Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem1 39981
Description: Lemma for stoweid 40043. This lemma is used by Lemma 1 in [BrosowskiDeutsh] p. 90; the key step uses Bernoulli's inequality bernneq 12973. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem1.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
stoweidlem1.2 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
stoweidlem1.3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
stoweidlem1.5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
stoweidlem1.6 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
stoweidlem1.7 (𝜑𝐴 ≤ 1)
stoweidlem1.8 (𝜑𝐷𝐴)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem1 (𝜑 → ((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) ≤ (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)))

Proof of Theorem stoweidlem1
StepHypRef Expression
1 1re 10024 . . . . 5 1 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3 stoweidlem1.5 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
43rpred 11857 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
5 stoweidlem1.1 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
65nnnn0d 11336 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
74, 6reexpcld 13008 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)
82, 7resubcld 10443 . . 3 (𝜑 → (1 − (𝐴𝑁)) ∈ ℝ)
9 stoweidlem1.2 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
109nnnn0d 11336 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
1110, 6nn0expcld 13014 . . 3 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ ℕ0)
128, 11reexpcld 13008 . 2 (𝜑 → ((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) ∈ ℝ)
13 2nn0 11294 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ0
1413a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
1514, 6nn0mulcld 11341 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
164, 15reexpcld 13008 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴↑(2 · 𝑁)) ∈ ℝ)
172, 16resubcld 10443 . . . 4 (𝜑 → (1 − (𝐴↑(2 · 𝑁))) ∈ ℝ)
1817, 11reexpcld 13008 . . 3 (𝜑 → ((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)) ∈ ℝ)
199nnred 11020 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
2019, 4remulcld 10055 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ)
2120, 6reexpcld 13008 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ)
229nncnd 11021 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
233rpcnd 11859 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
249nnne0d 11050 . . . . 5 (𝜑𝐾 ≠ 0)
253rpne0d 11862 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ 0)
2622, 23, 24, 25mulne0d 10664 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 · 𝐴) ≠ 0)
2722, 23mulcld 10045 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 · 𝐴) ∈ ℂ)
28 expne0 12874 . . . . 5 (((𝐾 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐾 · 𝐴) ≠ 0))
2927, 5, 28syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐾 · 𝐴) ≠ 0))
3026, 29mpbird 247 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ≠ 0)
3118, 21, 30redivcld 10838 . 2 (𝜑 → (((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ∈ ℝ)
32 stoweidlem1.3 . . . . . 6 (𝜑𝐷 ∈ ℝ+)
3332rpred 11857 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
3419, 33remulcld 10055 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ∈ ℝ)
3534, 6reexpcld 13008 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ∈ ℝ)
3632rpcnd 11859 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
3732rpne0d 11862 . . . . 5 (𝜑𝐷 ≠ 0)
3822, 36, 24, 37mulne0d 10664 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ≠ 0)
3922, 36mulcld 10045 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ∈ ℂ)
40 expne0 12874 . . . . 5 (((𝐾 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐾 · 𝐷) ≠ 0))
4139, 5, 40syl2anc 692 . . . 4 (𝜑 → (((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐾 · 𝐷) ≠ 0))
4238, 41mpbird 247 . . 3 (𝜑 → ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≠ 0)
432, 35, 42redivcld 10838 . 2 (𝜑 → (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)) ∈ ℝ)
4419, 6reexpcld 13008 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ ℝ)
4544, 7remulcld 10055 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁)) ∈ ℝ)
462, 45readdcld 10054 . . . . . 6 (𝜑 → (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁))) ∈ ℝ)
4712, 46remulcld 10055 . . . . 5 (𝜑 → (((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁)))) ∈ ℝ)
4847, 21, 30redivcld 10838 . . . 4 (𝜑 → ((((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁)))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ∈ ℝ)
492, 7readdcld 10054 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + (𝐴𝑁)) ∈ ℝ)
5049, 11reexpcld 13008 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) ∈ ℝ)
5112, 50remulcld 10055 . . . . 5 (𝜑 → (((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁))) ∈ ℝ)
5251, 21, 30redivcld 10838 . . . 4 (𝜑 → ((((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ∈ ℝ)
5346, 21, 30redivcld 10838 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ∈ ℝ)
54 stoweidlem1.6 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
55 stoweidlem1.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ≤ 1)
56 exple1 12903 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ≤ 1)
574, 54, 55, 6, 56syl31anc 1327 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝑁) ≤ 1)
582, 7subge0d 10602 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ (1 − (𝐴𝑁)) ↔ (𝐴𝑁) ≤ 1))
5957, 58mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (1 − (𝐴𝑁)))
608, 11, 59expge0d 13009 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ ((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)))
6127, 6expcld 12991 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℂ)
6261, 30dividd 10784 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) = 1)
6361addid2d 10222 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) = ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))
64 0red 10026 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
65 0le1 10536 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ 1
6665a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 1)
6764, 2, 21, 66leadd1dd 10626 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ≤ (1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
6863, 67eqbrtrrd 4668 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ≤ (1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
692, 21readdcld 10054 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ∈ ℝ)
705nnzd 11466 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
719nngt0d 11049 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝐾)
723rpgt0d 11860 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝐴)
7319, 4, 71, 72mulgt0d 10177 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (𝐾 · 𝐴))
74 expgt0 12876 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾 · 𝐴)) → 0 < ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))
7520, 70, 73, 74syl3anc 1324 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))
76 lediv1 10873 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ (1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))) → (((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ≤ (1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ↔ (((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ≤ ((1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))))
7721, 69, 21, 75, 76syl112anc 1328 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ≤ (1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ↔ (((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ≤ ((1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))))
7868, 77mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ≤ ((1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
7962, 78eqbrtrrd 4668 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ≤ ((1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
8022, 23, 6mulexpd 13006 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) = ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁)))
8180oveq2d 6651 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) = (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁))))
8281oveq1d 6650 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 + ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) = ((1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
8379, 82breqtrd 4670 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ≤ ((1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
8412, 53, 60, 83lemulge11d 10946 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) ≤ (((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · ((1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))))
85 1cnd 10041 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
8623, 6expcld 12991 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
8785, 86subcld 10377 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 − (𝐴𝑁)) ∈ ℂ)
8887, 11expcld 12991 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) ∈ ℂ)
8922, 6expcld 12991 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ ℂ)
9089, 86mulcld 10045 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁)) ∈ ℂ)
9185, 90addcld 10044 . . . . . 6 (𝜑 → (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁))) ∈ ℂ)
9288, 91, 61, 30divassd 10821 . . . . 5 (𝜑 → ((((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁)))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) = (((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · ((1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))))
9384, 92breqtrrd 4672 . . . 4 (𝜑 → ((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) ≤ ((((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁)))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
9489, 86mulcomd 10046 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁)) = ((𝐴𝑁) · (𝐾𝑁)))
9594oveq2d 6651 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁))) = (1 + ((𝐴𝑁) · (𝐾𝑁))))
962renegcld 10442 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -1 ∈ ℝ)
97 le0neg2 10522 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ ℝ → (0 ≤ 1 ↔ -1 ≤ 0))
981, 97ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (0 ≤ 1 ↔ -1 ≤ 0)
9965, 98mpbi 220 . . . . . . . . . 10 -1 ≤ 0
10099a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -1 ≤ 0)
1014, 6, 54expge0d 13009 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴𝑁))
10296, 64, 7, 100, 101letrd 10179 . . . . . . . 8 (𝜑 → -1 ≤ (𝐴𝑁))
103 bernneq 12973 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝐾𝑁) ∈ ℕ0 ∧ -1 ≤ (𝐴𝑁)) → (1 + ((𝐴𝑁) · (𝐾𝑁))) ≤ ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)))
1047, 11, 102, 103syl3anc 1324 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + ((𝐴𝑁) · (𝐾𝑁))) ≤ ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)))
10595, 104eqbrtrd 4666 . . . . . 6 (𝜑 → (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁))) ≤ ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)))
10646, 50, 12, 60, 105lemul2ad 10949 . . . . 5 (𝜑 → (((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁)))) ≤ (((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁))))
107 lediv1 10873 . . . . . 6 (((((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁)))) ∈ ℝ ∧ (((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁))) ∈ ℝ ∧ (((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))) → ((((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁)))) ≤ (((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁))) ↔ ((((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁)))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ≤ ((((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))))
10847, 51, 21, 75, 107syl112anc 1328 . . . . 5 (𝜑 → ((((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁)))) ≤ (((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁))) ↔ ((((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁)))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ≤ ((((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))))
109106, 108mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → ((((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · (1 + ((𝐾𝑁) · (𝐴𝑁)))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ≤ ((((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
11012, 48, 52, 93, 109letrd 10179 . . 3 (𝜑 → ((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) ≤ ((((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
11185, 86addcld 10044 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 + (𝐴𝑁)) ∈ ℂ)
11287, 111mulcomd 10046 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 − (𝐴𝑁)) · (1 + (𝐴𝑁))) = ((1 + (𝐴𝑁)) · (1 − (𝐴𝑁))))
113112oveq1d 6650 . . . . 5 (𝜑 → (((1 − (𝐴𝑁)) · (1 + (𝐴𝑁)))↑(𝐾𝑁)) = (((1 + (𝐴𝑁)) · (1 − (𝐴𝑁)))↑(𝐾𝑁)))
11487, 111, 11mulexpd 13006 . . . . 5 (𝜑 → (((1 − (𝐴𝑁)) · (1 + (𝐴𝑁)))↑(𝐾𝑁)) = (((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁))))
115 subsq 12955 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴𝑁) ∈ ℂ) → ((1↑2) − ((𝐴𝑁)↑2)) = ((1 + (𝐴𝑁)) · (1 − (𝐴𝑁))))
11685, 86, 115syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1↑2) − ((𝐴𝑁)↑2)) = ((1 + (𝐴𝑁)) · (1 − (𝐴𝑁))))
117 sq1 12941 . . . . . . . . 9 (1↑2) = 1
118117a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1↑2) = 1)
11923, 14, 6expmuld 12994 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 · 2)) = ((𝐴𝑁)↑2))
1205nncnd 11021 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
121 2cnd 11078 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
122120, 121mulcomd 10046 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 · 2) = (2 · 𝑁))
123122oveq2d 6651 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 · 2)) = (𝐴↑(2 · 𝑁)))
124119, 123eqtr3d 2656 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴𝑁)↑2) = (𝐴↑(2 · 𝑁)))
125118, 124oveq12d 6653 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1↑2) − ((𝐴𝑁)↑2)) = (1 − (𝐴↑(2 · 𝑁))))
126116, 125eqtr3d 2656 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 + (𝐴𝑁)) · (1 − (𝐴𝑁))) = (1 − (𝐴↑(2 · 𝑁))))
127126oveq1d 6650 . . . . 5 (𝜑 → (((1 + (𝐴𝑁)) · (1 − (𝐴𝑁)))↑(𝐾𝑁)) = ((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)))
128113, 114, 1273eqtr3d 2662 . . . 4 (𝜑 → (((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁))) = ((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)))
129128oveq1d 6650 . . 3 (𝜑 → ((((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) · ((1 + (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁))) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) = (((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
130110, 129breqtrd 4670 . 2 (𝜑 → ((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) ≤ (((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
13118, 2jca 554 . . . 4 (𝜑 → (((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ))
132 exple1 12903 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ 1) ∧ (2 · 𝑁) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(2 · 𝑁)) ≤ 1)
1334, 54, 55, 15, 132syl31anc 1327 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴↑(2 · 𝑁)) ≤ 1)
1342, 16subge0d 10602 . . . . . 6 (𝜑 → (0 ≤ (1 − (𝐴↑(2 · 𝑁))) ↔ (𝐴↑(2 · 𝑁)) ≤ 1))
135133, 134mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (1 − (𝐴↑(2 · 𝑁))))
13617, 11, 135expge0d 13009 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ ((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)))
137 1m1e0 11074 . . . . . . 7 (1 − 1) = 0
1384, 15, 54expge0d 13009 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝐴↑(2 · 𝑁)))
139137, 138syl5eqbr 4679 . . . . . 6 (𝜑 → (1 − 1) ≤ (𝐴↑(2 · 𝑁)))
1402, 2, 16, 139subled 10615 . . . . 5 (𝜑 → (1 − (𝐴↑(2 · 𝑁))) ≤ 1)
141 exple1 12903 . . . . 5 ((((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 − (𝐴↑(2 · 𝑁))) ∧ (1 − (𝐴↑(2 · 𝑁))) ≤ 1) ∧ (𝐾𝑁) ∈ ℕ0) → ((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)) ≤ 1)
14217, 135, 140, 11, 141syl31anc 1327 . . . 4 (𝜑 → ((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)) ≤ 1)
143131, 136, 142jca32 557 . . 3 (𝜑 → ((((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)) ∧ ((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)) ≤ 1)))
14435, 21jca 554 . . 3 (𝜑 → (((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ))
14532rpgt0d 11860 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝐷)
14619, 33, 71, 145mulgt0d 10177 . . . . 5 (𝜑 → 0 < (𝐾 · 𝐷))
147 expgt0 12876 . . . . 5 (((𝐾 · 𝐷) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐾 · 𝐷)) → 0 < ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁))
14834, 70, 146, 147syl3anc 1324 . . . 4 (𝜑 → 0 < ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁))
14964, 19, 71ltled 10170 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝐾)
15064, 33, 145ltled 10170 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝐷)
15119, 33, 149, 150mulge0d 10589 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ (𝐾 · 𝐷))
152 stoweidlem1.8 . . . . . 6 (𝜑𝐷𝐴)
15333, 4, 19, 149, 152lemul2ad 10949 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 · 𝐷) ≤ (𝐾 · 𝐴))
154 leexp1a 12902 . . . . 5 ((((𝐾 · 𝐷) ∈ ℝ ∧ (𝐾 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ (𝐾 · 𝐷) ∧ (𝐾 · 𝐷) ≤ (𝐾 · 𝐴))) → ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≤ ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))
15534, 20, 6, 151, 153, 154syl32anc 1332 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≤ ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁))
156148, 155jca 554 . . 3 (𝜑 → (0 < ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ∧ ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≤ ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))
157 lediv12a 10901 . . 3 ((((((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)) ∧ ((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)) ≤ 1)) ∧ ((((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ) ∧ (0 < ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ∧ ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁) ≤ ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)))) → (((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ≤ (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)))
158143, 144, 156, 157syl12anc 1322 . 2 (𝜑 → (((1 − (𝐴↑(2 · 𝑁)))↑(𝐾𝑁)) / ((𝐾 · 𝐴)↑𝑁)) ≤ (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)))
15912, 31, 43, 130, 158letrd 10179 1 (𝜑 → ((1 − (𝐴𝑁))↑(𝐾𝑁)) ≤ (1 / ((𝐾 · 𝐷)↑𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791   class class class wbr 4644  (class class class)co 6635  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926   < clt 10059  cle 10060  cmin 10251  -cneg 10252   / cdiv 10669  cn 11005  2c2 11055  0cn0 11277  cz 11362  +crp 11817  cexp 12843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-seq 12785  df-exp 12844
This theorem is referenced by:  stoweidlem25  40005
  Copyright terms: Public domain W3C validator