Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumsnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumsnf 30254
Description: The extended sum of a singleton is the term. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Jan-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 2-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
esumsnf.0 𝑘𝐵
esumsnf.1 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐵)
esumsnf.2 (𝜑𝑀𝑉)
esumsnf.3 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
Assertion
Ref Expression
esumsnf (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem esumsnf
Dummy variables 𝑥 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-esum 30218 . . 3 Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
21a1i 11 . 2 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)))
3 eqid 2651 . . . 4 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) = (ℝ*𝑠s (0[,]+∞))
4 snfi 8079 . . . . 5 {𝑀} ∈ Fin
54a1i 11 . . . 4 (𝜑 → {𝑀} ∈ Fin)
6 elsni 4227 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ {𝑀} → 𝑘 = 𝑀)
7 esumsnf.1 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 = 𝑀) → 𝐴 = 𝐵)
86, 7sylan2 490 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ {𝑀}) → 𝐴 = 𝐵)
98mpteq2dva 4777 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
10 esumsnf.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀𝑉)
11 esumsnf.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]+∞))
12 fmptsn 6474 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → {⟨𝑀, 𝐵⟩} = (𝑙 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
13 nfcv 2793 . . . . . . . . . 10 𝑙𝐵
14 esumsnf.0 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐵
15 eqidd 2652 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑙𝐵 = 𝐵)
1613, 14, 15cbvmpt 4782 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵) = (𝑙 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵)
1712, 16syl6eqr 2703 . . . . . . . 8 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → {⟨𝑀, 𝐵⟩} = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
1810, 11, 17syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → {⟨𝑀, 𝐵⟩} = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐵))
199, 18eqtr4d 2688 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = {⟨𝑀, 𝐵⟩})
20 fsng 6444 . . . . . . 7 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ (0[,]+∞)) → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶{𝐵} ↔ (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = {⟨𝑀, 𝐵⟩}))
2110, 11, 20syl2anc 694 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶{𝐵} ↔ (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) = {⟨𝑀, 𝐵⟩}))
2219, 21mpbird 247 . . . . 5 (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶{𝐵})
2311snssd 4372 . . . . 5 (𝜑 → {𝐵} ⊆ (0[,]+∞))
2422, 23fssd 6095 . . . 4 (𝜑 → (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴):{𝑀}⟶(0[,]+∞))
25 xrltso 12012 . . . . . . 7 < Or ℝ*
2625a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → < Or ℝ*)
27 0xr 10124 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
2827a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℝ*)
29 elxrge0 12319 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
3011, 29sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝐵))
3130simpld 474 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
32 suppr 8418 . . . . . 6 (( < Or ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → sup({0, 𝐵}, ℝ*, < ) = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵))
3326, 28, 31, 32syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → sup({0, 𝐵}, ℝ*, < ) = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵))
34 0fin 8229 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ Fin
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∅ ∈ Fin)
36 reseq2 5423 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ∅ → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ ∅))
37 res0 5432 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ ∅) = ∅
3836, 37syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = ∅)
3938oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ∅))
40 xrge00 29814 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0g‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
4140gsum0 17325 . . . . . . . . . . . 12 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ∅) = 0
4239, 41syl6eq 2701 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = 0)
4342adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = ∅) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = 0)
44 reseq2 5423 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = {𝑀} → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}))
45 ssid 3657 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑀} ⊆ {𝑀}
46 resmpt 5484 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑀} ⊆ {𝑀} → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
4745, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ {𝑀}) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)
4844, 47syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = {𝑀} → ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥) = (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴))
4948oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = {𝑀} → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)))
50 xrge0base 29813 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]+∞) = (Base‘(ℝ*𝑠s (0[,]+∞)))
51 xrge0cmn 19836 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd
52 cmnmnd 18254 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ CMnd → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) ∈ Mnd)
55 nfv 1883 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝜑
5650, 54, 10, 11, 7, 55, 14gsumsnfd 18397 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = 𝐵)
5749, 56sylan9eqr 2707 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 = {𝑀}) → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = 𝐵)
5835, 5, 28, 11, 43, 57fmptpr 6479 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ {∅, {𝑀}} ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))))
59 pwsn 4460 . . . . . . . . . . . . 13 𝒫 {𝑀} = {∅, {𝑀}}
60 prssi 4385 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∅ ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) → {∅, {𝑀}} ⊆ Fin)
6134, 4, 60mp2an 708 . . . . . . . . . . . . 13 {∅, {𝑀}} ⊆ Fin
6259, 61eqsstri 3668 . . . . . . . . . . . 12 𝒫 {𝑀} ⊆ Fin
63 df-ss 3621 . . . . . . . . . . . 12 (𝒫 {𝑀} ⊆ Fin ↔ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) = 𝒫 {𝑀})
6462, 63mpbi 220 . . . . . . . . . . 11 (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) = 𝒫 {𝑀}
6564, 59eqtri 2673 . . . . . . . . . 10 (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) = {∅, {𝑀}}
66 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)) = ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))
6765, 66mpteq12i 4775 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))) = (𝑥 ∈ {∅, {𝑀}} ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥)))
6858, 67syl6eqr 2703 . . . . . . . 8 (𝜑 → {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))))
6968rneqd 5385 . . . . . . 7 (𝜑 → ran {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))))
70 rnpropg 5651 . . . . . . . 8 ((∅ ∈ Fin ∧ {𝑀} ∈ Fin) → ran {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = {0, 𝐵})
7135, 5, 70syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → ran {⟨∅, 0⟩, ⟨{𝑀}, 𝐵⟩} = {0, 𝐵})
7269, 71eqtr3d 2687 . . . . . 6 (𝜑 → ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))) = {0, 𝐵})
7372supeq1d 8393 . . . . 5 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))), ℝ*, < ) = sup({0, 𝐵}, ℝ*, < ))
7430simprd 478 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ 𝐵)
75 xrlenlt 10141 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
7628, 31, 75syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
7774, 76mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝐵 < 0)
78 eqidd 2652 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 = 𝐵)
7977, 78jca 553 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 𝐵))
8079olcd 407 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 0) ∨ (¬ 𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 𝐵)))
81 eqif 4159 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵) ↔ ((𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 0) ∨ (¬ 𝐵 < 0 ∧ 𝐵 = 𝐵)))
8280, 81sylibr 224 . . . . 5 (𝜑𝐵 = if(𝐵 < 0, 0, 𝐵))
8333, 73, 823eqtr4rd 2696 . . . 4 (𝜑𝐵 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝒫 {𝑀} ∩ Fin) ↦ ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) Σg ((𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴) ↾ 𝑥))), ℝ*, < ))
843, 5, 24, 83xrge0tsmsd 29913 . . 3 (𝜑 → ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = {𝐵})
8584unieqd 4478 . 2 (𝜑 ((ℝ*𝑠s (0[,]+∞)) tsums (𝑘 ∈ {𝑀} ↦ 𝐴)) = {𝐵})
86 unisng 4484 . . 3 (𝐵 ∈ (0[,]+∞) → {𝐵} = 𝐵)
8711, 86syl 17 . 2 (𝜑 {𝐵} = 𝐵)
882, 85, 873eqtrd 2689 1 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wnfc 2780  cin 3606  wss 3607  c0 3948  ifcif 4119  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  {cpr 4212  cop 4216   cuni 4468   class class class wbr 4685  cmpt 4762   Or wor 5063  ran crn 5144  cres 5145  wf 5922  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  supcsup 8387  0cc0 9974  +∞cpnf 10109  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  [,]cicc 12216  s cress 15905   Σg cgsu 16148  *𝑠cxrs 16207  Mndcmnd 17341  CMndccmn 18239   tsums ctsu 21976  Σ*cesum 30217
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-xadd 11985  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-hash 13158  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-ordt 16208  df-xrs 16209  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-ps 17247  df-tsr 17248  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-ntr 20872  df-nei 20950  df-cn 21079  df-haus 21167  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-tsms 21977  df-esum 30218
This theorem is referenced by:  esumsn  30255  esum2dlem  30282
  Copyright terms: Public domain W3C validator