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∈ V
328	311	sikex 4298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ SI_k S_k ∈ V
329	328	ins3kex 4309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ins3_k SI_k S_k ∈ V
330	329	ins2kex 4308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ∈ V
331	330	ins2kex 4308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ∈ V
332	328	sikex 4298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ SI_k SI_k S_k ∈ V
333	332	sikex 4298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ SI_k SI_k SI_k S_k ∈ V
334	333	sikex 4298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∈ V
335	334	sikex 4298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∈ V
336	335	ins3kex 4309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∈ V
337	333	ins3kex 4309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∈ V
338	337	ins2kex 4308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∈ V
339	336, 338	unex 4107	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ) ∈ V
340	331, 339	symdifex 4109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) ∈ V
341	321	pw1ex 4304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ℘₁℘₁℘₁1_c ∈ V
342	341	pw1ex 4304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∈ V
343	342	pw1ex 4304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∈ V
344	343	pw1ex 4304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∈ V
345	344	pw1ex 4304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∈ V
346	340, 345	imakex 4301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∈ V
347	346	complex 4105	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∈ V
348	327, 347	inex 4106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ∈ V
349	316, 348	inex 4106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ∈ V
350	349, 342	imakex 4301	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∈ V
351	350, 321	imakex 4301	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∈ V
352	351	ins2kex 4308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∈ V
353	352	ins2kex 4308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∈ V
354	311	complex 4105	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ∼ S_k ∈ V
355	354	sikex 4298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ SI_k ∼ S_k ∈ V
356	355	sikex 4298	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ SI_k SI_k ∼ S_k ∈ V
357	356	sikex 4298	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ∈ V
358	357	cnvkex 4288	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ∈ V
359	358	ins3kex 4309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ∈ V
360	353, 359	inex 4106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∈ V
361		idkex 4315	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ I_k ∈ V
362	361	ins3kex 4309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ins3_k I_k ∈ V
363	362	ins2kex 4308	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ins2_k Ins3_k I_k ∈ V
364	336, 363	unex 4107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k ) ∈ V
365	331, 364	symdifex 4109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) ∈ V
366	365, 345	imakex 4301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∈ V
367	366	complex 4105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∈ V
368	360, 367	inex 4106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ∈ V
369	368, 342	imakex 4301	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∈ V
370	369, 341	imakex 4301	. . . . . . . 8 ⊢ (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c) ∈ V
371	370	ins3kex 4309	. . . . . . 7 ⊢ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c) ∈ V
372	312, 371	symdifex 4109	. . . . . 6 ⊢ ( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) ∈ V
373	372, 321	imakex 4301	. . . . 5 ⊢ (( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∈ V
374	373	complex 4105	. . . 4 ⊢ ∼ (( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∈ V
375		nncex 4397	. . . 4 ⊢ Nn ∈ V
376	374, 375	imakex 4301	. . 3 ⊢ ( ∼ (( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) “_k Nn ) ∈ V
377		snex 4112	. . 3 ⊢ {∅} ∈ V
378	376, 377	difex 4108	. 2 ⊢ (( ∼ (( Ins2_k S_k ⊕ Ins3_k (((( Ins2_k Ins2_k (((( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ (V ×_k Ins2_k S_k )) ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k ∼ S_k ) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k I_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) “_k Nn ) ∖ {∅}) ∈ V
379	310, 378	eqeltri 2423	1 ⊢ Odd_fin ∈ V

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 ↔ wb 176 ∨ wo 357 ∧ wa 358 ∀wal 1540 ∃wex 1541 = wceq 1642 ∈ wcel 1710 {cab 2339 ≠ wne 2517 ∃wrex 2616 Vcvv 2860 ∼ ccompl 3206 ∖ cdif 3207 ∪ cun 3208 ∩ cin 3209 ⊕ csymdif 3210 ∅c0 3551 {csn 3738 ⟪copk 4058 1_cc1c 4135 ℘₁cpw1 4136 ×_k cxpk 4175 ^◡_kccnvk 4176 Ins2_k cins2k 4177 Ins3_k cins3k 4178 “_k cimak 4180 SI_k csik 4182 S_k cssetk 4184 I_k cidk 4185 Nn cnnc 4374 +_c cplc 4376 Odd_fin coddfin 4438

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1546 ax-5 1557 ax-17 1616 ax-9 1654 ax-8 1675 ax-6 1729 ax-7 1734 ax-11 1746 ax-12 1925 ax-ext 2334 ax-nin 4079 ax-xp 4080 ax-cnv 4081 ax-1c 4082 ax-sset 4083 ax-si 4084 ax-ins2 4085 ax-ins3 4086 ax-typlower 4087 ax-sn 4088

This proof depends on definitions: df-bi 177 df-or 359 df-an 360 df-3an 936 df-nan 1288 df-tru 1319 df-ex 1542 df-nf 1545 df-sb 1649 df-clab 2340 df-cleq 2346 df-clel 2349 df-nfc 2479 df-ne 2519 df-ral 2620 df-rex 2621 df-v 2862 df-sbc 3048 df-nin 3212 df-compl 3213 df-in 3214 df-un 3215 df-dif 3216 df-symdif 3217 df-ss 3260 df-nul 3552 df-if 3664 df-pw 3725 df-sn 3742 df-pr 3743 df-uni 3893 df-int 3928 df-opk 4059 df-1c 4137 df-pw1 4138 df-uni1 4139 df-xpk 4186 df-cnvk 4187 df-ins2k 4188 df-ins3k 4189 df-imak 4190 df-cok 4191 df-p6 4192 df-sik 4193 df-ssetk 4194 df-imagek 4195 df-idk 4196 df-addc 4379 df-nnc 4380 df-oddfin 4446

This theorem is used by: evenoddnnnul 4515

W3C validator