Theorem fmtnofac1 43752

Description: Divisor of Fermat number (Euler's Result), see ProofWiki "Divisor of Fermat Number/Euler's Result", 24-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Divisor_of_Fermat_Number/Euler's_Result): "Let F_n be a Fermat number. Let m be divisor of F_n. Then m is in the form: k*2^(n+1)+1 where k is a positive integer." Here, however, k must be a nonnegative integer, because k must be 0 to represent 1 (which is a divisor of F_n ).

Historical Note: In 1747, Leonhard Paul Euler proved that a divisor of a Fermat number F_n is always in the form kx2^(n+1)+1. This was later refined to k*2^(n+2)+1 by François Édouard Anatole Lucas, see fmtnofac2 43751. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnofac1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem fmtnofac1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 12326	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
2		5prm 16442	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℙ
3		dvdsprime 16031	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 5 ↔ (𝑀 = 5 ∨ 𝑀 = 1)))
4	2, 3	mpan 688	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ 5 ↔ (𝑀 = 5 ∨ 𝑀 = 1)))
5		1nn0 11914	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 5 → 1 ∈ ℕ0)
7		simpl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 = 5 ∧ 𝑘 = 1) → 𝑀 = 5)
8		oveq1 7163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 · 4) = (1 · 4))
9	8	oveq1d 7171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑘 · 4) + 1) = ((1 · 4) + 1))
10	9	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 = 5 ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑘 · 4) + 1) = ((1 · 4) + 1))
11	7, 10	eqeq12d 2837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 = 5 ∧ 𝑘 = 1) → (𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1) ↔ 5 = ((1 · 4) + 1)))
12		df-5 11704	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 = (4 + 1)
13		4cn 11723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℂ
14	13	mulid2i 10646	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · 4) = 4
15	14	eqcomi 2830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 = (1 · 4)
16	15	oveq1i 7166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = ((1 · 4) + 1)
17	12, 16	eqtri 2844	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 = ((1 · 4) + 1)
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 5 → 5 = ((1 · 4) + 1))
19	6, 11, 18	rspcedvd 3626	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = 5 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))
20		0nn0 11913	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 1 → 0 ∈ ℕ0)
22		simpl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 = 1 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑀 = 1)
23		oveq1 7163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 · 4) = (0 · 4))
24	23	oveq1d 7171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘 · 4) + 1) = ((0 · 4) + 1))
25	24	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 = 1 ∧ 𝑘 = 0) → ((𝑘 · 4) + 1) = ((0 · 4) + 1))
26	22, 25	eqeq12d 2837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 = 1 ∧ 𝑘 = 0) → (𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1) ↔ 1 = ((0 · 4) + 1)))
27	13	mul02i 10829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 · 4) = 0
28	27	oveq1i 7166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 · 4) + 1) = (0 + 1)
29		0p1e1 11760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
30	28, 29	eqtri 2844	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 · 4) + 1) = 1
31	30	eqcomi 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = ((0 · 4) + 1)
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 1 → 1 = ((0 · 4) + 1))
33	21, 26, 32	rspcedvd 3626	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))
34	19, 33	jaoi 853	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 = 5 ∨ 𝑀 = 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))
35	4, 34	syl6bi 255	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ 5 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1)))
36		fveq2 6670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘1))
37		fmtno1 43723	. . . . . . . 8 ⊢ (FermatNo‘1) = 5
38	36, 37	syl6eq 2872	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) = 5)
39	38	breq2d 5078	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑀 ∥ 5))
40		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 + 1) = (1 + 1))
41		1p1e2 11763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 1) = 2
42	40, 41	syl6eq 2872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 + 1) = 2)
43	42	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 1 → (2↑(𝑁 + 1)) = (2↑2))
44		sq2 13561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑2) = 4
45	43, 44	syl6eq 2872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → (2↑(𝑁 + 1)) = 4)
46	45	oveq2d 7172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑘 · 4))
47	46	oveq1d 7171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = ((𝑘 · 4) + 1))
48	47	eqeq2d 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1)))
49	48	rexbidv 3297	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1)))
50	39, 49	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) ↔ (𝑀 ∥ 5 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))))
51	35, 50	syl5ibr 248	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
52		fmtnofac2 43751	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
53		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ0)
54		2nn0 11915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
56	53, 55	nn0mulcld 11961	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 · 2) ∈ ℕ0)
57	56	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · 2) ∈ ℕ0)
58	57	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (𝑛 · 2) ∈ ℕ0)
59		simpr 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
60		oveq1 7163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑛 · 2) → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
61	60	oveq1d 7171	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑛 · 2) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = (((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
62	59, 61	eqeqan12d 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ 𝑘 = (𝑛 · 2)) → (𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
63		eluzge2nn0 12288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
64	63	nn0cnd 11958	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
65		add1p1 11889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
67	66	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 + 2) = ((𝑁 + 1) + 1))
68	67	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) = (2↑((𝑁 + 1) + 1)))
69		2cnd 11716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
70		peano2nn0 11938	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
71	63, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
72	69, 71	expp1d 13512	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((𝑁 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 + 1)) · 2))
73	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℕ0)
74	73, 71	nn0expcld 13608	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
75	74	nn0cnd 11958	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
76	75, 69	mulcomd 10662	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(𝑁 + 1)) · 2) = (2 · (2↑(𝑁 + 1))))
77	68, 72, 76	3eqtrd 2860	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) = (2 · (2↑(𝑁 + 1))))
78	77	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 2)) = (2 · (2↑(𝑁 + 1))))
79	78	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = (𝑛 · (2 · (2↑(𝑁 + 1)))))
80		nn0cn 11908	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
81	80	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
82		2cnd 11716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
83	75	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
84	81, 82, 83	mulassd 10664	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑛 · (2 · (2↑(𝑁 + 1)))))
85	79, 84	eqtr4d 2859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
86	85	3ad2antl1 1181	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
87	86	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
88	87	oveq1d 7171	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
89	58, 62, 88	rspcedvd 3626	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
90	89	rexlimdva2 3287	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
91	52, 90	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
92	91	3exp 1115	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
93	51, 92	jaoi 853	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
94	1, 93	sylbi 219	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
95	94	3imp 1107	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3139   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542  ℕcn 11638  2c2 11693  4c4 11695  5c5 11696  ℕ₀cn0 11898  ℤ_≥cuz 12244  ↑cexp 13430   ∥ cdvds 15607  ℙcprime 16015  FermatNocfmtno 43709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-dju 9330  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-xnn0 11969  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-ioo 12743  df-ico 12745  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431  df-fac 13635  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-prod 15260  df-dvds 15608  df-gcd 15844  df-prm 16016  df-odz 16102  df-phi 16103  df-pc 16174  df-lgs 25871  df-fmtno 43710

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