MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvres 23894
Description: Restriction of a derivative. Note that our definition of derivative df-dv 23850 would still make sense if we demanded that 𝑥 be an element of the domain instead of an interior point of the domain, but then it is possible for a non-differentiable function to have two different derivatives at a single point 𝑥 when restricted to different subsets containing 𝑥; a classic example is the absolute value function restricted to [0, +∞) and (-∞, 0]. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvres.k 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
dvres.t 𝑇 = (𝐾t 𝑆)
Assertion
Ref Expression
dvres (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝑆 D (𝐹𝐵)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝑇)‘𝐵)))

Proof of Theorem dvres
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldv 23853 . 2 Rel (𝑆 D (𝐹𝐵))
2 relres 5584 . 2 Rel ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝑇)‘𝐵))
3 simpll 807 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
4 simplr 809 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
5 inss1 3976 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
6 fssres 6231 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ (𝐴𝐵)):(𝐴𝐵)⟶ℂ)
74, 5, 6sylancl 697 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝐹 ↾ (𝐴𝐵)):(𝐴𝐵)⟶ℂ)
8 resres 5567 . . . . . . . . 9 ((𝐹𝐴) ↾ 𝐵) = (𝐹 ↾ (𝐴𝐵))
9 ffn 6206 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐴⟶ℂ → 𝐹 Fn 𝐴)
10 fnresdm 6161 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐹𝐴) = 𝐹)
114, 9, 103syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝐹𝐴) = 𝐹)
1211reseq1d 5550 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → ((𝐹𝐴) ↾ 𝐵) = (𝐹𝐵))
138, 12syl5eqr 2808 . . . . . . . 8 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝐹 ↾ (𝐴𝐵)) = (𝐹𝐵))
1413feq1d 6191 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → ((𝐹 ↾ (𝐴𝐵)):(𝐴𝐵)⟶ℂ ↔ (𝐹𝐵):(𝐴𝐵)⟶ℂ))
157, 14mpbid 222 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝐹𝐵):(𝐴𝐵)⟶ℂ)
16 simprl 811 . . . . . . 7 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → 𝐴𝑆)
175, 16syl5ss 3755 . . . . . 6 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝐴𝐵) ⊆ 𝑆)
183, 15, 17dvcl 23882 . . . . 5 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) ∧ 𝑥(𝑆 D (𝐹𝐵))𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
1918ex 449 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝑥(𝑆 D (𝐹𝐵))𝑦𝑦 ∈ ℂ))
203, 4, 16dvcl 23882 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
2120ex 449 . . . . 5 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑦 ∈ ℂ))
2221adantrd 485 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → ((𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)) → 𝑦 ∈ ℂ))
23 dvres.k . . . . . 6 𝐾 = (TopOpen‘ℂfld)
24 dvres.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐾t 𝑆)
25 eqid 2760 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥))) = (𝑧 ∈ (𝐴 ∖ {𝑥}) ↦ (((𝐹𝑧) − (𝐹𝑥)) / (𝑧𝑥)))
263adantr 472 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
274adantr 472 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
2816adantr 472 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐴𝑆)
29 simplrr 820 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝐵𝑆)
30 simpr 479 . . . . . 6 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
3123, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30dvreslem 23892 . . . . 5 ((((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(𝑆 D (𝐹𝐵))𝑦 ↔ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
3231ex 449 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝑦 ∈ ℂ → (𝑥(𝑆 D (𝐹𝐵))𝑦 ↔ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)))))
3319, 22, 32pm5.21ndd 368 . . 3 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝑥(𝑆 D (𝐹𝐵))𝑦 ↔ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵))))
34 vex 3343 . . . 4 𝑦 ∈ V
3534brres 5560 . . 3 (𝑥((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝑇)‘𝐵))𝑦 ↔ (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦𝑥 ∈ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
3633, 35syl6bbr 278 . 2 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝑥(𝑆 D (𝐹𝐵))𝑦𝑥((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝑇)‘𝐵))𝑦))
371, 2, 36eqbrrdiv 5375 1 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶ℂ) ∧ (𝐴𝑆𝐵𝑆)) → (𝑆 D (𝐹𝐵)) = ((𝑆 D 𝐹) ↾ ((int‘𝑇)‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  cdif 3712  cin 3714  wss 3715  {csn 4321   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cres 5268   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  cmin 10478   / cdiv 10896  t crest 16303  TopOpenctopn 16304  fldccnfld 19968  intcnt 21043   D cdv 23846
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-fz 12540  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-rest 16305  df-topn 16306  df-topgen 16326  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-cnp 21254  df-xms 22346  df-ms 22347  df-limc 23849  df-dv 23850
This theorem is referenced by:  dvcmulf  23927  dvmptres2  23944  dvmptntr  23953  dvlip  23975  dvlipcn  23976  dvlip2  23977  c1liplem1  23978  dvgt0lem1  23984  dvne0  23993  lhop1lem  23995  lhop  23998  dvcnvrelem1  23999  dvcvx  24002  ftc2ditglem  24027  pserdv  24402  efcvx  24422  dvlog  24617  dvlog2  24619  ftc2re  31006  dvresntr  40653  dvmptresicc  40655  dvresioo  40657  dvbdfbdioolem1  40664  itgcoscmulx  40706  itgiccshift  40717  itgperiod  40718  dirkercncflem2  40842  fourierdlem57  40901  fourierdlem58  40902  fourierdlem72  40916  fourierdlem73  40917  fourierdlem74  40918  fourierdlem75  40919  fourierdlem80  40924  fourierdlem94  40938  fourierdlem103  40947  fourierdlem104  40948  fourierdlem113  40957
  Copyright terms: Public domain W3C validator