ltfinex - New Foundations Explorer

	New Foundations Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > NFE Home > Th. List > ltfinex		GIF version

Theorem ltfinex 4464

Description: Finite less than is stratified. (Contributed by SF, 29-Jan-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
ltfinex	⊢ <_fin ∈ V

Proof of Theorem ltfinex Dummy variables a b c d t w y z x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ltfin 4441	. . 3 ⊢ <_fin = {x ∣ ∃y∃z(x = ⟪y, z⟫ ∧ (y ≠ ∅ ∧ ∃w ∈ Nn z = ((y +_c w) +_c 1_c)))}
2		elin 3219	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ((V ×_k V) ∩ (((( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁ Nn ) ∖ ({∅} ×_k V))) ↔ (x ∈ (V ×_k V) ∧ x ∈ (((( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁ Nn ) ∖ ({∅} ×_k V))))
3		elvvk 4207	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ (V ×_k V) ↔ ∃y∃z x = ⟪y, z⟫)
4	3	anbi1i 676	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ (V ×_k V) ∧ x ∈ (((( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁ Nn ) ∖ ({∅} ×_k V))) ↔ (∃y∃z x = ⟪y, z⟫ ∧ x ∈ (((( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁ Nn ) ∖ ({∅} ×_k V))))
5		19.41vv 1902	. . . . . 6 ⊢ (∃y∃z(x = ⟪y, z⟫ ∧ x ∈ (((( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁ Nn ) ∖ ({∅} ×_k V))) ↔ (∃y∃z x = ⟪y, z⟫ ∧ x ∈ (((( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁ Nn ) ∖ ({∅} ×_k V))))
6		eleq1 2413	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = ⟪y, z⟫ → (x ∈ (((( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁ Nn ) ∖ ({∅} ×_k V)) ↔ ⟪y, z⟫ ∈ (((( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁ Nn ) ∖ ({∅} ×_k V))))
7		opkex 4113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ⟪y, z⟫ ∈ V
8	7	elimak 4259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟪y, z⟫ ∈ ((( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c) “_k ℘₁℘₁ Nn ) ↔ ∃t ∈ ℘₁ ℘₁ Nn ⟪t, ⟪y, z⟫⟫ ∈ (( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c))
9		elpw12 4145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (t ∈ ℘₁℘₁ Nn ↔ ∃w ∈ Nn t = {{w}})
10	9	anbi1i 676	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁ Nn ∧ ⟪t, ⟪y, z⟫⟫ ∈ (( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ (∃w ∈ Nn t = {{w}} ∧ ⟪t, ⟪y, z⟫⟫ ∈ (( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)))
11		r19.41v 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃w ∈ Nn (t = {{w}} ∧ ⟪t, ⟪y, z⟫⟫ ∈ (( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ (∃w ∈ Nn t = {{w}} ∧ ⟪t, ⟪y, z⟫⟫ ∈ (( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)))
12	10, 11	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁ Nn ∧ ⟪t, ⟪y, z⟫⟫ ∈ (( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃w ∈ Nn (t = {{w}} ∧ ⟪t, ⟪y, z⟫⟫ ∈ (( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)))
13	12	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃t(t ∈ ℘₁℘₁ Nn ∧ ⟪t, ⟪y, z⟫⟫ ∈ (( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃t∃w ∈ Nn (t = {{w}} ∧ ⟪t, ⟪y, z⟫⟫ ∈ (( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)))
14		df-rex 2620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁ Nn ⟪t, ⟪y, z⟫⟫ ∈ (( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃t(t ∈ ℘₁℘₁ Nn ∧ ⟪t, ⟪y, z⟫⟫ ∈ (( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)))
15		rexcom4 2878	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃w ∈ Nn ∃t(t = {{w}} ∧ ⟪t, ⟪y, z⟫⟫ ∈ (( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃t∃w ∈ Nn (t = {{w}} ∧ ⟪t, ⟪y, z⟫⟫ ∈ (( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)))
16	13, 14, 15	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁ Nn ⟪t, ⟪y, z⟫⟫ ∈ (( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃w ∈ Nn ∃t(t = {{w}} ∧ ⟪t, ⟪y, z⟫⟫ ∈ (( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)))
17		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ {{w}} ∈ V
18		opkeq1 4059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (t = {{w}} → ⟪t, ⟪y, z⟫⟫ = ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫)
19	18	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (t = {{w}} → (⟪t, ⟪y, z⟫⟫ ∈ (( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫ ∈ (( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)))
20	17, 19	ceqsexv 2894	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∃t(t = {{w}} ∧ ⟪t, ⟪y, z⟫⟫ ∈ (( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫ ∈ (( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c))
21		opkex 4113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫ ∈ V
22	21	elimak 4259	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫ ∈ (( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ ( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)))
23		elpw131c 4149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (t ∈ ℘₁℘₁℘₁1_c ↔ ∃x t = {{{{x}}}})
24	23	anbi1i 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ ( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))) ↔ (∃x t = {{{{x}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ ( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
25		19.41v 1901	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∃x(t = {{{{x}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ ( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))) ↔ (∃x t = {{{{x}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ ( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
26	24, 25	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ ( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃x(t = {{{{x}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ ( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
27	26	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃t(t ∈ ℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ ( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃t∃x(t = {{{{x}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ ( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
28		df-rex 2620	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ ( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃t(t ∈ ℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ ( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
29		excom 1741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃x∃t(t = {{{{x}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ ( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃t∃x(t = {{{{x}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ ( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
30	27, 28, 29	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ ( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃x∃t(t = {{{{x}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ ( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
31		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ {{{{x}}}} ∈ V
32		opkeq1 4059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (t = {{{{x}}}} → ⟪t, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ = ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫)
33	32	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (t = {{{{x}}}} → (⟪t, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ ( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) ↔ ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ ( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))))
34	31, 33	ceqsexv 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∃t(t = {{{{x}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ ( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c))) ↔ ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ ( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)))
35		elin 3219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ ( ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∩ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)) ↔ (⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ∧ ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k Image_k(( Ins3_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∖ (( Ins2_k Ins2_k S_k ⊕ ( Ins2_k Ins3_k S_k ∪ Ins3_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁1_c)))
36		opkex 4113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ V
37	36	elimak 4259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
38		elpw161c 4152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ↔ ∃c t = {{{{{{{c}}}}}}})
39	38	anbi1i 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ (∃c t = {{{{{{{c}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
40		19.41v 1901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∃c(t = {{{{{{{c}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ (∃c t = {{{{{{{c}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
41	39, 40	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃c(t = {{{{{{{c}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
42	41	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∃t(t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃t∃c(t = {{{{{{{c}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
43		df-rex 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃t(t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
44		excom 1741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∃c∃t(t = {{{{{{{c}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃t∃c(t = {{{{{{{c}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
45	42, 43, 44	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃c∃t(t = {{{{{{{c}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
46		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ {{{{{{{c}}}}}}} ∈ V
47		opkeq1 4059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (t = {{{{{{{c}}}}}}} → ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ = ⟪{{{{{{{c}}}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫)
48	47	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (t = {{{{{{{c}}}}}}} → (⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ⟪{{{{{{{c}}}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
49	46, 48	ceqsexv 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (∃t(t = {{{{{{{c}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ⟪{{{{{{{c}}}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
50		elsymdif 3223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (⟪{{{{{{{c}}}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ¬ (⟪{{{{{{{c}}}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{{c}}}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
51		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ {{{{{c}}}}} ∈ V
52	51, 31, 21	otkelins3k 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⟪{{{{{{{c}}}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{c}}}}}, {{{{x}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )
53		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ {{{{c}}}} ∈ V
54		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ {{{x}}} ∈ V
55	53, 54	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⟪{{{{{c}}}}}, {{{{x}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{c}}}}, {{{x}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k S_k )
56		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ {{{c}}} ∈ V
57		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ {{x}} ∈ V
58	56, 57	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (⟪{{{{c}}}}, {{{x}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{c}}}, {{x}}⟫ ∈ SI_k SI_k S_k )
59		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ {{c}} ∈ V
60		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ {x} ∈ V
61	59, 60	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (⟪{{{c}}}, {{x}}⟫ ∈ SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{c}}, {x}⟫ ∈ SI_k S_k )
62		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ {c} ∈ V
63		vex 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ x ∈ V
64	62, 63	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (⟪{{c}}, {x}⟫ ∈ SI_k S_k ↔ ⟪{c}, x⟫ ∈ S_k )
65		vex 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ c ∈ V
66	65, 63	elssetk 4270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (⟪{c}, x⟫ ∈ S_k ↔ c ∈ x)
67	64, 66	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (⟪{{c}}, {x}⟫ ∈ SI_k S_k ↔ c ∈ x)
68	58, 61, 67	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⟪{{{{c}}}}, {{{x}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k S_k ↔ c ∈ x)
69	52, 55, 68	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (⟪{{{{{{{c}}}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ c ∈ x)
70		opkex 4113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ V
71	70	elimak 4259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
72		elpw161c 4152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ↔ ∃b t = {{{{{{{b}}}}}}})
73	72	anbi1i 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ (∃b t = {{{{{{{b}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
74		19.41v 1901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (∃b(t = {{{{{{{b}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ (∃b t = {{{{{{{b}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
75	73, 74	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃b(t = {{{{{{{b}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
76	75	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∃t(t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃t∃b(t = {{{{{{{b}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
77		df-rex 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃t(t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
78		excom 1741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∃b∃t(t = {{{{{{{b}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃t∃b(t = {{{{{{{b}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
79	76, 77, 78	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ∃b∃t(t = {{{{{{{b}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
80		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ {{{{{{{b}}}}}}} ∈ V
81		opkeq1 4059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (t = {{{{{{{b}}}}}}} → ⟪t, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ = ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫)
82	81	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (t = {{{{{{{b}}}}}}} → (⟪t, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
83	80, 82	ceqsexv 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (∃t(t = {{{{{{{b}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
84		elin 3219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ (⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∧ ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
85		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ {{{{{b}}}}} ∈ V
86	85, 51, 21	otkelins2k 4255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k S_k )
87		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ {{{b}}} ∈ V
88	87, 17, 7	otkelins3k 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (⟪{{{{{b}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{b}}}, {{w}}⟫ ∈ SI_k SI_k S_k )
89		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ {{b}} ∈ V
90		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ {w} ∈ V
91	89, 90	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (⟪{{{b}}}, {{w}}⟫ ∈ SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{b}}, {w}⟫ ∈ SI_k S_k )
92		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ {b} ∈ V
93		vex 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ w ∈ V
94	92, 93	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (⟪{{b}}, {w}⟫ ∈ SI_k S_k ↔ ⟪{b}, w⟫ ∈ S_k )
95		vex 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ b ∈ V
96	95, 93	elssetk 4270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (⟪{b}, w⟫ ∈ S_k ↔ b ∈ w)
97	91, 94, 96	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (⟪{{{b}}}, {{w}}⟫ ∈ SI_k SI_k S_k ↔ b ∈ w)
98	86, 88, 97	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ↔ b ∈ w)
99		opkex 4113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ V
100	99	elimak 4259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
101		elpw181c 4154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ↔ ∃a t = {{{{{{{{{a}}}}}}}}})
102	101	anbi1i 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))) ↔ (∃a t = {{{{{{{{{a}}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
103		19.41v 1901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (∃a(t = {{{{{{{{{a}}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))) ↔ (∃a t = {{{{{{{{{a}}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
104	102, 103	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))) ↔ ∃a(t = {{{{{{{{{a}}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
105	104	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (∃t(t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))) ↔ ∃t∃a(t = {{{{{{{{{a}}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
106		df-rex 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃t(t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
107		excom 1741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (∃a∃t(t = {{{{{{{{{a}}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))) ↔ ∃t∃a(t = {{{{{{{{{a}}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
108	105, 106, 107	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃a∃t(t = {{{{{{{{{a}}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
109		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ {{{{{{{{{a}}}}}}}}} ∈ V
110		opkeq1 4059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (t = {{{{{{{{{a}}}}}}}}} → ⟪t, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ = ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫)
111	110	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (t = {{{{{{{{{a}}}}}}}}} → (⟪t, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))))
112	109, 111	ceqsexv 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (∃t(t = {{{{{{{{{a}}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))) ↔ ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
113		elin 3219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ (⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∧ ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))))
114		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ {{{{{{{a}}}}}}} ∈ V
115	114, 80, 70	otkelins2k 4255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ↔ ⟪{{{{{{{a}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k )
116		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ {{{{{a}}}}} ∈ V
117	116, 51, 21	otkelins2k 4255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (⟪{{{{{{{a}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ↔ ⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins3_k S_k )
118		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ {{{a}}} ∈ V
119	118, 17, 7	otkelins2k 4255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins3_k S_k ↔ ⟪{{{a}}}, ⟪y, z⟫⟫ ∈ Ins3_k S_k )
120		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ {a} ∈ V
121		vex 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ y ∈ V
122		vex 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ z ∈ V
123	120, 121, 122	otkelins3k 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (⟪{{{a}}}, ⟪y, z⟫⟫ ∈ Ins3_k S_k ↔ ⟪{a}, y⟫ ∈ S_k )
124		vex 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ a ∈ V
125	124, 121	elssetk 4270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (⟪{a}, y⟫ ∈ S_k ↔ a ∈ y)
126	119, 123, 125	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (⟪{{{{{a}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins3_k S_k ↔ a ∈ y)
127	115, 117, 126	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ↔ a ∈ y)
128		elin 3219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ (⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∧ ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))
129	114, 80, 70	otkelins3k 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ⟪{{{{{{{a}}}}}}}, {{{{{{{b}}}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c))
130		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ {{{{{{a}}}}}} ∈ V
131		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ {{{{{{b}}}}}} ∈ V
132	130, 131	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (⟪{{{{{{{a}}}}}}}, {{{{{{{b}}}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ⟪{{{{{{a}}}}}}, {{{{{{b}}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c))
133	116, 85	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (⟪{{{{{{a}}}}}}, {{{{{{b}}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ⟪{{{{{a}}}}}, {{{{{b}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c))
134		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ {{{{a}}}} ∈ V
135		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ {{{{b}}}} ∈ V
136	134, 135	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (⟪{{{{{a}}}}}, {{{{{b}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ⟪{{{{a}}}}, {{{{b}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c))
137	118, 87	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (⟪{{{{a}}}}, {{{{b}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ⟪{{{a}}}, {{{b}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c))
138		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ {{a}} ∈ V
139	138, 89	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (⟪{{{a}}}, {{{b}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ⟪{{a}}, {{b}}⟫ ∈ SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c))
140	120, 92	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (⟪{{a}}, {{b}}⟫ ∈ SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ⟪{a}, {b}⟫ ∈ SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c))
141	124, 95	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (⟪{a}, {b}⟫ ∈ SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ⟪a, b⟫ ∈ ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c))
142	124, 95	ndisjrelk 4323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (⟪a, b⟫ ∈ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ (a ∩ b) ≠ ∅)
143	142	notbii 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (¬ ⟪a, b⟫ ∈ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ¬ (a ∩ b) ≠ ∅)
144		opkex 4113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ⟪a, b⟫ ∈ V
145	144	elcompl 3225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (⟪a, b⟫ ∈ ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ ¬ ⟪a, b⟫ ∈ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c))
146		df-ne 2518	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((a ∩ b) ≠ ∅ ↔ ¬ (a ∩ b) = ∅)
147	146	con2bii 322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((a ∩ b) = ∅ ↔ ¬ (a ∩ b) ≠ ∅)
148	143, 145, 147	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (⟪a, b⟫ ∈ ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ (a ∩ b) = ∅)
149	140, 141, 148	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (⟪{{a}}, {{b}}⟫ ∈ SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ (a ∩ b) = ∅)
150	137, 139, 149	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (⟪{{{{a}}}}, {{{{b}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ (a ∩ b) = ∅)
151	133, 136, 150	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (⟪{{{{{{a}}}}}}, {{{{{{b}}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ (a ∩ b) = ∅)
152	129, 132, 151	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ↔ (a ∩ b) = ∅)
153		opkex 4113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ V
154	153	elimak 4259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )))
155		elpw1111c 4157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ↔ ∃d t = {{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}})
156	155	anbi1i 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ))) ↔ (∃d t = {{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ))))
157		19.41v 1901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (∃d(t = {{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ))) ↔ (∃d t = {{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ))))
158	156, 157	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ))) ↔ ∃d(t = {{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ))))
159	158	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (∃t(t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ))) ↔ ∃t∃d(t = {{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ))))
160		df-rex 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) ↔ ∃t(t ∈ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c ∧ ⟪t, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ))))
161		excom 1741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (∃d∃t(t = {{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ))) ↔ ∃t∃d(t = {{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ))))
162	159, 160, 161	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (∃t ∈ ℘₁ ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c⟪t, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) ↔ ∃d∃t(t = {{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ))))
163		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ {{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}} ∈ V
164		opkeq1 4059	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (t = {{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}} → ⟪t, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ = ⟪{{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫)
165	164	eleq1d 2419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (t = {{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}} → (⟪t, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) ↔ ⟪{{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ))))
166	163, 165	ceqsexv 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (∃t(t = {{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ))) ↔ ⟪{{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )))
167		elsymdif 3223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (⟪{{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) ↔ ¬ (⟪{{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )))
168		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ {{{{{{{{{{d}}}}}}}}}} ∈ V
169	168, 109, 99	otkelins2k 4255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (⟪{{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )
170		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ {{{{{{{{d}}}}}}}} ∈ V
171	170, 80, 70	otkelins2k 4255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (⟪{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{{{d}}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )
172		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ {{{{{{d}}}}}} ∈ V
173	172, 51, 21	otkelins3k 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (⟪{{{{{{{{d}}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{d}}}}}}, {{{{{c}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )
174		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ {{{{{d}}}}} ∈ V
175	174, 53	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (⟪{{{{{{d}}}}}}, {{{{{c}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{d}}}}}, {{{{c}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )
176		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ {{{{d}}}} ∈ V
177	176, 56	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (⟪{{{{{d}}}}}, {{{{c}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{d}}}}, {{{c}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k S_k )
178		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ {{{d}}} ∈ V
179	178, 59	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (⟪{{{{d}}}}, {{{c}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{d}}}, {{c}}⟫ ∈ SI_k SI_k S_k )
180		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ {{d}} ∈ V
181	180, 62	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (⟪{{{d}}}, {{c}}⟫ ∈ SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{d}}, {c}⟫ ∈ SI_k S_k )
182		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ {d} ∈ V
183	182, 65	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (⟪{{d}}, {c}⟫ ∈ SI_k S_k ↔ ⟪{d}, c⟫ ∈ S_k )
184		vex 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ d ∈ V
185	184, 65	elssetk 4270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (⟪{d}, c⟫ ∈ S_k ↔ d ∈ c)
186	181, 183, 185	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (⟪{{{d}}}, {{c}}⟫ ∈ SI_k SI_k S_k ↔ d ∈ c)
187	177, 179, 186	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (⟪{{{{{d}}}}}, {{{{c}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ d ∈ c)
188	173, 175, 187	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (⟪{{{{{{{{d}}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ d ∈ c)
189	169, 171, 188	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (⟪{{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ d ∈ c)
190	168, 109, 99	otkelins3k 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (⟪{{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}, {{{{{{{{{a}}}}}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )
191		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ {{{{{{{{{d}}}}}}}}} ∈ V
192		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ {{{{{{{{a}}}}}}}} ∈ V
193	191, 192	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (⟪{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}, {{{{{{{{{a}}}}}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{{{{d}}}}}}}}}, {{{{{{{{a}}}}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )
194	170, 114	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (⟪{{{{{{{{{d}}}}}}}}}, {{{{{{{{a}}}}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{{{d}}}}}}}}, {{{{{{{a}}}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )
195		snex 4111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ {{{{{{{d}}}}}}} ∈ V
196	195, 130	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (⟪{{{{{{{{d}}}}}}}}, {{{{{{{a}}}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{{d}}}}}}}, {{{{{{a}}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )
197	172, 116	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (⟪{{{{{{{d}}}}}}}, {{{{{{a}}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{d}}}}}}, {{{{{a}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )
198	174, 134	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (⟪{{{{{{d}}}}}}, {{{{{a}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{d}}}}}, {{{{a}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )
199	176, 118	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (⟪{{{{{d}}}}}, {{{{a}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{d}}}}, {{{a}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k S_k )
200	178, 138	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (⟪{{{{d}}}}, {{{a}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{d}}}, {{a}}⟫ ∈ SI_k SI_k S_k )
201	180, 120	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ (⟪{{{d}}}, {{a}}⟫ ∈ SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{d}}, {a}⟫ ∈ SI_k S_k )
202	182, 124	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ (⟪{{d}}, {a}⟫ ∈ SI_k S_k ↔ ⟪{d}, a⟫ ∈ S_k )
203	184, 124	elssetk 4270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ (⟪{d}, a⟫ ∈ S_k ↔ d ∈ a)
204	201, 202, 203	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (⟪{{{d}}}, {{a}}⟫ ∈ SI_k SI_k S_k ↔ d ∈ a)
205	199, 200, 204	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (⟪{{{{{d}}}}}, {{{{a}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ d ∈ a)
206	197, 198, 205	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (⟪{{{{{{{d}}}}}}}, {{{{{{a}}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ d ∈ a)
207	194, 196, 206	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (⟪{{{{{{{{{d}}}}}}}}}, {{{{{{{{a}}}}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ d ∈ a)
208	190, 193, 207	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (⟪{{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ d ∈ a)
209	168, 109, 99	otkelins2k 4255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (⟪{{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )
210	170, 80, 70	otkelins3k 4256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (⟪{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{{{d}}}}}}}}, {{{{{{{b}}}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )
211	195, 131	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (⟪{{{{{{{{d}}}}}}}}, {{{{{{{b}}}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{{d}}}}}}}, {{{{{{b}}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )
212	172, 85	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (⟪{{{{{{{d}}}}}}}, {{{{{{b}}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{d}}}}}}, {{{{{b}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )
213	174, 135	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (⟪{{{{{{d}}}}}}, {{{{{b}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{d}}}}}, {{{{b}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )
214	176, 87	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (⟪{{{{{d}}}}}, {{{{b}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{d}}}}, {{{b}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k S_k )
215	178, 89	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (⟪{{{{d}}}}, {{{b}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{d}}}, {{b}}⟫ ∈ SI_k SI_k S_k )
216	180, 92	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (⟪{{{d}}}, {{b}}⟫ ∈ SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{d}}, {b}⟫ ∈ SI_k S_k )
217	182, 95	opksnelsik 4265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ (⟪{{d}}, {b}⟫ ∈ SI_k S_k ↔ ⟪{d}, b⟫ ∈ S_k )
218	184, 95	elssetk 4270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 ⊢ (⟪{d}, b⟫ ∈ S_k ↔ d ∈ b)
219	217, 218	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 ⊢ (⟪{{d}}, {b}⟫ ∈ SI_k S_k ↔ d ∈ b)
220	215, 216, 219	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 ⊢ (⟪{{{{d}}}}, {{{b}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k S_k ↔ d ∈ b)
221	213, 214, 220	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ⊢ (⟪{{{{{{d}}}}}}, {{{{{b}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ d ∈ b)
222	211, 212, 221	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ⊢ (⟪{{{{{{{{d}}}}}}}}, {{{{{{{b}}}}}}}⟫ ∈ SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ d ∈ b)
223	209, 210, 222	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ⊢ (⟪{{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ d ∈ b)
224	208, 223	orbi12i 507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((⟪{{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∨ ⟪{{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ) ↔ (d ∈ a ∨ d ∈ b))
225		elun 3220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (⟪{{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ) ↔ (⟪{{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∨ ⟪{{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ))
226		elun 3220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ (d ∈ (a ∪ b) ↔ (d ∈ a ∨ d ∈ b))
227	224, 225, 226	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (⟪{{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ) ↔ d ∈ (a ∪ b))
228	189, 227	bibi12i 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((⟪{{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) ↔ (d ∈ c ↔ d ∈ (a ∪ b)))
229	228	notbii 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (¬ (⟪{{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) ↔ ¬ (d ∈ c ↔ d ∈ (a ∪ b)))
230	166, 167, 229	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (∃t(t = {{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ))) ↔ ¬ (d ∈ c ↔ d ∈ (a ∪ b)))
231	230	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (∃d∃t(t = {{{{{{{{{{{{d}}}}}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ))) ↔ ∃d ¬ (d ∈ c ↔ d ∈ (a ∪ b)))
232	154, 162, 231	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃d ¬ (d ∈ c ↔ d ∈ (a ∪ b)))
233	232	notbii 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (¬ ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ¬ ∃d ¬ (d ∈ c ↔ d ∈ (a ∪ b)))
234	153	elcompl 3225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ¬ ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))
235		dfcleq 2347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (c = (a ∪ b) ↔ ∀d(d ∈ c ↔ d ∈ (a ∪ b)))
236		alex 1572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (∀d(d ∈ c ↔ d ∈ (a ∪ b)) ↔ ¬ ∃d ¬ (d ∈ c ↔ d ∈ (a ∪ b)))
237	235, 236	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (c = (a ∪ b) ↔ ¬ ∃d ¬ (d ∈ c ↔ d ∈ (a ∪ b)))
238	233, 234, 237	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ c = (a ∪ b))
239	152, 238	anbi12i 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∧ ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ((a ∩ b) = ∅ ∧ c = (a ∪ b)))
240	128, 239	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ((a ∩ b) = ∅ ∧ c = (a ∪ b)))
241	127, 240	anbi12i 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∧ ⟪{{{{{{{{{a}}}}}}}}}, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ (a ∈ y ∧ ((a ∩ b) = ∅ ∧ c = (a ∪ b))))
242	112, 113, 241	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (∃t(t = {{{{{{{{{a}}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))) ↔ (a ∈ y ∧ ((a ∩ b) = ∅ ∧ c = (a ∪ b))))
243	242	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (∃a∃t(t = {{{{{{{{{a}}}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)))) ↔ ∃a(a ∈ y ∧ ((a ∩ b) = ∅ ∧ c = (a ∪ b))))
244	100, 108, 243	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃a(a ∈ y ∧ ((a ∩ b) = ∅ ∧ c = (a ∪ b))))
245		df-rex 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (∃a ∈ y ((a ∩ b) = ∅ ∧ c = (a ∪ b)) ↔ ∃a(a ∈ y ∧ ((a ∩ b) = ∅ ∧ c = (a ∪ b))))
246	244, 245	bitr4i 243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃a ∈ y ((a ∩ b) = ∅ ∧ c = (a ∪ b)))
247	98, 246	anbi12i 678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∧ ⟪{{{{{{{b}}}}}}}, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ (b ∈ w ∧ ∃a ∈ y ((a ∩ b) = ∅ ∧ c = (a ∪ b))))
248	83, 84, 247	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∃t(t = {{{{{{{b}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ (b ∈ w ∧ ∃a ∈ y ((a ∩ b) = ∅ ∧ c = (a ∪ b))))
249	248	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (∃b∃t(t = {{{{{{{b}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃b(b ∈ w ∧ ∃a ∈ y ((a ∩ b) = ∅ ∧ c = (a ∪ b))))
250	71, 79, 249	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃b(b ∈ w ∧ ∃a ∈ y ((a ∩ b) = ∅ ∧ c = (a ∪ b))))
251	51, 31, 21	otkelins2k 4255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (⟪{{{{{{{c}}}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ⟪{{{{{c}}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))
252		rexcom 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (∃a ∈ y ∃b ∈ w ((a ∩ b) = ∅ ∧ c = (a ∪ b)) ↔ ∃b ∈ w ∃a ∈ y ((a ∩ b) = ∅ ∧ c = (a ∪ b)))
253		df-rex 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (∃b ∈ w ∃a ∈ y ((a ∩ b) = ∅ ∧ c = (a ∪ b)) ↔ ∃b(b ∈ w ∧ ∃a ∈ y ((a ∩ b) = ∅ ∧ c = (a ∪ b))))
254	252, 253	bitri 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (∃a ∈ y ∃b ∈ w ((a ∩ b) = ∅ ∧ c = (a ∪ b)) ↔ ∃b(b ∈ w ∧ ∃a ∈ y ((a ∩ b) = ∅ ∧ c = (a ∪ b))))
255	250, 251, 254	3bitr4i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (⟪{{{{{{{c}}}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃a ∈ y ∃b ∈ w ((a ∩ b) = ∅ ∧ c = (a ∪ b)))
256	69, 255	bibi12i 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((⟪{{{{{{{c}}}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{{c}}}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ (c ∈ x ↔ ∃a ∈ y ∃b ∈ w ((a ∩ b) = ∅ ∧ c = (a ∪ b))))
257	256	notbii 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (¬ (⟪{{{{{{{c}}}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ↔ ⟪{{{{{{{c}}}}}}}, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) ↔ ¬ (c ∈ x ↔ ∃a ∈ y ∃b ∈ w ((a ∩ b) = ∅ ∧ c = (a ∪ b))))
258	49, 50, 257	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (∃t(t = {{{{{{{c}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ¬ (c ∈ x ↔ ∃a ∈ y ∃b ∈ w ((a ∩ b) = ∅ ∧ c = (a ∪ b))))
259	258	exbii 1582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (∃c∃t(t = {{{{{{{c}}}}}}} ∧ ⟪t, ⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫⟫ ∈ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) ↔ ∃c ¬ (c ∈ x ↔ ∃a ∈ y ∃b ∈ w ((a ∩ b) = ∅ ∧ c = (a ∪ b))))
260	37, 45, 259	3bitri 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (⟪{{{{x}}}}, ⟪{{w}}, ⟪y, z⟫⟫⟫ ∈ (( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ Ins2_k (( Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k S_k ∩ (( Ins2_k Ins2_k Ins2_k Ins3_k S_k ∩ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k ∼ (( Ins3_k S_k ∩ Ins2_k S_k ) “_k ℘₁℘₁1_c) ∩ ∼ (( Ins2_k Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ⊕ ( Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k ∪ Ins2_k Ins3_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k SI_k S_k )) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c))) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c)) “_k ℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁℘₁1_c) ↔ ∃c ¬ (c ∈ x ↔ ∃a ∈ y ∃b ∈ w ((a ∩ b) = ∅