Theorem itgpowd 24629

Description: The integral of a monomial on a closed bounded interval of the real line. Co-authors TA and MC. (Contributed by Jon Pennant, 31-May-2019.) (Revised by Thierry Arnoux, 14-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgpowd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
itgpowd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
itgpowd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
itgpowd.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
itgpowd	⊢ (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥↑𝑁) d𝑥 = (((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itgpowd

Dummy variable 𝑡 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgpowd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		nn0p1nn 11923	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
4	3	nncnd 11640	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
5		itgpowd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
6		itgpowd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7		iccssre 12805	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
8	5, 6, 7	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
9		ax-resscn 10580	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
10	8, 9	sstrdi 3967	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
11	10	sselda 3955	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
12	1	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13	11, 12	expcld 13500	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥↑𝑁) ∈ ℂ)
14	10	resmptd 5894	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥↑𝑁)))
15		expcncf 23513	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
16	1, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
17		rescncf 23488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
18	10, 16, 17	sylc 65	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
19	14, 18	eqeltrrd 2914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
20		cnicciblnc 24426	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
21	5, 6, 19, 20	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑥↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
22	13, 21	itgcl 24367	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥↑𝑁) d𝑥 ∈ ℂ)
23	3	nnne0d 11674	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
24	4, 13, 21	itgmulc2 24417	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥↑𝑁) d𝑥) = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)) d𝑥)
25		eqidd 2822	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))))
26		oveq1 7149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑥 → (𝑡↑𝑁) = (𝑥↑𝑁))
27	26	oveq2d 7158	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑥 → ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)) = ((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)))
28	27	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑡 = 𝑥) → ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)) = ((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)))
29		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
30	4	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
31		ioossicc 12809	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
32	31	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
33	32	sselda 3955	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
34	33, 13	syldan 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝑥↑𝑁) ∈ ℂ)
35	30, 34	mulcld 10647	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)) ∈ ℂ)
36	25, 28, 29, 35	fvmptd 6761	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥) = ((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)))
37	36	itgeq2dv 24365	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)) d𝑥)
38		itgpowd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
39		reelprrecn 10615	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
40	39	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
41	9	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
42	41	sselda 3955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
43		1nn0 11900	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℕ0
44	43	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
45	1, 44	nn0addcld 11946	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
46	45	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
47	42, 46	expcld 13500	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
48	1	nn0cnd 11944	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
49	48	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℂ)
50		1cnd 10622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
51	49, 50	addcld 10646	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
52	1	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
53	42, 52	expcld 13500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡↑𝑁) ∈ ℂ)
54	51, 53	mulcld 10647	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)) ∈ ℂ)
55		simpr 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → 𝑡 ∈ ℂ)
56	45	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
57	55, 56	expcld 13500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
58	57	fmpttd 6865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))):ℂ⟶ℂ)
59		ssidd 3978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
60	4	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
61	1	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
62	55, 61	expcld 13500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → (𝑡↑𝑁) ∈ ℂ)
63	60, 62	mulcld 10647	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)) ∈ ℂ)
64	63	fmpttd 6865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))):ℂ⟶ℂ)
65		dvexp 24535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)))))
66	3, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)))))
67		1cnd 10622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
68	48, 67	pncand 10984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
69	68	oveq2d 7158	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑡↑𝑁))
70	69	oveq2d 7158	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1))) = ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))
71	70	mpteq2dv 5148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑((𝑁 + 1) − 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))))
72	66, 71	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))))
73	72	feq1d 6485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))):ℂ⟶ℂ ↔ (𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))):ℂ⟶ℂ))
74	64, 73	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))):ℂ⟶ℂ)
75	74	fdmd 6509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = ℂ)
76	9, 75	sseqtrrid 4008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))))
77		dvres3 24496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((ℝ ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))))) → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ↾ ℝ))
78	40, 58, 59, 76, 77	syl22anc 836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ↾ ℝ))
79	72	reseq1d 5838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ↾ ℝ) = ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ↾ ℝ))
80	78, 79	eqtrd 2856	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ↾ ℝ))
81		resmpt 5891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
82	9, 81	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
83	82	oveq2d 7158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (ℝ D ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ ℝ)) = (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))))
84		resmpt 5891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))))
85	9, 84	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ↾ ℝ) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))))
86	80, 83, 85	3eqtr3d 2864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))))
87		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
88	87	tgioo2 23394	. . . . . . . 8 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
89		iccntr 23412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
90	5, 6, 89	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
91	40, 47, 54, 86, 8, 88, 87, 90	dvmptres2 24544	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))))
92		ioossre 12785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
93	92, 9	sstri 3964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
94	93	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
95		cncfmptc 23502	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
96	4, 94, 59, 95	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
97		resmpt 5891	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑡↑𝑁)))
98	93, 97	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑡↑𝑁)))
99		expcncf 23513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
100	1, 99	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
101		rescncf 23488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)))
102	94, 100, 101	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
103	98, 102	eqeltrrd 2914	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (𝑡↑𝑁)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
104	96, 103	mulcncf 24030	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
105	91, 104	eqeltrd 2913	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
106		ioombl 24149	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
107	106	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
108	48	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
109		1cnd 10622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
110	108, 109	addcld 10646	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
111	10	sselda 3955	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑡 ∈ ℂ)
112	1	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
113	111, 112	expcld 13500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑡↑𝑁) ∈ ℂ)
114	110, 113	mulcld 10647	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)) ∈ ℂ)
115		cncfmptc 23502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
116	4, 10, 59, 115	syl3anc 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑁 + 1)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
117	10	resmptd 5894	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑𝑁)))
118		rescncf 23488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
119	10, 100, 118	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑𝑁)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
120	117, 119	eqeltrrd 2914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑𝑁)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
121	116, 120	mulcncf 24030	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
122		cnicciblnc 24426	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ∈ 𝐿1)
123	5, 6, 121, 122	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ∈ 𝐿1)
124	32, 107, 114, 123	iblss 24388	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁))) ∈ 𝐿1)
125	91, 124	eqeltrd 2913	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))) ∈ 𝐿1)
126	10	resmptd 5894	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
127		expcncf 23513	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
128	45, 127	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
129		rescncf 23488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ (ℂ–cn→ℂ) → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)))
130	10, 128, 129	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℂ ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
131	126, 130	eqeltrrd 2914	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
132	5, 6, 38, 105, 125, 131	ftc2 24626	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) d𝑥 = (((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐵) − ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐴)))
133	91	fveq1d 6658	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) = ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥))
134	133	ralrimivw 3183	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) = ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥))
135		itgeq2 24361	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) = ((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥) → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥) d𝑥)
136	134, 135	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))‘𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥) d𝑥)
137		eqidd 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))) = (𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1))))
138		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 𝐵) → 𝑡 = 𝐵)
139	138	oveq1d 7157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 𝐵) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) = (𝐵↑(𝑁 + 1)))
140	5	rexrd 10677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
141	6	rexrd 10677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
142		ubicc2 12840	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
143	140, 141, 38, 142	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
144	6	recnd 10655	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
145	144, 45	expcld 13500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐵↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
146	137, 139, 143, 145	fvmptd 6761	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐵) = (𝐵↑(𝑁 + 1)))
147		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 𝐴) → 𝑡 = 𝐴)
148	147	oveq1d 7157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 = 𝐴) → (𝑡↑(𝑁 + 1)) = (𝐴↑(𝑁 + 1)))
149		lbicc2 12839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
150	140, 141, 38, 149	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
151	5	recnd 10655	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
152	151, 45	expcld 13500	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
153	137, 148, 150, 152	fvmptd 6761	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐴) = (𝐴↑(𝑁 + 1)))
154	146, 153	oveq12d 7160	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐵) − ((𝑡 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑡↑(𝑁 + 1)))‘𝐴)) = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
155	132, 136, 154	3eqtr3d 2864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑡 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((𝑁 + 1) · (𝑡↑𝑁)))‘𝑥) d𝑥 = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
156	4	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
157	156, 13	mulcld 10647	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)) ∈ ℂ)
158	5, 6, 157	itgioo 24399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)) d𝑥)
159	37, 155, 158	3eqtr3rd 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)((𝑁 + 1) · (𝑥↑𝑁)) d𝑥 = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
160	24, 159	eqtrd 2856	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥↑𝑁) d𝑥) = ((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))))
161	4, 22, 23, 160	mvllmuld 11458	1 ⊢ (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)(𝑥↑𝑁) d𝑥 = (((𝐵↑(𝑁 + 1)) − (𝐴↑(𝑁 + 1))) / (𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138   ⊆ wss 3924  {cpr 4555   class class class wbr 5052   ↦ cmpt 5132  dom cdm 5541  ran crn 5542   ↾ cres 5543  ⟶wf 6337  ‘cfv 6341  (class class class)co 7142  ℂcc 10521  ℝcr 10522  1c1 10524   + caddc 10526   · cmul 10528  ℝ^*cxr 10660   ≤ cle 10662   − cmin 10856   / cdiv 11283  ℕcn 11624  ℕ₀cn0 11884  (,)cioo 12725  [,]cicc 12728  ↑cexp 13419  TopOpenctopn 16678  topGenctg 16694  ℂ_fldccnfld 20528  intcnt 21608  –cn→ccncf 23467  volcvol 24047  𝐿¹cibl 24201  ∫citg 24202   D cdv 24446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5252  ax-pr 5316  ax-un 7447  ax-inf2 9090  ax-cc 9843  ax-cnex 10579  ax-resscn 10580  ax-1cn 10581  ax-icn 10582  ax-addcl 10583  ax-addrcl 10584  ax-mulcl 10585  ax-mulrcl 10586  ax-mulcom 10587  ax-addass 10588  ax-mulass 10589  ax-distr 10590  ax-i2m1 10591  ax-1ne0 10592  ax-1rid 10593  ax-rnegex 10594  ax-rrecex 10595  ax-cnre 10596  ax-pre-lttri 10597  ax-pre-lttrn 10598  ax-pre-ltadd 10599  ax-pre-mulgt0 10600  ax-pre-sup 10601  ax-addf 10602  ax-mulf 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3488  df-sbc 3764  df-csb 3872  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3940  df-pss 3942  df-symdif 4207  df-nul 4280  df-if 4454  df-pw 4527  df-sn 4554  df-pr 4556  df-tp 4558  df-op 4560  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-disj 5018  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5446  df-eprel 5451  df-po 5460  df-so 5461  df-fr 5500  df-se 5501  df-we 5502  df-xp 5547  df-rel 5548  df-cnv 5549  df-co 5550  df-dm 5551  df-rn 5552  df-res 5553  df-ima 5554  df-pred 6134  df-ord 6180  df-on 6181  df-lim 6182  df-suc 6183  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-isom 6350  df-riota 7100  df-ov 7145  df-oprab 7146  df-mpo 7147  df-of 7395  df-ofr 7396  df-om 7567  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7817  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-2o 8089  df-oadd 8092  df-omul 8093  df-er 8275  df-map 8394  df-pm 8395  df-ixp 8448  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-fsupp 8820  df-fi 8861  df-sup 8892  df-inf 8893  df-oi 8960  df-dju 9316  df-card 9354  df-acn 9357  df-pnf 10663  df-mnf 10664  df-xr 10665  df-ltxr 10666  df-le 10667  df-sub 10858  df-neg 10859  df-div 11284  df-nn 11625  df-2 11687  df-3 11688  df-4 11689  df-5 11690  df-6 11691  df-7 11692  df-8 11693  df-9 11694  df-n0 11885  df-z 11969  df-dec 12086  df-uz 12231  df-q 12336  df-rp 12377  df-xneg 12494  df-xadd 12495  df-xmul 12496  df-ioo 12729  df-ioc 12730  df-ico 12731  df-icc 12732  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-mod 13228  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14443  df-re 14444  df-im 14445  df-sqrt 14579  df-abs 14580  df-clim 14830  df-rlim 14831  df-sum 15028  df-struct 16468  df-ndx 16469  df-slot 16470  df-base 16472  df-sets 16473  df-ress 16474  df-plusg 16561  df-mulr 16562  df-starv 16563  df-sca 16564  df-vsca 16565  df-ip 16566  df-tset 16567  df-ple 16568  df-ds 16570  df-unif 16571  df-hom 16572  df-cco 16573  df-rest 16679  df-topn 16680  df-0g 16698  df-gsum 16699  df-topgen 16700  df-pt 16701  df-prds 16704  df-xrs 16758  df-qtop 16763  df-imas 16764  df-xps 16766  df-mre 16840  df-mrc 16841  df-acs 16843  df-mgm 17835  df-sgrp 17884  df-mnd 17895  df-submnd 17940  df-mulg 18208  df-cntz 18430  df-cmn 18891  df-psmet 20520  df-xmet 20521  df-met 20522  df-bl 20523  df-mopn 20524  df-fbas 20525  df-fg 20526  df-cnfld 20529  df-top 21485  df-topon 21502  df-topsp 21524  df-bases 21537  df-cld 21610  df-ntr 21611  df-cls 21612  df-nei 21689  df-lp 21727  df-perf 21728  df-cn 21818  df-cnp 21819  df-haus 21906  df-cmp 21978  df-tx 22153  df-hmeo 22346  df-fil 22437  df-fm 22529  df-flim 22530  df-flf 22531  df-xms 22913  df-ms 22914  df-tms 22915  df-cncf 23469  df-ovol 24048  df-vol 24049  df-mbf 24203  df-itg1 24204  df-itg2 24205  df-ibl 24206  df-itg 24207  df-0p 24254  df-limc 24449  df-dv 24450

This theorem is referenced by:  lcmineqlem3  39158  areaquad  39914