Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | vex 2862 |
. . . . 5
⊢ n ∈
V |
2 | 1 | eluni1 4173 |
. . . 4
⊢ (n ∈
⋃1 ∼ (( SIk
Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c)))
“k ℘11c) ↔
{n} ∈
∼ (( SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c)))
“k ℘11c)) |
3 | | snex 4111 |
. . . . . . . . . 10
⊢ {{y}} ∈
V |
4 | | opkeq1 4059 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (t = {{y}} →
⟪t, {n}⟫ = ⟪{{y}}, {n}⟫) |
5 | 4 | eleq1d 2419 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (t = {{y}} →
(⟪t, {n}⟫ ∈ (
SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c))) ↔
⟪{{y}}, {n}⟫ ∈ (
SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c))))) |
6 | 3, 5 | ceqsexv 2894 |
. . . . . . . . 9
⊢ (∃t(t = {{y}} ∧ ⟪t,
{n}⟫ ∈ ( SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c)))) ↔
⟪{{y}}, {n}⟫ ∈ (
SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c)))) |
7 | | elin 3219 |
. . . . . . . . 9
⊢ (⟪{{y}}, {n}⟫
∈ ( SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c))) ↔
(⟪{{y}}, {n}⟫ ∈ SIk Sk ∧
⟪{{y}}, {n}⟫ ∈ (
SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c)))) |
8 | | snex 4111 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ {y} ∈
V |
9 | 8, 1 | opksnelsik 4265 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (⟪{{y}}, {n}⟫
∈ SIk Sk ↔ ⟪{y}, n⟫
∈ Sk ) |
10 | | vex 2862 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ y ∈
V |
11 | 10, 1 | elssetk 4270 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (⟪{y}, n⟫
∈ Sk ↔ y ∈ n) |
12 | 9, 11 | bitri 240 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (⟪{{y}}, {n}⟫
∈ SIk Sk ↔ y ∈ n) |
13 | | eldif 3221 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (⟪{{y}}, {n}⟫
∈ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c)) ↔
(⟪{{y}}, {n}⟫ ∈ SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∧ ¬
⟪{{y}}, {n}⟫ ∈ ((
Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c))) |
14 | 8, 1 | opksnelsik 4265 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (⟪{{y}}, {n}⟫
∈ SIk (℘1℘ Nn
×k V) ↔ ⟪{y}, n⟫
∈ (℘1℘ Nn
×k V)) |
15 | 8, 1 | opkelxpk 4248 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (⟪{y}, n⟫
∈ (℘1℘ Nn
×k V) ↔ ({y}
∈ ℘1℘ Nn ∧ n ∈ V)) |
16 | 1, 15 | mpbiran2 885 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (⟪{y}, n⟫
∈ (℘1℘ Nn
×k V) ↔ {y}
∈ ℘1℘ Nn
) |
17 | | snelpw1 4146 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ({y} ∈ ℘1℘ Nn ↔ y ∈ ℘ Nn
) |
18 | 16, 17 | bitri 240 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (⟪{y}, n⟫
∈ (℘1℘ Nn
×k V) ↔ y
∈ ℘ Nn ) |
19 | 10 | elpw 3728 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (y ∈ ℘ Nn ↔ y ⊆ Nn ) |
20 | 14, 18, 19 | 3bitri 262 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (⟪{{y}}, {n}⟫
∈ SIk (℘1℘ Nn
×k V) ↔ y
⊆ Nn
) |
21 | | snex 4111 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ {{z}} ∈
V |
22 | | opkeq1 4059 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (t = {{z}} →
⟪t, ⟪{{y}}, {n}⟫⟫ = ⟪{{z}}, ⟪{{y}}, {n}⟫⟫) |
23 | 22 | eleq1d 2419 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (t = {{z}} →
(⟪t, ⟪{{y}}, {n}⟫⟫ ∈ ( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c)) ↔
⟪{{z}}, ⟪{{y}}, {n}⟫⟫ ∈ ( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c)))) |
24 | 21, 23 | ceqsexv 2894 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (∃t(t = {{z}} ∧ ⟪t,
⟪{{y}}, {n}⟫⟫ ∈ ( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))) ↔
⟪{{z}}, ⟪{{y}}, {n}⟫⟫ ∈ ( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))) |
25 | | elin 3219 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (⟪{{z}}, ⟪{{y}}, {n}⟫⟫ ∈ ( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c)) ↔
(⟪{{z}}, ⟪{{y}}, {n}⟫⟫ ∈ Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∧
⟪{{z}}, ⟪{{y}}, {n}⟫⟫ ∈ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))) |
26 | | vex 2862 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ z ∈
V |
27 | | snex 4111 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ {n} ∈
V |
28 | 26, 3, 27 | otkelins2k 4255 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (⟪{{z}}, ⟪{{y}}, {n}⟫⟫ ∈ Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ↔ ⟪z, {n}⟫
∈ ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) |
29 | 26, 27 | opkelcnvk 4250 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (⟪z, {n}⟫
∈ ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ↔ ⟪{n}, z⟫
∈ (({{∅}}
×k {∅}) ∪ (
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) |
30 | 1, 26 | eqtfinrelk 4486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (⟪{n}, z⟫
∈ (({{∅}}
×k {∅}) ∪ (
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ↔ z =
Tfin n) |
31 | 28, 29, 30 | 3bitri 262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (⟪{{z}}, ⟪{{y}}, {n}⟫⟫ ∈ Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ↔ z =
Tfin n) |
32 | | opkex 4113 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ⟪z, {{y}}⟫
∈ V |
33 | 32 | elimak 4259 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (⟪z, {{y}}⟫
∈ (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c) ↔ ∃t ∈ ℘1
℘11c⟪t, ⟪z,
{{y}}⟫⟫ ∈ ( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk )) |
34 | | elpw121c 4148 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (t ∈ ℘1℘11c ↔ ∃w t = {{{w}}}) |
35 | 34 | anbi1i 676 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((t ∈ ℘1℘11c ∧ ⟪t,
⟪z, {{y}}⟫⟫ ∈ ( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk )) ↔ (∃w t = {{{w}}}
∧ ⟪t, ⟪z,
{{y}}⟫⟫ ∈ ( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ))) |
36 | | 19.41v 1901 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (∃w(t = {{{w}}}
∧ ⟪t, ⟪z,
{{y}}⟫⟫ ∈ ( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk )) ↔ (∃w t = {{{w}}}
∧ ⟪t, ⟪z,
{{y}}⟫⟫ ∈ ( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ))) |
37 | 35, 36 | bitr4i 243 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((t ∈ ℘1℘11c ∧ ⟪t,
⟪z, {{y}}⟫⟫ ∈ ( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk )) ↔ ∃w(t = {{{w}}}
∧ ⟪t, ⟪z,
{{y}}⟫⟫ ∈ ( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ))) |
38 | 37 | exbii 1582 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (∃t(t ∈ ℘1℘11c ∧ ⟪t,
⟪z, {{y}}⟫⟫ ∈ ( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk )) ↔ ∃t∃w(t = {{{w}}}
∧ ⟪t, ⟪z,
{{y}}⟫⟫ ∈ ( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ))) |
39 | | df-rex 2620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (∃t ∈ ℘1
℘11c⟪t, ⟪z,
{{y}}⟫⟫ ∈ ( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) ↔ ∃t(t ∈ ℘1℘11c ∧ ⟪t,
⟪z, {{y}}⟫⟫ ∈ ( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ))) |
40 | | excom 1741 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (∃w∃t(t = {{{w}}}
∧ ⟪t, ⟪z,
{{y}}⟫⟫ ∈ ( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk )) ↔ ∃t∃w(t = {{{w}}}
∧ ⟪t, ⟪z,
{{y}}⟫⟫ ∈ ( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ))) |
41 | 38, 39, 40 | 3bitr4i 268 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (∃t ∈ ℘1
℘11c⟪t, ⟪z,
{{y}}⟫⟫ ∈ ( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) ↔ ∃w∃t(t = {{{w}}}
∧ ⟪t, ⟪z,
{{y}}⟫⟫ ∈ ( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ))) |
42 | | snex 4111 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ {{{w}}} ∈
V |
43 | | opkeq1 4059 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (t = {{{w}}}
→ ⟪t, ⟪z, {{y}}⟫⟫ = ⟪{{{w}}}, ⟪z,
{{y}}⟫⟫) |
44 | 43 | eleq1d 2419 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (t = {{{w}}}
→ (⟪t, ⟪z, {{y}}⟫⟫ ∈ ( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) ↔ ⟪{{{w}}}, ⟪z,
{{y}}⟫⟫ ∈ ( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ))) |
45 | 42, 44 | ceqsexv 2894 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (∃t(t = {{{w}}}
∧ ⟪t, ⟪z,
{{y}}⟫⟫ ∈ ( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk )) ↔ ⟪{{{w}}}, ⟪z,
{{y}}⟫⟫ ∈ ( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk )) |
46 | | elin 3219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(⟪{{{w}}}, ⟪z, {{y}}⟫⟫ ∈ ( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) ↔ (⟪{{{w}}}, ⟪z,
{{y}}⟫⟫ ∈ Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∧ ⟪{{{w}}}, ⟪z,
{{y}}⟫⟫ ∈ Ins3k Sk )) |
47 | | snex 4111 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ {w} ∈
V |
48 | 47, 26, 3 | otkelins2k 4255 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(⟪{{{w}}}, ⟪z, {{y}}⟫⟫ ∈ Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ↔
⟪{w}, {{y}}⟫ ∈
SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c)) |
49 | | vex 2862 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ w ∈
V |
50 | 49, 8 | opksnelsik 4265 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (⟪{w}, {{y}}⟫ ∈
SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ↔
⟪w, {y}⟫ ∈ ∼
(( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c)) |
51 | | opkex 4113 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ⟪w, {y}⟫
∈ V |
52 | 51 | elimak 4259 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (⟪w, {y}⟫
∈ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ↔ ∃t ∈ ℘1
℘11c⟪t, ⟪w,
{y}⟫⟫ ∈ ( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))) |
53 | | elpw121c 4148 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (t ∈ ℘1℘11c ↔ ∃a t = {{{a}}}) |
54 | 53 | anbi1i 676 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((t ∈ ℘1℘11c ∧ ⟪t,
⟪w, {y}⟫⟫ ∈ ( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))) ↔
(∃a
t = {{{a}}} ∧
⟪t, ⟪w, {y}⟫⟫ ∈ ( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c)))) |
55 | | 19.41v 1901 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (∃a(t = {{{a}}}
∧ ⟪t, ⟪w,
{y}⟫⟫ ∈ ( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))) ↔
(∃a
t = {{{a}}} ∧
⟪t, ⟪w, {y}⟫⟫ ∈ ( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c)))) |
56 | 54, 55 | bitr4i 243 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((t ∈ ℘1℘11c ∧ ⟪t,
⟪w, {y}⟫⟫ ∈ ( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))) ↔ ∃a(t = {{{a}}}
∧ ⟪t, ⟪w,
{y}⟫⟫ ∈ ( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c)))) |
57 | 56 | exbii 1582 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (∃t(t ∈ ℘1℘11c ∧ ⟪t,
⟪w, {y}⟫⟫ ∈ ( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))) ↔ ∃t∃a(t = {{{a}}}
∧ ⟪t, ⟪w,
{y}⟫⟫ ∈ ( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c)))) |
58 | | df-rex 2620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (∃t ∈ ℘1
℘11c⟪t, ⟪w,
{y}⟫⟫ ∈ ( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c)) ↔ ∃t(t ∈ ℘1℘11c ∧ ⟪t,
⟪w, {y}⟫⟫ ∈ ( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c)))) |
59 | | excom 1741 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (∃a∃t(t = {{{a}}}
∧ ⟪t, ⟪w,
{y}⟫⟫ ∈ ( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))) ↔ ∃t∃a(t = {{{a}}}
∧ ⟪t, ⟪w,
{y}⟫⟫ ∈ ( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c)))) |
60 | 57, 58, 59 | 3bitr4i 268 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (∃t ∈ ℘1
℘11c⟪t, ⟪w,
{y}⟫⟫ ∈ ( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c)) ↔ ∃a∃t(t = {{{a}}}
∧ ⟪t, ⟪w,
{y}⟫⟫ ∈ ( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c)))) |
61 | | snex 4111 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ {{{a}}} ∈
V |
62 | | opkeq1 4059 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (t = {{{a}}}
→ ⟪t, ⟪w, {y}⟫⟫ = ⟪{{{a}}}, ⟪w,
{y}⟫⟫) |
63 | 62 | eleq1d 2419 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (t = {{{a}}}
→ (⟪t, ⟪w, {y}⟫⟫ ∈ ( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c)) ↔
⟪{{{a}}}, ⟪w, {y}⟫⟫ ∈ ( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c)))) |
64 | 61, 63 | ceqsexv 2894 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (∃t(t = {{{a}}}
∧ ⟪t, ⟪w,
{y}⟫⟫ ∈ ( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))) ↔
⟪{{{a}}}, ⟪w, {y}⟫⟫ ∈ ( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))) |
65 | | elsymdif 3223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢
(⟪{{{a}}}, ⟪w, {y}⟫⟫ ∈ ( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c)) ↔ ¬
(⟪{{{a}}}, ⟪w, {y}⟫⟫ ∈ Ins3k Sk ↔ ⟪{{{a}}}, ⟪w,
{y}⟫⟫ ∈ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))) |
66 | | snex 4111 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ {a} ∈
V |
67 | 66, 49, 8 | otkelins3k 4256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢
(⟪{{{a}}}, ⟪w, {y}⟫⟫ ∈ Ins3k Sk ↔ ⟪{a}, w⟫
∈ Sk ) |
68 | | vex 2862 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ a ∈
V |
69 | 68, 49 | elssetk 4270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (⟪{a}, w⟫
∈ Sk ↔ a ∈ w) |
70 | 67, 69 | bitri 240 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢
(⟪{{{a}}}, ⟪w, {y}⟫⟫ ∈ Ins3k Sk ↔ a ∈ w) |
71 | 66, 49, 8 | otkelins2k 4255 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢
(⟪{{{a}}}, ⟪w, {y}⟫⟫ ∈ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c) ↔
⟪{a}, {y}⟫ ∈ SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c)) |
72 | | opkex 4113 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ ⟪a, y⟫
∈ V |
73 | 72 | elimak 4259 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (⟪a, y⟫
∈ (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c) ↔ ∃t ∈ ℘1
℘11c⟪t, ⟪a,
y⟫⟫ ∈ ( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))))) |
74 | | elpw121c 4148 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (t ∈ ℘1℘11c ↔ ∃x t = {{{x}}}) |
75 | 74 | anbi1i 676 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((t ∈ ℘1℘11c ∧ ⟪t,
⟪a, y⟫⟫ ∈ ( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))))) ↔ (∃x t = {{{x}}}
∧ ⟪t, ⟪a,
y⟫⟫ ∈ ( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))))) |
76 | | 19.41v 1901 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (∃x(t = {{{x}}}
∧ ⟪t, ⟪a,
y⟫⟫ ∈ ( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))))) ↔ (∃x t = {{{x}}}
∧ ⟪t, ⟪a,
y⟫⟫ ∈ ( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))))) |
77 | 75, 76 | bitr4i 243 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((t ∈ ℘1℘11c ∧ ⟪t,
⟪a, y⟫⟫ ∈ ( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))))) ↔ ∃x(t = {{{x}}}
∧ ⟪t, ⟪a,
y⟫⟫ ∈ ( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))))) |
78 | 77 | exbii 1582 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (∃t(t ∈ ℘1℘11c ∧ ⟪t,
⟪a, y⟫⟫ ∈ ( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))))) ↔ ∃t∃x(t = {{{x}}}
∧ ⟪t, ⟪a,
y⟫⟫ ∈ ( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))))) |
79 | | df-rex 2620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (∃t ∈ ℘1
℘11c⟪t, ⟪a,
y⟫⟫ ∈ ( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) ↔ ∃t(t ∈ ℘1℘11c ∧ ⟪t,
⟪a, y⟫⟫ ∈ ( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))))) |
80 | | excom 1741 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (∃x∃t(t = {{{x}}}
∧ ⟪t, ⟪a,
y⟫⟫ ∈ ( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))))) ↔ ∃t∃x(t = {{{x}}}
∧ ⟪t, ⟪a,
y⟫⟫ ∈ ( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))))) |
81 | 78, 79, 80 | 3bitr4i 268 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (∃t ∈ ℘1
℘11c⟪t, ⟪a,
y⟫⟫ ∈ ( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) ↔ ∃x∃t(t = {{{x}}}
∧ ⟪t, ⟪a,
y⟫⟫ ∈ ( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))))) |
82 | | snex 4111 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ {{{x}}} ∈
V |
83 | | opkeq1 4059 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (t = {{{x}}}
→ ⟪t, ⟪a, y⟫⟫ = ⟪{{{x}}}, ⟪a,
y⟫⟫) |
84 | 83 | eleq1d 2419 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (t = {{{x}}}
→ (⟪t, ⟪a, y⟫⟫ ∈ ( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) ↔ ⟪{{{x}}}, ⟪a,
y⟫⟫ ∈ ( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))))) |
85 | 82, 84 | ceqsexv 2894 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (∃t(t = {{{x}}}
∧ ⟪t, ⟪a,
y⟫⟫ ∈ ( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))))) ↔ ⟪{{{x}}}, ⟪a,
y⟫⟫ ∈ ( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))))) |
86 | | elin 3219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢
(⟪{{{x}}}, ⟪a, y⟫⟫ ∈ ( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) ↔ (⟪{{{x}}}, ⟪a,
y⟫⟫ ∈ Ins2k Sk ∧
⟪{{{x}}}, ⟪a, y⟫⟫ ∈ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))))) |
87 | | snex 4111 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ {x} ∈
V |
88 | 87, 68, 10 | otkelins2k 4255 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢
(⟪{{{x}}}, ⟪a, y⟫⟫ ∈ Ins2k Sk ↔ ⟪{x}, y⟫
∈ Sk ) |
89 | | vex 2862 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ x ∈
V |
90 | 89, 10 | elssetk 4270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (⟪{x}, y⟫
∈ Sk ↔ x ∈ y) |
91 | 88, 90 | bitri 240 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢
(⟪{{{x}}}, ⟪a, y⟫⟫ ∈ Ins2k Sk ↔ x ∈ y) |
92 | 87, 68, 10 | otkelins3k 4256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢
(⟪{{{x}}}, ⟪a, y⟫⟫ ∈ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ↔ ⟪{x}, a⟫
∈ (({{∅}}
×k {∅}) ∪ (
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) |
93 | 89, 68 | eqtfinrelk 4486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (⟪{x}, a⟫
∈ (({{∅}}
×k {∅}) ∪ (
∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ↔ a =
Tfin x) |
94 | 92, 93 | bitri 240 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢
(⟪{{{x}}}, ⟪a, y⟫⟫ ∈ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ↔ a =
Tfin x) |
95 | 91, 94 | anbi12i 678 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢
((⟪{{{x}}}, ⟪a, y⟫⟫ ∈ Ins2k Sk ∧
⟪{{{x}}}, ⟪a, y⟫⟫ ∈ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) ↔ (x
∈ y ∧ a = Tfin x)) |
96 | 85, 86, 95 | 3bitri 262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (∃t(t = {{{x}}}
∧ ⟪t, ⟪a,
y⟫⟫ ∈ ( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))))) ↔ (x
∈ y ∧ a = Tfin x)) |
97 | 96 | exbii 1582 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (∃x∃t(t = {{{x}}}
∧ ⟪t, ⟪a,
y⟫⟫ ∈ ( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))))) ↔ ∃x(x ∈ y ∧ a = Tfin
x)) |
98 | 73, 81, 97 | 3bitri 262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (⟪a, y⟫
∈ (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c) ↔ ∃x(x ∈ y ∧ a = Tfin
x)) |
99 | 68, 10 | opksnelsik 4265 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (⟪{a}, {y}⟫
∈ SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c) ↔
⟪a, y⟫ ∈ ((
Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c)) |
100 | | df-rex 2620 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (∃x ∈ y a = Tfin
x ↔ ∃x(x ∈ y ∧ a = Tfin
x)) |
101 | 98, 99, 100 | 3bitr4i 268 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (⟪{a}, {y}⟫
∈ SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c) ↔ ∃x ∈ y a = Tfin
x) |
102 | 71, 101 | bitri 240 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢
(⟪{{{a}}}, ⟪w, {y}⟫⟫ ∈ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c) ↔ ∃x ∈ y a = Tfin
x) |
103 | 70, 102 | bibi12i 306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢
((⟪{{{a}}}, ⟪w, {y}⟫⟫ ∈ Ins3k Sk ↔ ⟪{{{a}}}, ⟪w,
{y}⟫⟫ ∈ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c)) ↔
(a ∈
w ↔ ∃x ∈ y a = Tfin
x)) |
104 | 103 | notbii 287 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (¬
(⟪{{{a}}}, ⟪w, {y}⟫⟫ ∈ Ins3k Sk ↔ ⟪{{{a}}}, ⟪w,
{y}⟫⟫ ∈ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c)) ↔ ¬
(a ∈
w ↔ ∃x ∈ y a = Tfin
x)) |
105 | 64, 65, 104 | 3bitri 262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (∃t(t = {{{a}}}
∧ ⟪t, ⟪w,
{y}⟫⟫ ∈ ( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))) ↔ ¬
(a ∈
w ↔ ∃x ∈ y a = Tfin
x)) |
106 | 105 | exbii 1582 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (∃a∃t(t = {{{a}}}
∧ ⟪t, ⟪w,
{y}⟫⟫ ∈ ( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))) ↔ ∃a ¬
(a ∈
w ↔ ∃x ∈ y a = Tfin
x)) |
107 | 52, 60, 106 | 3bitri 262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (⟪w, {y}⟫
∈ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ↔ ∃a ¬
(a ∈
w ↔ ∃x ∈ y a = Tfin
x)) |
108 | 107 | notbii 287 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (¬
⟪w, {y}⟫ ∈ ((
Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ↔ ¬
∃a ¬
(a ∈
w ↔ ∃x ∈ y a = Tfin
x)) |
109 | 51 | elcompl 3225 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (⟪w, {y}⟫
∈ ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ↔ ¬
⟪w, {y}⟫ ∈ ((
Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c)) |
110 | | abeq2 2458 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (w = {a ∣ ∃x ∈ y a = Tfin x}
↔ ∀a(a ∈ w ↔
∃x ∈ y a = Tfin
x)) |
111 | | alex 1572 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (∀a(a ∈ w ↔ ∃x ∈ y a = Tfin
x) ↔ ¬ ∃a ¬
(a ∈
w ↔ ∃x ∈ y a = Tfin
x)) |
112 | 110, 111 | bitri 240 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (w = {a ∣ ∃x ∈ y a = Tfin x}
↔ ¬ ∃a ¬ (a ∈ w ↔
∃x ∈ y a = Tfin
x)) |
113 | 108, 109,
112 | 3bitr4i 268 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (⟪w, {y}⟫
∈ ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ↔
w = {a
∣ ∃x ∈ y a = Tfin
x}) |
114 | 48, 50, 113 | 3bitri 262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(⟪{{{w}}}, ⟪z, {{y}}⟫⟫ ∈ Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ↔
w = {a
∣ ∃x ∈ y a = Tfin
x}) |
115 | 47, 26, 3 | otkelins3k 4256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(⟪{{{w}}}, ⟪z, {{y}}⟫⟫ ∈ Ins3k Sk ↔ ⟪{w}, z⟫
∈ Sk ) |
116 | 49, 26 | elssetk 4270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (⟪{w}, z⟫
∈ Sk ↔ w ∈ z) |
117 | 115, 116 | bitri 240 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(⟪{{{w}}}, ⟪z, {{y}}⟫⟫ ∈ Ins3k Sk ↔ w ∈ z) |
118 | 114, 117 | anbi12i 678 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((⟪{{{w}}}, ⟪z, {{y}}⟫⟫ ∈ Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∧ ⟪{{{w}}}, ⟪z,
{{y}}⟫⟫ ∈ Ins3k Sk ) ↔ (w = {a ∣ ∃x ∈ y a = Tfin x}
∧ w ∈ z)) |
119 | 45, 46, 118 | 3bitri 262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (∃t(t = {{{w}}}
∧ ⟪t, ⟪z,
{{y}}⟫⟫ ∈ ( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk )) ↔ (w = {a ∣ ∃x ∈ y a = Tfin x}
∧ w ∈ z)) |
120 | 119 | exbii 1582 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (∃w∃t(t = {{{w}}}
∧ ⟪t, ⟪z,
{{y}}⟫⟫ ∈ ( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk )) ↔ ∃w(w = {a ∣ ∃x ∈ y a = Tfin x}
∧ w ∈ z)) |
121 | 33, 41, 120 | 3bitri 262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (⟪z, {{y}}⟫
∈ (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c) ↔ ∃w(w = {a ∣ ∃x ∈ y a = Tfin x}
∧ w ∈ z)) |
122 | 26, 3, 27 | otkelins3k 4256 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (⟪{{z}}, ⟪{{y}}, {n}⟫⟫ ∈ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c) ↔
⟪z, {{y}}⟫ ∈ ((
Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c)) |
123 | | df-clel 2349 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ({a ∣ ∃x ∈ y a = Tfin
x} ∈
z ↔ ∃w(w = {a ∣ ∃x ∈ y a = Tfin x}
∧ w ∈ z)) |
124 | 121, 122,
123 | 3bitr4i 268 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (⟪{{z}}, ⟪{{y}}, {n}⟫⟫ ∈ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c) ↔
{a ∣
∃x ∈ y a = Tfin
x} ∈
z) |
125 | 31, 124 | anbi12i 678 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((⟪{{z}}, ⟪{{y}}, {n}⟫⟫ ∈ Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∧
⟪{{z}}, ⟪{{y}}, {n}⟫⟫ ∈ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c)) ↔
(z = Tfin n
∧ {a ∣ ∃x ∈ y a = Tfin x}
∈ z)) |
126 | 24, 25, 125 | 3bitri 262 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (∃t(t = {{z}} ∧ ⟪t,
⟪{{y}}, {n}⟫⟫ ∈ ( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))) ↔
(z = Tfin n
∧ {a ∣ ∃x ∈ y a = Tfin x}
∈ z)) |
127 | 126 | exbii 1582 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (∃z∃t(t = {{z}} ∧ ⟪t,
⟪{{y}}, {n}⟫⟫ ∈ ( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))) ↔ ∃z(z = Tfin
n ∧
{a ∣
∃x ∈ y a = Tfin
x} ∈
z)) |
128 | | opkex 4113 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ⟪{{y}}, {n}⟫
∈ V |
129 | 128 | elimak 4259 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (⟪{{y}}, {n}⟫
∈ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c) ↔ ∃t ∈ ℘1
1c⟪t,
⟪{{y}}, {n}⟫⟫ ∈ ( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))) |
130 | | elpw11c 4147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (t ∈ ℘11c ↔ ∃z t = {{z}}) |
131 | 130 | anbi1i 676 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((t ∈ ℘11c ∧ ⟪t,
⟪{{y}}, {n}⟫⟫ ∈ ( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))) ↔
(∃z
t = {{z}} ∧
⟪t, ⟪{{y}}, {n}⟫⟫ ∈ ( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c)))) |
132 | | 19.41v 1901 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (∃z(t = {{z}} ∧ ⟪t,
⟪{{y}}, {n}⟫⟫ ∈ ( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))) ↔
(∃z
t = {{z}} ∧
⟪t, ⟪{{y}}, {n}⟫⟫ ∈ ( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c)))) |
133 | 131, 132 | bitr4i 243 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((t ∈ ℘11c ∧ ⟪t,
⟪{{y}}, {n}⟫⟫ ∈ ( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))) ↔ ∃z(t = {{z}} ∧ ⟪t,
⟪{{y}}, {n}⟫⟫ ∈ ( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c)))) |
134 | 133 | exbii 1582 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (∃t(t ∈ ℘11c ∧ ⟪t,
⟪{{y}}, {n}⟫⟫ ∈ ( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))) ↔ ∃t∃z(t = {{z}} ∧ ⟪t,
⟪{{y}}, {n}⟫⟫ ∈ ( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c)))) |
135 | | df-rex 2620 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (∃t ∈ ℘1
1c⟪t,
⟪{{y}}, {n}⟫⟫ ∈ ( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c)) ↔ ∃t(t ∈ ℘11c ∧ ⟪t,
⟪{{y}}, {n}⟫⟫ ∈ ( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c)))) |
136 | | excom 1741 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (∃z∃t(t = {{z}} ∧ ⟪t,
⟪{{y}}, {n}⟫⟫ ∈ ( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))) ↔ ∃t∃z(t = {{z}} ∧ ⟪t,
⟪{{y}}, {n}⟫⟫ ∈ ( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c)))) |
137 | 134, 135,
136 | 3bitr4i 268 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (∃t ∈ ℘1
1c⟪t,
⟪{{y}}, {n}⟫⟫ ∈ ( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c)) ↔ ∃z∃t(t = {{z}} ∧ ⟪t,
⟪{{y}}, {n}⟫⟫ ∈ ( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c)))) |
138 | 129, 137 | bitri 240 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (⟪{{y}}, {n}⟫
∈ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c) ↔ ∃z∃t(t = {{z}} ∧ ⟪t,
⟪{{y}}, {n}⟫⟫ ∈ ( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c)))) |
139 | | tfinex 4485 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ Tfin n
∈ V |
140 | 139 | clel3 2977 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ({a ∣ ∃x ∈ y a = Tfin
x} ∈
Tfin n ↔ ∃z(z = Tfin
n ∧
{a ∣
∃x ∈ y a = Tfin
x} ∈
z)) |
141 | 127, 138,
140 | 3bitr4i 268 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (⟪{{y}}, {n}⟫
∈ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c) ↔
{a ∣
∃x ∈ y a = Tfin
x} ∈
Tfin n) |
142 | 141 | notbii 287 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (¬
⟪{{y}}, {n}⟫ ∈ ((
Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c) ↔ ¬
{a ∣
∃x ∈ y a = Tfin
x} ∈
Tfin n) |
143 | 20, 142 | anbi12i 678 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((⟪{{y}}, {n}⟫ ∈ SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∧ ¬
⟪{{y}}, {n}⟫ ∈ ((
Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c)) ↔
(y ⊆
Nn ∧ ¬
{a ∣
∃x ∈ y a = Tfin
x} ∈
Tfin n)) |
144 | | annim 414 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((y ⊆ Nn ∧ ¬ {a ∣ ∃x ∈ y a = Tfin
x} ∈
Tfin n) ↔ ¬ (y ⊆ Nn → {a ∣ ∃x ∈ y a = Tfin x}
∈ Tfin n)) |
145 | 13, 143, 144 | 3bitri 262 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (⟪{{y}}, {n}⟫
∈ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c)) ↔ ¬
(y ⊆
Nn → {a
∣ ∃x ∈ y a = Tfin
x} ∈
Tfin n)) |
146 | 12, 145 | anbi12i 678 |
. . . . . . . . 9
⊢
((⟪{{y}}, {n}⟫ ∈ SIk Sk ∧
⟪{{y}}, {n}⟫ ∈ (
SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c))) ↔
(y ∈
n ∧ ¬
(y ⊆
Nn → {a
∣ ∃x ∈ y a = Tfin
x} ∈
Tfin n))) |
147 | 6, 7, 146 | 3bitri 262 |
. . . . . . . 8
⊢ (∃t(t = {{y}} ∧ ⟪t,
{n}⟫ ∈ ( SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c)))) ↔
(y ∈
n ∧ ¬
(y ⊆
Nn → {a
∣ ∃x ∈ y a = Tfin
x} ∈
Tfin n))) |
148 | 147 | exbii 1582 |
. . . . . . 7
⊢ (∃y∃t(t = {{y}} ∧ ⟪t,
{n}⟫ ∈ ( SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c)))) ↔
∃y(y ∈ n ∧ ¬ (y ⊆ Nn → {a ∣ ∃x ∈ y a = Tfin
x} ∈
Tfin n))) |
149 | 27 | elimak 4259 |
. . . . . . . 8
⊢ ({n} ∈ (( SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c)))
“k ℘11c) ↔ ∃t ∈ ℘1
1c⟪t, {n}⟫ ∈ (
SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c)))) |
150 | | elpw11c 4147 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (t ∈ ℘11c ↔ ∃y t = {{y}}) |
151 | 150 | anbi1i 676 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((t ∈ ℘11c ∧ ⟪t,
{n}⟫ ∈ ( SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c)))) ↔
(∃y
t = {{y}} ∧
⟪t, {n}⟫ ∈ (
SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c))))) |
152 | | 19.41v 1901 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (∃y(t = {{y}} ∧ ⟪t,
{n}⟫ ∈ ( SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c)))) ↔
(∃y
t = {{y}} ∧
⟪t, {n}⟫ ∈ (
SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c))))) |
153 | 151, 152 | bitr4i 243 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((t ∈ ℘11c ∧ ⟪t,
{n}⟫ ∈ ( SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c)))) ↔
∃y(t = {{y}} ∧
⟪t, {n}⟫ ∈ (
SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c))))) |
154 | 153 | exbii 1582 |
. . . . . . . . 9
⊢ (∃t(t ∈ ℘11c ∧ ⟪t,
{n}⟫ ∈ ( SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c)))) ↔
∃t∃y(t = {{y}} ∧ ⟪t,
{n}⟫ ∈ ( SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c))))) |
155 | | df-rex 2620 |
. . . . . . . . 9
⊢ (∃t ∈ ℘1
1c⟪t, {n}⟫ ∈ (
SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c))) ↔ ∃t(t ∈ ℘11c ∧ ⟪t,
{n}⟫ ∈ ( SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c))))) |
156 | | excom 1741 |
. . . . . . . . 9
⊢ (∃y∃t(t = {{y}} ∧ ⟪t,
{n}⟫ ∈ ( SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c)))) ↔
∃t∃y(t = {{y}} ∧ ⟪t,
{n}⟫ ∈ ( SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c))))) |
157 | 154, 155,
156 | 3bitr4i 268 |
. . . . . . . 8
⊢ (∃t ∈ ℘1
1c⟪t, {n}⟫ ∈ (
SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c))) ↔ ∃y∃t(t = {{y}} ∧ ⟪t,
{n}⟫ ∈ ( SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c))))) |
158 | 149, 157 | bitri 240 |
. . . . . . 7
⊢ ({n} ∈ (( SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c)))
“k ℘11c) ↔ ∃y∃t(t = {{y}} ∧ ⟪t,
{n}⟫ ∈ ( SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c))))) |
159 | | df-rex 2620 |
. . . . . . 7
⊢ (∃y ∈ n ¬
(y ⊆
Nn → {a
∣ ∃x ∈ y a = Tfin
x} ∈
Tfin n) ↔ ∃y(y ∈ n ∧ ¬ (y ⊆ Nn → {a ∣ ∃x ∈ y a = Tfin x}
∈ Tfin n))) |
160 | 148, 158,
159 | 3bitr4i 268 |
. . . . . 6
⊢ ({n} ∈ (( SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c)))
“k ℘11c) ↔ ∃y ∈ n ¬
(y ⊆
Nn → {a
∣ ∃x ∈ y a = Tfin
x} ∈
Tfin n)) |
161 | 160 | notbii 287 |
. . . . 5
⊢ (¬ {n} ∈ (( SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c)))
“k ℘11c) ↔ ¬
∃y ∈ n ¬
(y ⊆
Nn → {a
∣ ∃x ∈ y a = Tfin
x} ∈
Tfin n)) |
162 | 27 | elcompl 3225 |
. . . . 5
⊢ ({n} ∈ ∼ ((
SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c)))
“k ℘11c) ↔ ¬
{n} ∈ ((
SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c)))
“k ℘11c)) |
163 | | dfral2 2626 |
. . . . 5
⊢ (∀y ∈ n (y ⊆ Nn → {a ∣ ∃x ∈ y a = Tfin x}
∈ Tfin n)
↔ ¬ ∃y ∈ n ¬ (y ⊆ Nn → {a ∣ ∃x ∈ y a = Tfin
x} ∈
Tfin n)) |
164 | 161, 162,
163 | 3bitr4i 268 |
. . . 4
⊢ ({n} ∈ ∼ ((
SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c)))
“k ℘11c) ↔ ∀y ∈ n (y ⊆ Nn → {a ∣ ∃x ∈ y a = Tfin x}
∈ Tfin n)) |
165 | 2, 164 | bitri 240 |
. . 3
⊢ (n ∈
⋃1 ∼ (( SIk
Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c)))
“k ℘11c) ↔ ∀y ∈ n (y ⊆ Nn → {a ∣ ∃x ∈ y a = Tfin x}
∈ Tfin n)) |
166 | 165 | abbi2i 2464 |
. 2
⊢ ⋃1
∼ (( SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c)))
“k ℘11c) = {n ∣ ∀y ∈ n (y ⊆ Nn → {a ∣ ∃x ∈ y a = Tfin x}
∈ Tfin n)} |
167 | | ssetkex 4294 |
. . . . . . 7
⊢ Sk ∈
V |
168 | 167 | sikex 4297 |
. . . . . 6
⊢ SIk Sk ∈
V |
169 | | nncex 4396 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ Nn ∈
V |
170 | 169 | pwex 4329 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ℘ Nn ∈ V |
171 | 170 | pw1ex 4303 |
. . . . . . . . 9
⊢ ℘1℘ Nn ∈ V |
172 | | vvex 4109 |
. . . . . . . . 9
⊢ V ∈ V |
173 | 171, 172 | xpkex 4289 |
. . . . . . . 8
⊢ (℘1℘ Nn
×k V) ∈
V |
174 | 173 | sikex 4297 |
. . . . . . 7
⊢ SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∈
V |
175 | | tfinrelkex 4487 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∈
V |
176 | 175 | cnvkex 4287 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∈
V |
177 | 176 | ins2kex 4307 |
. . . . . . . . 9
⊢ Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∈
V |
178 | 167 | ins3kex 4308 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ Ins3k Sk ∈
V |
179 | 167 | ins2kex 4307 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ Ins2k Sk ∈
V |
180 | 175 | ins3kex 4308 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∈
V |
181 | 179, 180 | inex 4105 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) ∈
V |
182 | | 1cex 4142 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
1c ∈
V |
183 | 182 | pw1ex 4303 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ℘11c ∈ V |
184 | 183 | pw1ex 4303 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ℘1℘11c ∈ V |
185 | 181, 184 | imakex 4300 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c) ∈ V |
186 | 185 | sikex 4297 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c) ∈ V |
187 | 186 | ins2kex 4307 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c) ∈ V |
188 | 178, 187 | symdifex 4108 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c)) ∈ V |
189 | 188, 184 | imakex 4300 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∈ V |
190 | 189 | complex 4104 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∈ V |
191 | 190 | sikex 4297 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∈ V |
192 | 191 | ins2kex 4307 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∈ V |
193 | 192, 178 | inex 4105 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) ∈ V |
194 | 193, 184 | imakex 4300 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c) ∈ V |
195 | 194 | ins3kex 4308 |
. . . . . . . . 9
⊢ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c) ∈ V |
196 | 177, 195 | inex 4105 |
. . . . . . . 8
⊢ ( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c)) ∈ V |
197 | 196, 183 | imakex 4300 |
. . . . . . 7
⊢ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c) ∈ V |
198 | 174, 197 | difex 4107 |
. . . . . 6
⊢ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( Ins2k SIk ∼ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk (( Ins2k Sk ∩ Ins3k (({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V)))) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘11c) ∩ Ins3k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘11c)) ∈ V |
199 | 168, 198 | inex 4105 |
. . . . 5
⊢ ( SIk Sk ∩ ( SIk (℘1℘ Nn
×k V) ∖ (( Ins2k ◡k(({{∅}} ×k {∅}) ∪ ( ∼ (( Ins2k Sk ⊕ Ins3k (( Ins3k ◡k Sk ∖ Ins2k (( Ins2k (( Nn ×k V) ∩ (( Ins2k SIk Sk ∩ Ins3k (( Ins3k SIk ((℘1c ×k
V) ∖ (( Ins3k Sk ⊕ Ins2k SIk Sk ) “k ℘1℘1℘11c)) ∩ Ins2k Sk ) “k ℘1℘11c))
“k ℘1℘1℘11c)) ⊕
Ins3k Ik )
“k ℘11c))
“k ℘11c))
“k ℘1℘11c) ∖ ({{∅}}
×k V))) ∩ Ins3k (( |