Users' Mathboxes Mathbox for Jon Pennant < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgpowd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgpowd 37316
Description: The integral of a monomial on a closed bounded interval of the real line. Co-authors TA and MC. (Contributed by Jon Pennant, 31-May-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 14-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgpowd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
itgpowd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
itgpowd.3 (𝜑𝐴𝐵)
itgpowd.4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
itgpowd (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥𝑁) d𝑥 = (((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itgpowd
Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgpowd.4 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 nn0p1nn 11284 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
43nncnd 10988 . 2 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
5 itgpowd.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6 itgpowd.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
7 iccssre 12205 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
85, 6, 7syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
9 ax-resscn 9945 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
108, 9syl6ss 3599 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
1110sselda 3587 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
121adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1311, 12expcld 12956 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥𝑁) ∈ ℂ)
1410resmptd 5416 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥𝑁)))
15 expcncf 22648 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
161, 15syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
17 rescncf 22623 . . . . . 6 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
1810, 16, 17sylc 65 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
1914, 18eqeltrrd 2699 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
20 cniccibl 23530 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥𝑁)) ∈ 𝐿1)
215, 6, 19, 20syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥𝑁)) ∈ 𝐿1)
2213, 21itgcl 23473 . 2 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥𝑁) d𝑥 ∈ ℂ)
233nnne0d 11017 . 2 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
244, 13, 21itgmulc2 23523 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥𝑁) d𝑥) = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) d𝑥)
25 eqidd 2622 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
26 oveq1 6617 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑥 → (𝑡𝑁) = (𝑥𝑁))
2726oveq2d 6626 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑥 → ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)) = ((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)))
2827adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑡 = 𝑥) → ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)) = ((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)))
29 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
304adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
31 ioossicc 12209 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
3332sselda 3587 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
3433, 13syldan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥𝑁) ∈ ℂ)
3530, 34mulcld 10012 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) ∈ ℂ)
3625, 28, 29, 35fvmptd 6250 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥) = ((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)))
3736itgeq2dv 23471 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) d𝑥)
38 itgpowd.3 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
39 reelprrecn 9980 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
4039a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
419a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
4241sselda 3587 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
43 1nn0 11260 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ0
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
451, 44nn0addcld 11307 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
4645adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
4742, 46expcld 12956 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
481nn0cnd 11305 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
4948adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℂ)
50 1cnd 10008 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
5149, 50addcld 10011 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
521adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5342, 52expcld 12956 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡𝑁) ∈ ℂ)
5451, 53mulcld 10012 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)) ∈ ℂ)
55 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → 𝑡 ∈ ℂ)
5645adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
5755, 56expcld 12956 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
58 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))
5957, 58fmptd 6346 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))):ℂ⟶ℂ)
60 ssid 3608 . . . . . . . . . . . 12 ℂ ⊆ ℂ
6160a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
624adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
631adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6455, 63expcld 12956 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡𝑁) ∈ ℂ)
6562, 64mulcld 10012 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)) ∈ ℂ)
66 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))
6765, 66fmptd 6346 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))):ℂ⟶ℂ)
68 dvexp 23639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)))))
693, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)))))
70 1cnd 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7148, 70pncand 10345 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
7271oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑡𝑁))
7372oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1))) = ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))
7473mpteq2dv 4710 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
7569, 74eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
7675feq1d 5992 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))):ℂ⟶ℂ ↔ (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))):ℂ⟶ℂ))
7767, 76mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))):ℂ⟶ℂ)
78 fdm 6013 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))):ℂ⟶ℂ → dom (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = ℂ)
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = ℂ)
809, 79syl5sseqr 3638 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))))
81 dvres3 23600 . . . . . . . . . . 11 (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))))) → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ↾ ℝ))
8240, 59, 61, 80, 81syl22anc 1324 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ↾ ℝ))
8375reseq1d 5360 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ↾ ℝ) = ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ↾ ℝ))
8482, 83eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ↾ ℝ))
85 resmpt 5413 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
869, 85mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
8786oveq2d 6626 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))))
88 resmpt 5413 . . . . . . . . . 10 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
899, 88mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
9084, 87, 893eqtr3d 2663 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
91 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
9291tgioo2 22529 . . . . . . . 8 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
93 iccntr 22547 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
945, 6, 93syl2anc 692 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
9540, 47, 54, 90, 8, 92, 91, 94dvmptres2 23648 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))))
96 ioossre 12185 . . . . . . . . . . 11 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
9796, 9sstri 3596 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
9897a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
99 cncfmptc 22637 . . . . . . . . 9 (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
1004, 98, 61, 99syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
101 resmpt 5413 . . . . . . . . . 10 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑡𝑁)))
10297, 101mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑡𝑁)))
103 expcncf 22648 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
1041, 103syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
105 rescncf 22623 . . . . . . . . . 10 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)))
10698, 104, 105sylc 65 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
107102, 106eqeltrrd 2699 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑡𝑁)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
108100, 107mulcncf 23138 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
10995, 108eqeltrd 2698 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
110 ioombl 23256 . . . . . . . . 9 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
111110a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
11248adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
113 1cnd 10008 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
114112, 113addcld 10011 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
11510sselda 3587 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑡 ∈ ℂ)
1161adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
117115, 116expcld 12956 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡𝑁) ∈ ℂ)
118114, 117mulcld 10012 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)) ∈ ℂ)
119 cncfmptc 22637 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
1204, 10, 61, 119syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
12110resmptd 5416 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡𝑁)))
122 rescncf 22623 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
12310, 104, 122sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
124121, 123eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
125120, 124mulcncf 23138 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
126 cniccibl 23530 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ∈ 𝐿1)
1275, 6, 125, 126syl3anc 1323 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ∈ 𝐿1)
12832, 111, 118, 127iblss 23494 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁))) ∈ 𝐿1)
12995, 128eqeltrd 2698 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ∈ 𝐿1)
13010resmptd 5416 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
131 expcncf 22648 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
13245, 131syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
133 rescncf 22623 . . . . . . . 8 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
13410, 132, 133sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
135130, 134eqeltrrd 2699 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
1365, 6, 38, 109, 129, 135ftc2 23728 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐵) − ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐴)))
13795fveq1d 6155 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) = ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥))
138137ralrimivw 2962 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) = ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥))
139 itgeq2 23467 . . . . . 6 (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) = ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥) → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥) d𝑥)
140138, 139syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥) d𝑥)
141 eqidd 2622 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
142 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 = 𝐵) → 𝑡 = 𝐵)
143142oveq1d 6625 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 = 𝐵) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) = (𝐵↑(𝑁 + 1)))
1445rexrd 10041 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1456rexrd 10041 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
146 ubicc2 12239 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
147144, 145, 38, 146syl3anc 1323 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
1486recnd 10020 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
149148, 45expcld 12956 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
150141, 143, 147, 149fvmptd 6250 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐵) = (𝐵↑(𝑁 + 1)))
151 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 = 𝐴) → 𝑡 = 𝐴)
152151oveq1d 6625 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 = 𝐴) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) = (𝐴↑(𝑁 + 1)))
153 lbicc2 12238 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
154144, 145, 38, 153syl3anc 1323 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
1555recnd 10020 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
156155, 45expcld 12956 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
157141, 152, 154, 156fvmptd 6250 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐴) = (𝐴↑(𝑁 + 1)))
158150, 157oveq12d 6628 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐵) − ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐴)) = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
159136, 140, 1583eqtr3d 2663 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡𝑁)))‘𝑥) d𝑥 = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
1604adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
161160, 13mulcld 10012 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) ∈ ℂ)
1625, 6, 161itgioo 23505 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) d𝑥)
16337, 159, 1623eqtr3rd 2664 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥𝑁)) d𝑥 = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
16424, 163eqtrd 2655 . 2 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥𝑁) d𝑥) = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
1654, 22, 23, 164mvllmuld 10809 1 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥𝑁) d𝑥 = (((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wss 3559  {cpr 4155   class class class wbr 4618  cmpt 4678  dom cdm 5079  ran crn 5080  cres 5081  wf 5848  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9886  cr 9887  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893  *cxr 10025  cle 10027  cmin 10218   / cdiv 10636  cn 10972  0cn0 11244  (,)cioo 12125  [,]cicc 12128  cexp 12808  TopOpenctopn 16014  topGenctg 16030  fldccnfld 19678  intcnt 20744  cnccncf 22602  volcvol 23155  𝐿1cibl 23309  citg 23310   D cdv 23550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cc 9209  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-ofr 6858  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-omul 7517  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-acn 8720  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-ioc 12130  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-limsup 14144  df-clim 14161  df-rlim 14162  df-sum 14359  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-rest 16015  df-topn 16016  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-topgen 16036  df-pt 16037  df-prds 16040  df-xrs 16094  df-qtop 16099  df-imas 16100  df-xps 16102  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-mulg 17473  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-fbas 19675  df-fg 19676  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cld 20746  df-ntr 20747  df-cls 20748  df-nei 20825  df-lp 20863  df-perf 20864  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-haus 21042  df-cmp 21113  df-tx 21288  df-hmeo 21481  df-fil 21573  df-fm 21665  df-flim 21666  df-flf 21667  df-xms 22048  df-ms 22049  df-tms 22050  df-cncf 22604  df-ovol 23156  df-vol 23157  df-mbf 23311  df-itg1 23312  df-itg2 23313  df-ibl 23314  df-itg 23315  df-0p 23360  df-limc 23553  df-dv 23554
This theorem is referenced by:  areaquad  37318
  Copyright terms: Public domain W3C validator