Proof of Theorem swapex
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | dfswap2 4741 |
. 2
⊢ Swap = (( ∼ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c) “k ℘11c) “k
V) |
2 | | ssetkex 4294 |
. . . . . . . . 9
⊢ Sk ∈
V |
3 | 2 | ins2kex 4307 |
. . . . . . . 8
⊢ Ins2k Sk ∈
V |
4 | 3 | ins2kex 4307 |
. . . . . . 7
⊢ Ins2k Ins2k Sk ∈
V |
5 | | addcexlem 4382 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) ∈ V |
6 | | 1cex 4142 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
1c ∈
V |
7 | 6 | pw1ex 4303 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ℘11c ∈ V |
8 | 7 | pw1ex 4303 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ℘1℘11c ∈ V |
9 | 5, 8 | imakex 4300 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∈ V |
10 | 9 | imagekex 4312 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∈ V |
11 | | nncex 4396 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ Nn ∈
V |
12 | | vvex 4109 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ V ∈ V |
13 | 11, 12 | xpkex 4289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ( Nn ×k V) ∈ V |
14 | 10, 13 | inex 4105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ ( Nn ×k V)) ∈ V |
15 | | idkex 4314 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
Ik ∈ V |
16 | 11 | complex 4104 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ∼ Nn ∈
V |
17 | 16, 12 | xpkex 4289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ( ∼ Nn ×k V) ∈ V |
18 | 15, 17 | inex 4105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (
Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)) ∈
V |
19 | 14, 18 | unex 4106 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ (
Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∈
V |
20 | 19 | imagekex 4312 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ (
Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∈
V |
21 | 20 | cnvkex 4287 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∈ V |
22 | 21 | sikex 4297 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∈ V |
23 | 2, 22 | cokex 4310 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∈ V |
24 | 23 | ins3kex 4308 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∈ V |
25 | 24 | ins2kex 4307 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∈ V |
26 | 21, 2 | cokex 4310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∈ V |
27 | | snex 4111 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
{{0c}} ∈
V |
28 | 27, 12 | xpkex 4289 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
({{0c}} ×k V) ∈ V |
29 | 26, 28 | unex 4106 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V)) ∈ V |
30 | 29 | ins3kex 4308 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V)) ∈ V |
31 | 3, 30 | symdifex 4108 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) ∈ V |
32 | 31, 8 | imakex 4300 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c) ∈
V |
33 | 32 | complex 4104 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c) ∈
V |
34 | 33 | sikex 4297 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ SIk ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c) ∈
V |
35 | 34 | ins3kex 4308 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ Ins3k SIk ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c) ∈
V |
36 | 3, 35 | inex 4105 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ( Ins2k Sk ∩ Ins3k SIk ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) ∈
V |
37 | 36, 8 | imakex 4300 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (( Ins2k Sk ∩ Ins3k SIk ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∈
V |
38 | 37 | sikex 4297 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k SIk ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∈
V |
39 | 38 | sikex 4297 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ SIk SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k SIk ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∈
V |
40 | 39 | ins3kex 4308 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k SIk ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∈
V |
41 | 25, 40 | unex 4106 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∈
V |
42 | 41 | ins2kex 4307 |
. . . . . . . . . 10
⊢ Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∈
V |
43 | 20 | sikex 4297 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ (
Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∈
V |
44 | 43 | sikex 4297 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ (
Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∈
V |
45 | 44 | sikex 4297 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ (
Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∈
V |
46 | 45 | sikex 4297 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ (
Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∈
V |
47 | 46 | sikex 4297 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ (
Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∈
V |
48 | 47 | ins3kex 4308 |
. . . . . . . . . 10
⊢ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k SIk SIk Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ ( Nn ×k V)) ∪ (
Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∈
V |
49 | 42, 48 | inex 4105 |
. . . . . . . . 9
⊢ ( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∈ V |
50 | 8 | pw1ex 4303 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ℘1℘1℘11c ∈ V |
51 | 50 | pw1ex 4303 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ℘1℘1℘1℘11c ∈ V |
52 | 51 | pw1ex 4303 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ℘1℘1℘1℘1℘11c ∈ V |
53 | 52 | pw1ex 4303 |
. . . . . . . . 9
⊢ ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c ∈ V |
54 | 49, 53 | imakex 4300 |
. . . . . . . 8
⊢ (( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∈
V |
55 | 23 | sikex 4297 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ SIk ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∈ V |
56 | 55 | sikex 4297 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ SIk SIk ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∈ V |
57 | 56 | ins3kex 4308 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ Ins3k SIk SIk ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∈ V |
58 | 37 | ins3kex 4308 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ Ins3k (( Ins2k Sk ∩ Ins3k SIk ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∈
V |
59 | 58 | ins2kex 4307 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ Ins2k Ins3k (( Ins2k Sk ∩ Ins3k SIk ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∈
V |
60 | 57, 59 | unex 4106 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ( Ins3k SIk SIk ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∈
V |
61 | 60 | ins2kex 4307 |
. . . . . . . . . 10
⊢ Ins2k ( Ins3k SIk SIk ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∈
V |
62 | 34 | sikex 4297 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ SIk SIk ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c) ∈
V |
63 | 62 | sikex 4297 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ SIk SIk SIk ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c) ∈
V |
64 | 63 | sikex 4297 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ SIk SIk SIk SIk ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c) ∈
V |
65 | 64 | sikex 4297 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ SIk SIk SIk SIk SIk ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c) ∈
V |
66 | 65 | ins3kex 4308 |
. . . . . . . . . 10
⊢ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c) ∈
V |
67 | 61, 66 | inex 4105 |
. . . . . . . . 9
⊢ ( Ins2k ( Ins3k SIk SIk ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) ∈
V |
68 | 67, 53 | imakex 4300 |
. . . . . . . 8
⊢ (( Ins2k ( Ins3k SIk SIk ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∈
V |
69 | 54, 68 | unex 4106 |
. . . . . . 7
⊢ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c)) ∈
V |
70 | 4, 69 | symdifex 4108 |
. . . . . 6
⊢ ( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) ∈
V |
71 | 70, 51 | imakex 4300 |
. . . . 5
⊢ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c) ∈
V |
72 | 71 | complex 4104 |
. . . 4
⊢ ∼ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c) ∈
V |
73 | 72, 7 | imakex 4300 |
. . 3
⊢ ( ∼ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c) “k ℘11c) ∈
V |
74 | 73, 12 | imakex 4300 |
. 2
⊢ (( ∼ (( Ins2k Ins2k Sk ⊕ ((( Ins2k ( Ins2k Ins3k ( Sk ∘k SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins3k SIk SIk (( Ins2k Sk ∩
Ins3k SIk
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k
((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk
Imagek((Imagek(( Ins3k
∼ (( Ins3k Sk ∩ Ins2k
Sk ) “k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c) ∪ (( Ins2k ( Ins3k
SIk SIk (
Sk ∘k
SIk ◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V)))) ∪ Ins2k Ins3k (( Ins2k
Sk ∩ Ins3k SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘11c)) ∩ Ins3k SIk SIk SIk SIk SIk ∼ ((
Ins2k Sk
⊕ Ins3k ((◡kImagek((Imagek((
Ins3k ∼ (( Ins3k Sk ∩
Ins2k Sk )
“k ℘1℘11c) ∖ ((
Ins2k Ins2k
Sk ⊕ ( Ins2k Ins3k Sk ∪ Ins3k
SIk SIk
Sk )) “k ℘1℘1℘1℘11c)) “k ℘1℘11c) ∩ ( Nn
×k V)) ∪ ( Ik ∩ ( ∼ Nn
×k V))) ∘k Sk ) ∪ ({{0c}} ×k
V))) “k ℘1℘11c)) “k ℘1℘1℘1℘1℘1℘11c))) “k ℘1℘1℘1℘11c) “k ℘11c) “k V) ∈ V |
75 | 1, 74 | eqeltri 2423 |
1
⊢ Swap ∈
V |