evenodddisjlem1 - New Foundations Explorer

	New Foundations Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > NFE Home > Th. List > evenodddisjlem1		GIF version

Theorem evenodddisjlem1 4515

Description: Lemma for evenodddisj 4516. Establish stratification for induction. (Contributed by SF, 25-Jan-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
evenodddisjlem1	⊢ {j ∣ ((j +_c j) ≠ ∅ → ∀n ∈ Nn (((n +_c n) +_c 1_c) ≠ ∅ → (j +_c j) ≠ ((n +_c n) +_c 1_c)))} ∈ V

Distinct variable group: j,n

Proof of Theorem evenodddisjlem1 Dummy variables x a b y t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-or 359	. . . 4 ⊢ (((j +_c j) = ∅ ∨ ∀n ∈ Nn (((n +_c n) +_c 1_c) ≠ ∅ → (j +_c j) ≠ ((n +_c n) +_c 1_c))) ↔ (¬ (j +_c j) = ∅ → ∀n ∈ Nn (((n +_c n) +_c 1_c) ≠ ∅ → (j +_c j) ≠ ((n +_c n) +_c 1_c))))
2		vex 2862	. . . . . 6 ⊢ j ∈ V
3	2	elimakv 4260	. . . . 5 ⊢ (j ∈ (( ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ (({∅} ∪ ∼ ((( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V))) “_k ℘₁1_c) “_k Nn )) ×_k V)) “_k V) ↔ ∃x⟪x, j⟫ ∈ ( ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ (({∅} ∪ ∼ ((( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V))) “_k ℘₁1_c) “_k Nn )) ×_k V)))
4		elin 3219	. . . . . . 7 ⊢ (⟪x, j⟫ ∈ ( ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ (({∅} ∪ ∼ ((( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V))) “_k ℘₁1_c) “_k Nn )) ×_k V)) ↔ (⟪x, j⟫ ∈ ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∧ ⟪x, j⟫ ∈ (({∅} ∪ ∼ ((( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V))) “_k ℘₁1_c) “_k Nn )) ×_k V)))
5		opkex 4113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟪x, j⟫ ∈ V
6	5	elimak 4259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟪x, j⟫ ∈ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ∃t ∈ ℘₁ ℘₁1_c⟪t, ⟪x, j⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)))
7		elpw121c 4148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (t ∈ ℘₁℘₁1_c ↔ ∃y t = {{{y}}})
8	7	anbi1i 676	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪x, j⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))) ↔ (∃y t = {{{y}}} ∧ ⟪t, ⟪x, j⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
9		19.41v 1901	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃y(t = {{{y}}} ∧ ⟪t, ⟪x, j⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))) ↔ (∃y t = {{{y}}} ∧ ⟪t, ⟪x, j⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
10	8, 9	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪x, j⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃y(t = {{{y}}} ∧ ⟪t, ⟪x, j⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
11	10	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃t(t ∈ ℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪x, j⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃t∃y(t = {{{y}}} ∧ ⟪t, ⟪x, j⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
12		df-rex 2620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁1_c⟪t, ⟪x, j⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃t(t ∈ ℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪x, j⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
13		excom 1741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃y∃t(t = {{{y}}} ∧ ⟪t, ⟪x, j⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃t∃y(t = {{{y}}} ∧ ⟪t, ⟪x, j⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
14	11, 12, 13	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁1_c⟪t, ⟪x, j⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃y∃t(t = {{{y}}} ∧ ⟪t, ⟪x, j⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
15		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {{{y}}} ∈ V
16		opkeq1 4059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (t = {{{y}}} → ⟪t, ⟪x, j⟫⟫ = ⟪{{{y}}}, ⟪x, j⟫⟫)
17	16	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (t = {{{y}}} → (⟪t, ⟪x, j⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) ↔ ⟪{{{y}}}, ⟪x, j⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
18	15, 17	ceqsexv 2894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃t(t = {{{y}}} ∧ ⟪t, ⟪x, j⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))) ↔ ⟪{{{y}}}, ⟪x, j⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)))
19		elsymdif 3223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (⟪{{{y}}}, ⟪x, j⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) ↔ ¬ (⟪{{{y}}}, ⟪x, j⟫⟫ ∈ Ins3_k S_k ↔ ⟪{{{y}}}, ⟪x, j⟫⟫ ∈ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)))
20		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ {y} ∈ V
21		vex 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ x ∈ V
22	20, 21, 2	otkelins3k 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⟪{{{y}}}, ⟪x, j⟫⟫ ∈ Ins3_k S_k ↔ ⟪{y}, x⟫ ∈ S_k )
23		vex 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ y ∈ V
24	23, 21	elssetk 4270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⟪{y}, x⟫ ∈ S_k ↔ y ∈ x)
25	22, 24	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟪{{{y}}}, ⟪x, j⟫⟫ ∈ Ins3_k S_k ↔ y ∈ x)
26	20, 21, 2	otkelins2k 4255	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⟪{{{y}}}, ⟪x, j⟫⟫ ∈ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ⟪{y}, j⟫ ∈ (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))
27		opkex 4113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ⟪{y}, j⟫ ∈ V
28	27	elimak 4259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (⟪{y}, j⟫ ∈ (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ∃t ∈ ℘₁ ℘₁1_c⟪t, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
29		elpw121c 4148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (t ∈ ℘₁℘₁1_c ↔ ∃b t = {{{b}}})
30	29	anbi1i 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ (∃b t = {{{b}}} ∧ ⟪t, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
31		19.41v 1901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∃b(t = {{{b}}} ∧ ⟪t, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ (∃b t = {{{b}}} ∧ ⟪t, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
32	30, 31	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃b(t = {{{b}}} ∧ ⟪t, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
33	32	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃t(t ∈ ℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃t∃b(t = {{{b}}} ∧ ⟪t, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
34		df-rex 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁1_c⟪t, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃t(t ∈ ℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
35		excom 1741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃b∃t(t = {{{b}}} ∧ ⟪t, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃t∃b(t = {{{b}}} ∧ ⟪t, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
36	33, 34, 35	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁1_c⟪t, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃b∃t(t = {{{b}}} ∧ ⟪t, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
37		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ {{{b}}} ∈ V
38		opkeq1 4059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (t = {{{b}}} → ⟪t, ⟪{y}, j⟫⟫ = ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫)
39	38	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (t = {{{b}}} → (⟪t, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
40	37, 39	ceqsexv 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∃t(t = {{{b}}} ∧ ⟪t, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
41		elin 3219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ (⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ Ins2_k S_k ∧ ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
42		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ {b} ∈ V
43	42, 20, 2	otkelins2k 4255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ Ins2_k S_k ↔ ⟪{b}, j⟫ ∈ S_k )
44		vex 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ b ∈ V
45	44, 2	elssetk 4270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⟪{b}, j⟫ ∈ S_k ↔ b ∈ j)
46	43, 45	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ Ins2_k S_k ↔ b ∈ j)
47		opkex 4113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ V
48	47	elimak 4259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
49		elpw141c 4150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ↔ ∃a t = {{{{{a}}}}})
50	49	anbi1i 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))) ↔ (∃a t = {{{{{a}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
51		19.41v 1901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (∃a(t = {{{{{a}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))) ↔ (∃a t = {{{{{a}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
52	50, 51	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))) ↔ ∃a(t = {{{{{a}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
53	52	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (∃t(t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))) ↔ ∃t∃a(t = {{{{{a}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
54		df-rex 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃t(t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
55		excom 1741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (∃a∃t(t = {{{{{a}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))) ↔ ∃t∃a(t = {{{{{a}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
56	53, 54, 55	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃a∃t(t = {{{{{a}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
57		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ {{{{{a}}}}} ∈ V
58		opkeq1 4059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (t = {{{{{a}}}}} → ⟪t, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ = ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫)
59	58	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (t = {{{{{a}}}}} → (⟪t, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
60	57, 59	ceqsexv 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (∃t(t = {{{{{a}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))) ↔ ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
61		elin 3219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k S_k ∧ ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
62		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ {{{a}}} ∈ V
63	62, 37, 27	otkelins2k 4255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k S_k ↔ ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ Ins2_k S_k )
64		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ {a} ∈ V
65	64, 20, 2	otkelins2k 4255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (⟪{{{a}}}, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ Ins2_k S_k ↔ ⟪{a}, j⟫ ∈ S_k )
66		vex 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ a ∈ V
67	66, 2	elssetk 4270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (⟪{a}, j⟫ ∈ S_k ↔ a ∈ j)
68	63, 65, 67	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k S_k ↔ a ∈ j)
69		elin 3219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∧ ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
70	62, 37, 27	otkelins3k 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ⟪{{{a}}}, {{{b}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c))
71		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ {{a}} ∈ V
72		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ {{b}} ∈ V
73	71, 72	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (⟪{{{a}}}, {{{b}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ⟪{{a}}, {{b}}⟫ ∈ SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c))
74	64, 42	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (⟪{{a}}, {{b}}⟫ ∈ SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ⟪{a}, {b}⟫ ∈ SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c))
75	66, 44	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (⟪{a}, {b}⟫ ∈ SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ⟪a, b⟫ ∈ ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c))
76	66, 44	ndisjrelk 4323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (⟪a, b⟫ ∈ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ (a ∩ b) ≠ ∅)
77	76	notbii 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (¬ ⟪a, b⟫ ∈ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ¬ (a ∩ b) ≠ ∅)
78		opkex 4113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ⟪a, b⟫ ∈ V
79	78	elcompl 3225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (⟪a, b⟫ ∈ ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ¬ ⟪a, b⟫ ∈ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c))
80		df-ne 2518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((a ∩ b) ≠ ∅ ↔ ¬ (a ∩ b) = ∅)
81	80	con2bii 322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((a ∩ b) = ∅ ↔ ¬ (a ∩ b) ≠ ∅)
82	77, 79, 81	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (⟪a, b⟫ ∈ ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ (a ∩ b) = ∅)
83	74, 75, 82	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (⟪{{a}}, {{b}}⟫ ∈ SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ (a ∩ b) = ∅)
84	70, 73, 83	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ (a ∩ b) = ∅)
85		opkex 4113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ V
86	85	elimak 4259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )))
87		elpw171c 4153	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ↔ ∃x t = {{{{{{{{x}}}}}}}})
88	87	anbi1i 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))) ↔ (∃x t = {{{{{{{{x}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))))
89		19.41v 1901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (∃x(t = {{{{{{{{x}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))) ↔ (∃x t = {{{{{{{{x}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))))
90	88, 89	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))) ↔ ∃x(t = {{{{{{{{x}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))))
91	90	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (∃t(t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))) ↔ ∃t∃x(t = {{{{{{{{x}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))))
92		df-rex 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) ↔ ∃t(t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))))
93		excom 1741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (∃x∃t(t = {{{{{{{{x}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))) ↔ ∃t∃x(t = {{{{{{{{x}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))))
94	91, 92, 93	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) ↔ ∃x∃t(t = {{{{{{{{x}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))))
95		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ {{{{{{{{x}}}}}}}} ∈ V
96		opkeq1 4059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (t = {{{{{{{{x}}}}}}}} → ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ = ⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫)
97	96	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (t = {{{{{{{{x}}}}}}}} → (⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) ↔ ⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))))
98	95, 97	ceqsexv 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (∃t(t = {{{{{{{{x}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))) ↔ ⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )))
99		elsymdif 3223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) ↔ ¬ (⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )))
100		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ {{{{{{x}}}}}} ∈ V
101	100, 57, 47	otkelins2k 4255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{x}}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins3_k SI_k S_k )
102		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ {{{{x}}}} ∈ V
103	102, 37, 27	otkelins2k 4255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (⟪{{{{{{x}}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{x}}}}, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k S_k )
104		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ {{x}} ∈ V
105	104, 20, 2	otkelins3k 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (⟪{{{{x}}}}, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k S_k ↔ ⟪{{x}}, {y}⟫ ∈ SI_k S_k )
106		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ {x} ∈ V
107	106, 23	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (⟪{{x}}, {y}⟫ ∈ SI_k S_k ↔ ⟪{x}, y⟫ ∈ S_k )
108	21, 23	elssetk 4270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (⟪{x}, y⟫ ∈ S_k ↔ x ∈ y)
109	105, 107, 108	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (⟪{{{{x}}}}, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k S_k ↔ x ∈ y)
110	101, 103, 109	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ↔ x ∈ y)
111	100, 57, 47	otkelins3k 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{x}}}}}}, {{{{{a}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )
112		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ {{{{{x}}}}} ∈ V
113		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ {{{{a}}}} ∈ V
114	112, 113	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (⟪{{{{{{x}}}}}}, {{{{{a}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{x}}}}}, {{{{a}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )
115	102, 62	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (⟪{{{{{x}}}}}, {{{{a}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{x}}}}, {{{a}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k S_k )
116		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ {{{x}}} ∈ V
117	116, 71	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (⟪{{{{x}}}}, {{{a}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{x}}}, {{a}}⟫ ∈ SI_k SI_k S_k )
118	104, 64	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (⟪{{{x}}}, {{a}}⟫ ∈ SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{x}}, {a}⟫ ∈ SI_k S_k )
119	106, 66	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (⟪{{x}}, {a}⟫ ∈ SI_k S_k ↔ ⟪{x}, a⟫ ∈ S_k )
120	21, 66	elssetk 4270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (⟪{x}, a⟫ ∈ S_k ↔ x ∈ a)
121	118, 119, 120	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (⟪{{{x}}}, {{a}}⟫ ∈ SI_k SI_k S_k ↔ x ∈ a)
122	115, 117, 121	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (⟪{{{{{x}}}}}, {{{{a}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ x ∈ a)
123	111, 114, 122	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ x ∈ a)
124	100, 57, 47	otkelins2k 4255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{x}}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )
125	102, 37, 27	otkelins3k 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (⟪{{{{{{x}}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{x}}}}, {{{b}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k S_k )
126	116, 72	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (⟪{{{{x}}}}, {{{b}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{x}}}, {{b}}⟫ ∈ SI_k SI_k S_k )
127	104, 42	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (⟪{{{x}}}, {{b}}⟫ ∈ SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{x}}, {b}⟫ ∈ SI_k S_k )
128	106, 44	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (⟪{{x}}, {b}⟫ ∈ SI_k S_k ↔ ⟪{x}, b⟫ ∈ S_k )
129	21, 44	elssetk 4270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (⟪{x}, b⟫ ∈ S_k ↔ x ∈ b)
130	128, 129	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (⟪{{x}}, {b}⟫ ∈ SI_k S_k ↔ x ∈ b)
131	126, 127, 130	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (⟪{{{{x}}}}, {{{b}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k S_k ↔ x ∈ b)
132	124, 125, 131	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ x ∈ b)
133	123, 132	orbi12i 507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∨ ⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ) ↔ (x ∈ a ∨ x ∈ b))
134		elun 3220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ) ↔ (⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∨ ⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))
135		elun 3220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (x ∈ (a ∪ b) ↔ (x ∈ a ∨ x ∈ b))
136	133, 134, 135	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ) ↔ x ∈ (a ∪ b))
137	110, 136	bibi12i 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) ↔ (x ∈ y ↔ x ∈ (a ∪ b)))
138	137	notbii 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (¬ (⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{{{x}}}}}}}}, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) ↔ ¬ (x ∈ y ↔ x ∈ (a ∪ b)))
139	98, 99, 138	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (∃t(t = {{{{{{{{x}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))) ↔ ¬ (x ∈ y ↔ x ∈ (a ∪ b)))
140	139	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (∃x∃t(t = {{{{{{{{x}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ))) ↔ ∃x ¬ (x ∈ y ↔ x ∈ (a ∪ b)))
141	86, 94, 140	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃x ¬ (x ∈ y ↔ x ∈ (a ∪ b)))
142	141	notbii 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (¬ ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ¬ ∃x ¬ (x ∈ y ↔ x ∈ (a ∪ b)))
143	85	elcompl 3225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ¬ ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))
144		dfcleq 2347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (y = (a ∪ b) ↔ ∀x(x ∈ y ↔ x ∈ (a ∪ b)))
145		alex 1572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (∀x(x ∈ y ↔ x ∈ (a ∪ b)) ↔ ¬ ∃x ¬ (x ∈ y ↔ x ∈ (a ∪ b)))
146	144, 145	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (y = (a ∪ b) ↔ ¬ ∃x ¬ (x ∈ y ↔ x ∈ (a ∪ b)))
147	142, 143, 146	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ y = (a ∪ b))
148	84, 147	anbi12i 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∧ ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b)))
149	69, 148	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b)))
150	68, 149	anbi12i 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k S_k ∧ ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ (a ∈ j ∧ ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b))))
151	60, 61, 150	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (∃t(t = {{{{{a}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))) ↔ (a ∈ j ∧ ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b))))
152	151	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∃a∃t(t = {{{{{a}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))) ↔ ∃a(a ∈ j ∧ ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b))))
153	48, 56, 152	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃a(a ∈ j ∧ ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b))))
154		df-rex 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (∃a ∈ j ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b)) ↔ ∃a(a ∈ j ∧ ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b))))
155	153, 154	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃a ∈ j ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b)))
156	46, 155	anbi12i 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ Ins2_k S_k ∧ ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ (b ∈ j ∧ ∃a ∈ j ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b))))
157	40, 41, 156	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (∃t(t = {{{b}}} ∧ ⟪t, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ (b ∈ j ∧ ∃a ∈ j ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b))))
158	157	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃b∃t(t = {{{b}}} ∧ ⟪t, ⟪{y}, j⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃b(b ∈ j ∧ ∃a ∈ j ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b))))
159	28, 36, 158	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟪{y}, j⟫ ∈ (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ∃b(b ∈ j ∧ ∃a ∈ j ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b))))
160		df-rex 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃b ∈ j ∃a ∈ j ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b)) ↔ ∃b(b ∈ j ∧ ∃a ∈ j ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b))))
161	159, 160	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⟪{y}, j⟫ ∈ (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ∃b ∈ j ∃a ∈ j ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b)))
162		rexcom 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃b ∈ j ∃a ∈ j ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b)) ↔ ∃a ∈ j ∃b ∈ j ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b)))
163	26, 161, 162	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟪{{{y}}}, ⟪x, j⟫⟫ ∈ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ∃a ∈ j ∃b ∈ j ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b)))
164	25, 163	bibi12i 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⟪{{{y}}}, ⟪x, j⟫⟫ ∈ Ins3_k S_k ↔ ⟪{{{y}}}, ⟪x, j⟫⟫ ∈ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) ↔ (y ∈ x ↔ ∃a ∈ j ∃b ∈ j ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b))))
165	164	notbii 287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (⟪{{{y}}}, ⟪x, j⟫⟫ ∈ Ins3_k S_k ↔ ⟪{{{y}}}, ⟪x, j⟫⟫ ∈ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) ↔ ¬ (y ∈ x ↔ ∃a ∈ j ∃b ∈ j ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b))))
166	18, 19, 165	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃t(t = {{{y}}} ∧ ⟪t, ⟪x, j⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))) ↔ ¬ (y ∈ x ↔ ∃a ∈ j ∃b ∈ j ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b))))
167	166	exbii 1582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃y∃t(t = {{{y}}} ∧ ⟪t, ⟪x, j⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃y ¬ (y ∈ x ↔ ∃a ∈ j ∃b ∈ j ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b))))
168	6, 14, 167	3bitri 262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟪x, j⟫ ∈ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ∃y ¬ (y ∈ x ↔ ∃a ∈ j ∃b ∈ j ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b))))
169	168	notbii 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ ⟪x, j⟫ ∈ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ¬ ∃y ¬ (y ∈ x ↔ ∃a ∈ j ∃b ∈ j ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b))))
170	5	elcompl 3225	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟪x, j⟫ ∈ ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ¬ ⟪x, j⟫ ∈ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))
171		alex 1572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀y(y ∈ x ↔ ∃a ∈ j ∃b ∈ j ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b))) ↔ ¬ ∃y ¬ (y ∈ x ↔ ∃a ∈ j ∃b ∈ j ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b))))
172	169, 170, 171	3bitr4i 268	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟪x, j⟫ ∈ ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ∀y(y ∈ x ↔ ∃a ∈ j ∃b ∈ j ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b))))
173		df-addc 4378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (j +_c j) = {y ∣ ∃a ∈ j ∃b ∈ j ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b))}
174	173	eqeq2i 2363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = (j +_c j) ↔ x = {y ∣ ∃a ∈ j ∃b ∈ j ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b))})
175		abeq2 2458	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = {y ∣ ∃a ∈ j ∃b ∈ j ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b))} ↔ ∀y(y ∈ x ↔ ∃a ∈ j ∃b ∈ j ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b))))
176	174, 175	bitri 240	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = (j +_c j) ↔ ∀y(y ∈ x ↔ ∃a ∈ j ∃b ∈ j ((a ∩ b) = ∅ ∧ y = (a ∪ b))))
177	172, 176	bitr4i 243	. . . . . . . 8 ⊢ (⟪x, j⟫ ∈ ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ x = (j +_c j))
178	21, 2	opkelxpk 4248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟪x, j⟫ ∈ (({∅} ∪ ∼ ((( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V))) “_k ℘₁1_c) “_k Nn )) ×_k V) ↔ (x ∈ ({∅} ∪ ∼ ((( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V))) “_k ℘₁1_c) “_k Nn )) ∧ j ∈ V))
179	2, 178	mpbiran2 885	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟪x, j⟫ ∈ (({∅} ∪ ∼ ((( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V))) “_k ℘₁1_c) “_k Nn )) ×_k V) ↔ x ∈ ({∅} ∪ ∼ ((( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V))) “_k ℘₁1_c) “_k Nn )))
180		elun 3220	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ ({∅} ∪ ∼ ((( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V))) “_k ℘₁1_c) “_k Nn )) ↔ (x ∈ {∅} ∨ x ∈ ∼ ((( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V))) “_k ℘₁1_c) “_k Nn )))
181	21	elsnc 3756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ {∅} ↔ x = ∅)
182	21	elimak 4259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x ∈ ((( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V))) “_k ℘₁1_c) “_k Nn ) ↔ ∃n ∈ Nn ⟪n, x⟫ ∈ (( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V))) “_k ℘₁1_c))
183		opkex 4113	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ⟪n, x⟫ ∈ V
184	183	elimak 4259	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (⟪n, x⟫ ∈ (( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V))) “_k ℘₁1_c) ↔ ∃t ∈ ℘₁ 1_c⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V))))
185		elpw11c 4147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (t ∈ ℘₁1_c ↔ ∃y t = {{y}})
186	185	anbi1i 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((t ∈ ℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V)))) ↔ (∃y t = {{y}} ∧ ⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V)))))
187		19.41v 1901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃y(t = {{y}} ∧ ⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V)))) ↔ (∃y t = {{y}} ∧ ⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V)))))
188	186, 187	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((t ∈ ℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V)))) ↔ ∃y(t = {{y}} ∧ ⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V)))))
189	188	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃t(t ∈ ℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V)))) ↔ ∃t∃y(t = {{y}} ∧ ⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V)))))
190		df-rex 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ 1_c⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V))) ↔ ∃t(t ∈ ℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V)))))
191		excom 1741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃y∃t(t = {{y}} ∧ ⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V)))) ↔ ∃t∃y(t = {{y}} ∧ ⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V)))))
192	189, 190, 191	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ 1_c⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V))) ↔ ∃y∃t(t = {{y}} ∧ ⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V)))))
193		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {{y}} ∈ V
194		opkeq1 4059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (t = {{y}} → ⟪t, ⟪n, x⟫⟫ = ⟪{{y}}, ⟪n, x⟫⟫)
195	194	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (t = {{y}} → (⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V))) ↔ ⟪{{y}}, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V)))))
196	193, 195	ceqsexv 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃t(t = {{y}} ∧ ⟪t, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V)))) ↔ ⟪{{y}}, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V))))
197		elin 3219	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟪{{y}}, ⟪n, x⟫⟫ ∈ ( Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∩ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V))) ↔ (⟪{{y}}, ⟪n, x⟫⟫ ∈ Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ∧ ⟪{{y}}, ⟪n, x⟫⟫ ∈ Ins2_k ( I_k ∖ ({∅} ×_k V))))
198		vex 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ n ∈ V
199	23, 198, 21	otkelins3k 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⟪{{y}}, ⟪n, x⟫⟫ ∈ Ins3_k (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ↔ ⟪y, n⟫ ∈ (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c))
200		opkex 4113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ⟪y, n⟫ ∈ V
201	200	elimak 4259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⟪y, n⟫ ∈ (( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁1_c) ↔ ∃t ∈ ℘₁ 1_c⟪t, ⟪y, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)))
202		elpw11c 4147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (t ∈ ℘₁1_c ↔ ∃x t = {{x}})
203	202	anbi1i 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((t ∈ ℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪y, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))) ↔ (∃x t = {{x}} ∧ ⟪t, ⟪y, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
204		19.41v 1901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∃x(t = {{x}} ∧ ⟪t, ⟪y, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))) ↔ (∃x t = {{x}} ∧ ⟪t, ⟪y, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
205	203, 204	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((t ∈ ℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪y, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃x(t = {{x}} ∧ ⟪t, ⟪y, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
206	205	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∃t(t ∈ ℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪y, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃t∃x(t = {{x}} ∧ ⟪t, ⟪y, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
207		df-rex 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ 1_c⟪t, ⟪y, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃t(t ∈ ℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪y, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
208		excom 1741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∃x∃t(t = {{x}} ∧ ⟪t, ⟪y, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃t∃x(t = {{x}} ∧ ⟪t, ⟪y, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
209	206, 207, 208	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ 1_c⟪t, ⟪y, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃x∃t(t = {{x}} ∧ ⟪t, ⟪y, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
210		opkeq1 4059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (t = {{x}} → ⟪t, ⟪y, n⟫⟫ = ⟪{{x}}, ⟪y, n⟫⟫)
211	210	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (t = {{x}} → (⟪t, ⟪y, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) ↔ ⟪{{x}}, ⟪y, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
212	104, 211	ceqsexv 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (∃t(t = {{x}} ∧ ⟪t, ⟪y, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))) ↔ ⟪{{x}}, ⟪y, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)))
213		elin 3219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⟪{{x}}, ⟪y, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) ↔ (⟪{{x}}, ⟪y, n⟫⟫ ∈ Ins2_k ∼ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ∧ ⟪{{x}}, ⟪y, n⟫⟫ ∈ Ins3_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)))
214		opkex 4113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ⟪x, n⟫ ∈ V
215	214	elimak 4259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (⟪x, n⟫ ∈ (( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ∃t ∈ ℘₁ ℘₁1_c⟪t, ⟪x, n⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)))
216	7	anbi1i 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪x, n⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))) ↔ (∃y t = {{{y}}} ∧ ⟪t, ⟪x, n⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
217		19.41v 1901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (∃y(t = {{{y}}} ∧ ⟪t, ⟪x, n⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))) ↔ (∃y t = {{{y}}} ∧ ⟪t, ⟪x, n⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
218	216, 217	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪x, n⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃y(t = {{{y}}} ∧ ⟪t, ⟪x, n⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
219	218	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (∃t(t ∈ ℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪x, n⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃t∃y(t = {{{y}}} ∧ ⟪t, ⟪x, n⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
220		df-rex 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁1_c⟪t, ⟪x, n⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃t(t ∈ ℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪x, n⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
221		excom 1741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (∃y∃t(t = {{{y}}} ∧ ⟪t, ⟪x, n⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃t∃y(t = {{{y}}} ∧ ⟪t, ⟪x, n⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
222	219, 220, 221	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁1_c⟪t, ⟪x, n⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃y∃t(t = {{{y}}} ∧ ⟪t, ⟪x, n⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
223		opkeq1 4059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (t = {{{y}}} → ⟪t, ⟪x, n⟫⟫ = ⟪{{{y}}}, ⟪x, n⟫⟫)
224	223	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (t = {{{y}}} → (⟪t, ⟪x, n⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) ↔ ⟪{{{y}}}, ⟪x, n⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
225	15, 224	ceqsexv 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (∃t(t = {{{y}}} ∧ ⟪t, ⟪x, n⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))) ↔ ⟪{{{y}}}, ⟪x, n⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)))
226		elsymdif 3223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (⟪{{{y}}}, ⟪x, n⟫⟫ ∈ ( Ins3_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) ↔ ¬ (⟪{{{y}}}, ⟪x, n⟫⟫ ∈ Ins3_k S_k ↔ ⟪{{{y}}}, ⟪x, n⟫⟫ ∈ Ins2_k (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)))
227	20, 21, 198	otkelins3k 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (⟪{{{y}}}, ⟪x, n⟫⟫ ∈ Ins3_k S_k ↔ ⟪{y}, x⟫ ∈ S_k )
228	227, 24	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (⟪{{{y}}}, ⟪x, n⟫⟫ ∈ Ins3_k S_k ↔ y ∈ x)
229		opkex 4113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ⟪{y}, n⟫ ∈ V
230	229	elimak 4259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (⟪{y}, n⟫ ∈ (( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ∃t ∈ ℘₁ ℘₁1_c⟪t, ⟪{y}, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
231		elpw121c 4148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (t ∈ ℘₁℘₁1_c ↔ ∃a t = {{{a}}})
232	231	anbi1i 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{y}, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ (∃a t = {{{a}}} ∧ ⟪t, ⟪{y}, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
233		19.41v 1901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (∃a(t = {{{a}}} ∧ ⟪t, ⟪{y}, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ (∃a t = {{{a}}} ∧ ⟪t, ⟪{y}, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
234	232, 233	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{y}, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃a(t = {{{a}}} ∧ ⟪t, ⟪{y}, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
235	234	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (∃t(t ∈ ℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{y}, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃t∃a(t = {{{a}}} ∧ ⟪t, ⟪{y}, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
236		df-rex 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁1_c⟪t, ⟪{y}, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃t(t ∈ ℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{y}, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
237		excom 1741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (∃a∃t(t = {{{a}}} ∧ ⟪t, ⟪{y}, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃t∃a(t = {{{a}}} ∧ ⟪t, ⟪{y}, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
238	235, 236, 237	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁1_c⟪t, ⟪{y}, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃a∃t(t = {{{a}}} ∧ ⟪t, ⟪{y}, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
239		opkeq1 4059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (t = {{{a}}} → ⟪t, ⟪{y}, n⟫⟫ = ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫)
240	239	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (t = {{{a}}} → (⟪t, ⟪{y}, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
241	62, 240	ceqsexv 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (∃t(t = {{{a}}} ∧ ⟪t, ⟪{y}, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
242		elin 3219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫ ∈ ( Ins2_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ (⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫ ∈ Ins2_k S_k ∧ ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
243	64, 20, 198	otkelins2k 4255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫ ∈ Ins2_k S_k ↔ ⟪{a}, n⟫ ∈ S_k )
244	66, 198	elssetk 4270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (⟪{a}, n⟫ ∈ S_k ↔ a ∈ n)
245	243, 244	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫ ∈ Ins2_k S_k ↔ a ∈ n)
246		opkex 4113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫ ∈ V
247	246	elimak 4259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
248		elpw141c 4150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ↔ ∃b t = {{{{{b}}}}})
249	248	anbi1i 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))) ↔ (∃b t = {{{{{b}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
250		19.41v 1901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (∃b(t = {{{{{b}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))) ↔ (∃b t = {{{{{b}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
251	249, 250	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))) ↔ ∃b(t = {{{{{b}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
252	251	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (∃t(t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))) ↔ ∃t∃b(t = {{{{{b}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
253		df-rex 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃t(t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
254		excom 1741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (∃b∃t(t = {{{{{b}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))) ↔ ∃t∃b(t = {{{{{b}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
255	252, 253, 254	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃b∃t(t = {{{{{b}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
256		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ {{{{{b}}}}} ∈ V
257		opkeq1 4059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (t = {{{{{b}}}}} → ⟪t, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ = ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫)
258	257	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (t = {{{{{b}}}}} → (⟪t, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
259	256, 258	ceqsexv 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (∃t(t = {{{{{b}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))) ↔ ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
260		elin 3219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k S_k ∩ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ (⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k S_k ∧ ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
261	37, 62, 229	otkelins2k 4255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k S_k ↔ ⟪{{{b}}}, ⟪{y}, n⟫⟫ ∈ Ins2_k S_k )
262	42, 20, 198	otkelins2k 4255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (⟪{{{b}}}, ⟪{y}, n⟫⟫ ∈ Ins2_k S_k ↔ ⟪{b}, n⟫ ∈ S_k )
263	44, 198	elssetk 4270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (⟪{b}, n⟫ ∈ S_k ↔ b ∈ n)
264	261, 262, 263	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k S_k ↔ b ∈ n)
265		elin 3219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ ( ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ (⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∧ ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
266	37, 62, 229	otkelins3k 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ⟪{{{b}}}, {{{a}}}⟫ ∈ ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c))
267	37, 62	opkelcnvk 4250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (⟪{{{b}}}, {{{a}}}⟫ ∈ ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ⟪{{{a}}}, {{{b}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c))
268	71, 72	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (⟪{{{a}}}, {{{b}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ⟪{{a}}, {{b}}⟫ ∈ SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c))
269	64, 42	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (⟪{{a}}, {{b}}⟫ ∈ SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ⟪{a}, {b}⟫ ∈ SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c))
270	66, 44	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (⟪{a}, {b}⟫ ∈ SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ⟪a, b⟫ ∈ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c))
271	270, 76	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (⟪{a}, {b}⟫ ∈ SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ (a ∩ b) ≠ ∅)
272	268, 269, 271	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (⟪{{{a}}}, {{{b}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ (a ∩ b) ≠ ∅)
273	266, 267, 272	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ (a ∩ b) ≠ ∅)
274	273	notbii 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (¬ ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ¬ (a ∩ b) ≠ ∅)
275		opkex 4113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ V
276	275	elcompl 3225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ¬ ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c))
277	274, 276, 81	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ ∼ Ins3_k ^◡_k SI_k SI_k SI_k (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ (a ∩ b) = ∅)
278	275	elimak 4259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )))
279	87	anbi1i 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ))) ↔ (∃x t = {{{{{{{{x}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ))))
280		19.41v 1901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (∃x(t = {{{{{{{{x}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ))) ↔ (∃x t = {{{{{{{{x}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ))))
281	279, 280	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ))) ↔ ∃x(t = {{{{{{{{x}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ))))
282	281	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (∃t(t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ))) ↔ ∃t∃x(t = {{{{{{{{x}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{{a}}}, ⟪{y}, n⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ))))
283		df-rex 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .