MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvmptres2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvmptres2 23770
Description: Function-builder for derivative: restrict a derivative to a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvmptadd.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvmptadd.a ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
dvmptadd.b ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
dvmptadd.da (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
dvmptres2.z (𝜑𝑍𝑋)
dvmptres2.j 𝐽 = (𝐾t 𝑆)
dvmptres2.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvmptres2.i (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑍) = 𝑌)
Assertion
Ref Expression
dvmptres2 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑍𝐴)) = (𝑥𝑌𝐵))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑆   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem dvmptres2
StepHypRef Expression
1 dvmptadd.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 recnprss 23713 . . . 4 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
4 dvmptadd.a . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
5 eqid 2651 . . . 4 (𝑥𝑋𝐴) = (𝑥𝑋𝐴)
64, 5fmptd 6425 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ)
7 dvmptadd.da . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = (𝑥𝑋𝐵))
87dmeqd 5358 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = dom (𝑥𝑋𝐵))
9 dvmptadd.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐵𝑉)
109ralrimiva 2995 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 𝐵𝑉)
11 dmmptg 5670 . . . . . 6 (∀𝑥𝑋 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝑋𝐵) = 𝑋)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝑋𝐵) = 𝑋)
138, 12eqtrd 2685 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) = 𝑋)
14 dvbsss 23711 . . . 4 dom (𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ⊆ 𝑆
1513, 14syl6eqssr 3689 . . 3 (𝜑𝑋𝑆)
16 dvmptres2.z . . . 4 (𝜑𝑍𝑋)
1716, 15sstrd 3646 . . 3 (𝜑𝑍𝑆)
18 dvmptres2.k . . . 4 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
19 dvmptres2.j . . . 4 𝐽 = (𝐾t 𝑆)
2018, 19dvres 23720 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝑋𝐴):𝑋⟶ℂ) ∧ (𝑋𝑆𝑍𝑆)) → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑍)) = ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑍)))
213, 6, 15, 17, 20syl22anc 1367 . 2 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑍)) = ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑍)))
2216resmptd 5487 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑍) = (𝑥𝑍𝐴))
2322oveq2d 6706 . 2 (𝜑 → (𝑆 D ((𝑥𝑋𝐴) ↾ 𝑍)) = (𝑆 D (𝑥𝑍𝐴)))
247reseq1d 5427 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑍)) = ((𝑥𝑋𝐵) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑍)))
25 dvmptres2.i . . . 4 (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑍) = 𝑌)
2625reseq2d 5428 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐵) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑍)) = ((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑌))
2718cnfldtopon 22633 . . . . . . . . . 10 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
28 resttopon 21013 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
2927, 3, 28sylancr 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
3019, 29syl5eqel 2734 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆))
31 topontop 20766 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝐽 ∈ Top)
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ Top)
33 toponuni 20767 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = 𝐽)
3430, 33syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 = 𝐽)
3517, 34sseqtrd 3674 . . . . . . 7 (𝜑𝑍 𝐽)
36 eqid 2651 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
3736ntrss2 20909 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑍 𝐽) → ((int‘𝐽)‘𝑍) ⊆ 𝑍)
3832, 35, 37syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → ((int‘𝐽)‘𝑍) ⊆ 𝑍)
3925, 38eqsstr3d 3673 . . . . 5 (𝜑𝑌𝑍)
4039, 16sstrd 3646 . . . 4 (𝜑𝑌𝑋)
4140resmptd 5487 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋𝐵) ↾ 𝑌) = (𝑥𝑌𝐵))
4224, 26, 413eqtrd 2689 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑥𝑋𝐴)) ↾ ((int‘𝐽)‘𝑍)) = (𝑥𝑌𝐵))
4321, 23, 423eqtr3d 2693 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝑥𝑍𝐴)) = (𝑥𝑌𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wss 3607  {cpr 4212   cuni 4468  cmpt 4762  dom cdm 5143  cres 5145  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  t crest 16128  TopOpenctopn 16129  fldccnfld 19794  Topctop 20746  TopOnctopon 20763  intcnt 20869   D cdv 23672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-rest 16130  df-topn 16131  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-cnp 21080  df-xms 22172  df-ms 22173  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by:  dvmptres  23771  dvmptcmul  23772  rolle  23798  mvth  23800  taylthlem1  24172  pige3  24314  logccv  24454  lgamgulmlem2  24801  itgpowd  38117  lhe4.4ex1a  38845  binomcxplemdvbinom  38869  binomcxplemnotnn0  38872  itgsinexplem1  40487  dirkeritg  40637  fourierdlem39  40681  etransclem46  40815
  Copyright terms: Public domain W3C validator