Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirkeritg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirkeritg 40637
Description: The definite integral of the Dirichlet Kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkeritg.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))))
dirkeritg.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
dirkeritg.f 𝐹 = (𝐷𝑁)
dirkeritg.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dirkeritg.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
dirkeritg.aleb (𝜑𝐴𝐵)
dirkeritg.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑥 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑥)) / 𝑘)) / π))
Assertion
Ref Expression
dirkeritg (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥   𝐵,𝑘,𝑥   𝑥,𝐹   𝑘,𝑁,𝑥   𝜑,𝑘   𝑥,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑛)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐷(𝑥,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem dirkeritg
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6229 . . . 4 (𝑥 = 𝑠 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑠))
21cbvitgv 23588 . . 3 ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑠) d𝑠
32a1i 11 . 2 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑠) d𝑠)
4 elioore 12243 . . . . . 6 (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) → 𝑠 ∈ ℝ)
54adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
6 halfre 11284 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
76a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℝ)
8 fzfid 12812 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℝ → (1...𝑁) ∈ Fin)
9 elfzelz 12380 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
109zred 11520 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℝ)
1110adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
12 simpl 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℝ)
1311, 12remulcld 10108 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℝ)
1413recoscld 14918 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℝ)
158, 14fsumrecl 14509 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ℝ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℝ)
167, 15readdcld 10107 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ℝ → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ℝ)
17 pire 24255 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
1817a1i 11 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ℝ → π ∈ ℝ)
19 pipos 24257 . . . . . . . . 9 0 < π
2017, 19gt0ne0ii 10602 . . . . . . . 8 π ≠ 0
2120a1i 11 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ℝ → π ≠ 0)
2216, 18, 21redivcld 10891 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℝ → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) ∈ ℝ)
235, 22syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) ∈ ℝ)
24 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
2524fvmpt2 6330 . . . . 5 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) ∈ ℝ) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))‘𝑠) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
265, 23, 25syl2anc 694 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))‘𝑠) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
27 dirkeritg.d . . . . . . . 8 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))))
28 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑠 → (𝑥 mod (2 · π)) = (𝑠 mod (2 · π)))
2928eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑠 → ((𝑥 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑠 mod (2 · π)) = 0))
30 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑠 → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥) = ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))
3130fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑠 → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥)) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
32 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑠 → (𝑥 / 2) = (𝑠 / 2))
3332fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑠 → (sin‘(𝑥 / 2)) = (sin‘(𝑠 / 2)))
3433oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑠 → ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))
3531, 34oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑠 → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))) = ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
3629, 35ifbieq2d 4144 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑠 → if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
3736cbvmptv 4783 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2)))))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
3837mpteq2i 4774 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑥)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑥 / 2))))))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
3927, 38eqtri 2673 . . . . . . 7 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
40 dirkeritg.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
41 dirkeritg.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝐷𝑁)
4239, 40, 41, 24dirkertrigeq 40636 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)))
4342fveq1d 6231 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑠) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))‘𝑠))
4443adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑠) = ((𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))‘𝑠))
45 dirkeritg.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑥 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑥)) / 𝑘)) / π))
46 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑠 → (𝑘 · 𝑥) = (𝑘 · 𝑠))
4746fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑠 → (sin‘(𝑘 · 𝑥)) = (sin‘(𝑘 · 𝑠)))
4847oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑠 → ((sin‘(𝑘 · 𝑥)) / 𝑘) = ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘))
4948sumeq2sdv 14479 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑠 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑥)) / 𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘))
5032, 49oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑠 → ((𝑥 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑥)) / 𝑘)) = ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)))
5150oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑠 → (((𝑥 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑥)) / 𝑘)) / π) = (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))
5251cbvmptv 4783 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑥 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑥)) / 𝑘)) / π)) = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))
5345, 52eqtri 2673 . . . . . . 7 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))
5453oveq2i 6701 . . . . . 6 (ℝ D 𝐺) = (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π)))
55 reelprrecn 10066 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
5655a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
57 recn 10064 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ ℝ → 𝑠 ∈ ℂ)
5857halfcld 11315 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
599zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
6059adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
6157adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℂ)
6260, 61mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℂ)
6362sincld 14904 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
64 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 0 ∈ ℝ)
65 1red 10093 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℝ)
66 0lt1 10588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < 1
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 0 < 1)
68 elfzle1 12382 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 1 ≤ 𝑘)
6964, 65, 10, 67, 68ltletrd 10235 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 0 < 𝑘)
7069gt0ne0d 10630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ≠ 0)
7170adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ≠ 0)
7263, 60, 71divcld 10839 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) ∈ ℂ)
738, 72fsumcl 14508 . . . . . . . . . 10 (𝑠 ∈ ℝ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) ∈ ℂ)
7458, 73addcld 10097 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℝ → ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) ∈ ℂ)
75 picn 24256 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℂ
7675a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℝ → π ∈ ℂ)
7774, 76, 21divcld 10839 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ ℝ → (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π) ∈ ℂ)
7877adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π) ∈ ℂ)
7922adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) ∈ ℝ)
8074adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) ∈ ℂ)
8116adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ℝ)
8258adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (𝑠 / 2) ∈ ℂ)
836a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → (1 / 2) ∈ ℝ)
8457adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 𝑠 ∈ ℂ)
85 1red 10093 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
8656dvmptid 23765 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ 1))
87 2cnd 11131 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
88 2ne0 11151 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
8988a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 2 ≠ 0)
9056, 84, 85, 86, 87, 89dvmptdivc 23773 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝑠 / 2))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (1 / 2)))
9173adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) ∈ ℂ)
9215adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ ℝ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℝ)
93 eqid 2651 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
9493tgioo2 22653 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
95 reopn 39815 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ (topGen‘ran (,))
9695a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℝ ∈ (topGen‘ran (,)))
97 fzfid 12812 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
9872ancoms 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) ∈ ℂ)
99983adant1 1099 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘) ∈ ℂ)
10014ancoms 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℝ)
101100recnd 10106 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
1021013adant1 1099 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
10355a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
10463ancoms 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
10559adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → 𝑘 ∈ ℂ)
106 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → 𝑠 ∈ ℂ)
107105, 106mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℂ)
108107coscld 14905 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
109105, 108mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ℂ)
11057, 109sylan2 490 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ℂ)
111 ax-resscn 10031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℝ ⊆ ℂ
112 resmpt 5484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))))
113111, 112mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))))
114113eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑠 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ↾ ℝ))
115114oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) = (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ↾ ℝ)))
116107sincld 14904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℂ) → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
117 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))
118116, 117fmptd 6425 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))):ℂ⟶ℂ)
119109ralrimiva 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ∀𝑠 ∈ ℂ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ℂ)
120 dmmptg 5670 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑠 ∈ ℂ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ℂ → dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))) = ℂ)
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))) = ℂ)
122111, 121syl5sseqr 3687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ℝ ⊆ dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
123 dvsinax 40445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ℂ → (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
12459, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
125124dmeqd 5358 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) = dom (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
126122, 125sseqtr4d 3675 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))))
127 dvcnre 40448 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))):ℂ⟶ℂ ∧ ℝ ⊆ dom (ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))))) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) ↾ ℝ))
128118, 126, 127syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (ℝ D ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ↾ ℝ)) = ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) ↾ ℝ))
129124reseq1d 5427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) ↾ ℝ) = ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))) ↾ ℝ))
130 resmpt 5484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℝ ⊆ ℂ → ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
131111, 130ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))))
132129, 131syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ((ℂ D (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) ↾ ℝ) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
133115, 128, 1323eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
134103, 104, 110, 133, 59, 70dvmptdivc 23773 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))) / 𝑘)))
13559adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑘 ∈ ℂ)
13670adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → 𝑘 ≠ 0)
137101, 135, 136divcan3d 10844 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))) / 𝑘) = (cos‘(𝑘 · 𝑠)))
138137mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝑘 · (cos‘(𝑘 · 𝑠))) / 𝑘)) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))))
139134, 138eqtrd 2685 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))))
140139adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))))
14194, 93, 56, 96, 97, 99, 102, 140dvmptfsum 23783 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))))
14256, 82, 83, 90, 91, 92, 141dvmptadd 23768 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)))))
14375a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → π ∈ ℂ)
14420a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → π ≠ 0)
14556, 80, 81, 142, 143, 144dvmptdivc 23773 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))) = (𝑠 ∈ ℝ ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)))
146 dirkeritg.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
147 dirkeritg.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
148146, 147iccssred 40045 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
149 iccntr 22671 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
150146, 147, 149syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
15156, 78, 79, 145, 148, 94, 93, 150dvmptres2 23770 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π))) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)))
15254, 151syl5eq 2697 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) = (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)))
153152, 23fvmpt2d 6332 . . . 4 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐺)‘𝑠) = (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π))
15426, 44, 1533eqtr4d 2695 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑠) = ((ℝ D 𝐺)‘𝑠))
155154itgeq2dv 23593 . 2 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑠) d𝑠 = ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐺)‘𝑠) d𝑠)
156 dirkeritg.aleb . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
157 ioosscn 40034 . . . . . . . 8 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
158157a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
159 halfcn 11285 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℂ
160159a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
161 ssid 3657 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
162161a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
163158, 160, 162constcncfg 40402 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 / 2)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
164 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠)))
165 coscn 24244 . . . . . . . . . . 11 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
166165a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
167 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · 𝑠)) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · 𝑠))
168167mulc1cncf 22755 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℂ → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · 𝑠)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
16959, 168syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (𝑘 · 𝑠)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
170166, 169cncfmpt1f 22763 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
171157a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
172161a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → ℂ ⊆ ℂ)
1734, 101sylan2 490 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
174164, 170, 171, 172, 173cncfmptssg 40401 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
175174adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
176158, 97, 175fsumcncf 40409 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
177163, 176addcncf 40404 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)))) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
178 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑠 ∈ ℂ ↦ π) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ π)
179 cncfmptc 22761 . . . . . . . 8 ((π ∈ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ π) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
18075, 161, 161, 179mp3an 1464 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ ℂ ↦ π) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
181180a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℂ ↦ π) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
182 difssd 3771 . . . . . 6 (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
183 eldifsn 4350 . . . . . . . 8 (π ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0))
18475, 20, 183mpbir2an 975 . . . . . . 7 π ∈ (ℂ ∖ {0})
185184a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → π ∈ (ℂ ∖ {0}))
186178, 181, 158, 182, 185cncfmptssg 40401 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ π) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})))
187177, 186divcncf 23262 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
188152, 187eqeltrd 2730 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
189 ioossicc 12297 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
190189a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵))
191 ioombl 23379 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
192191a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
1936a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (1 / 2) ∈ ℝ)
194 fzfid 12812 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (1...𝑁) ∈ Fin)
19510adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℝ)
196148sselda 3636 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑠 ∈ ℝ)
197196adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑠 ∈ ℝ)
198195, 197remulcld 10108 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℝ)
199198recoscld 14918 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℝ)
200194, 199fsumrecl 14509 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℝ)
201193, 200readdcld 10107 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ℝ)
20217a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → π ∈ ℝ)
20320a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → π ≠ 0)
204201, 202, 203redivcld 10891 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π) ∈ ℝ)
205148, 111syl6ss 3648 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
206205, 160, 162constcncfg 40402 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (1 / 2)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
207 eqid 2651 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) = (𝑠 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)))
208170adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
209162, 97, 208fsumcncf 40409 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
210200recnd 10106 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
211207, 209, 205, 162, 210cncfmptssg 40401 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
212206, 211addcncf 40404 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠)))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
213184a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → π ∈ (ℂ ∖ {0}))
214205, 213, 182constcncfg 40402 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ π) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})))
215212, 214divcncf 23262 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
216 cniccibl 23652 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ)) → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) ∈ 𝐿1)
217146, 147, 215, 216syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) ∈ 𝐿1)
218190, 192, 204, 217iblss 23616 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (((1 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑘 · 𝑠))) / π)) ∈ 𝐿1)
219152, 218eqeltrd 2730 . . 3 (𝜑 → (ℝ D 𝐺) ∈ 𝐿1)
220205, 162idcncfg 40403 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑠) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
221 2cn 11129 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
222 eldifsn 4350 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
223221, 88, 222mpbir2an 975 . . . . . . . . 9 2 ∈ (ℂ ∖ {0})
224223a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ (ℂ ∖ {0}))
225205, 224, 182constcncfg 40402 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 2) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})))
226220, 225divcncf 23262 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑠 / 2)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
227 sincn 24243 . . . . . . . . . . . 12 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
228227a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
229228, 169cncfmpt1f 22763 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
230229adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 ∈ ℂ ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
231205adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
232161a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ℂ ⊆ ℂ)
23359ad2antlr 763 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑘 ∈ ℂ)
234196recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
235234adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑠 ∈ ℂ)
236233, 235mulcld 10098 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑘 · 𝑠) ∈ ℂ)
237236sincld 14904 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (sin‘(𝑘 · 𝑠)) ∈ ℂ)
238117, 230, 231, 232, 237cncfmptssg 40401 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (sin‘(𝑘 · 𝑠))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
239 eldifsn 4350 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ≠ 0))
24059, 70, 239sylanbrc 699 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℂ ∖ {0}))
241240adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℂ ∖ {0}))
242 difssd 3771 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
243231, 241, 242constcncfg 40402 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝑘) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→(ℂ ∖ {0})))
244238, 243divcncf 23262 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
245205, 97, 244fsumcncf 40409 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
246226, 245addcncf 40404 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘))) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
247246, 214divcncf 23262 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (((𝑠 / 2) + Σ𝑘 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑘 · 𝑠)) / 𝑘)) / π)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
24853, 247syl5eqel 2734 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
249146, 147, 156, 188, 219, 248ftc2 23852 . 2 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((ℝ D 𝐺)‘𝑠) d𝑠 = ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)))
2503, 155, 2493eqtrd 2689 1 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥 = ((𝐺𝐵) − (𝐺𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  cdif 3604  wss 3607  ifcif 4119  {csn 4210  {cpr 4212   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  ran crn 5144  cres 5145  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  ...cfz 12364   mod cmo 12708  Σcsu 14460  sincsin 14838  cosccos 14839  πcpi 14841  TopOpenctopn 16129  topGenctg 16145  fldccnfld 19794  intcnt 20869  cnccncf 22726  volcvol 23278  𝐿1cibl 23431  citg 23432   D cdv 23672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-cmp 21238  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-ibl 23436  df-itg 23437  df-0p 23482  df-limc 23675  df-dv 23676
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  40744  fourierdlem104  40745
  Copyright terms: Public domain W3C validator