Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmtnofac1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmtnofac1 40811
 Description: Divisor of Fermat number (Euler's Result), see ProofWiki "Divisor of Fermat Number/Euler's Result", 24-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Divisor_of_Fermat_Number/Euler's_Result): "Let Fn be a Fermat number. Let m be divisor of Fn. Then m is in the form: k*2^(n+1)+1 where k is a positive integer." Here, however, k must be a nonnegative integer, because k must be 0 to represent 1 (which is a divisor of Fn ). Historical Note: In 1747, Leonhard Paul Euler proved that a divisor of a Fermat number Fn is always in the form kx2^(n+1)+1. This was later refined to k*2^(n+2)+1 by François Édouard Anatole Lucas, see fmtnofac2 40810. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
fmtnofac1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem fmtnofac1
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn1uz2 11725 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)))
2 5prm 15758 . . . . . . 7 5 ∈ ℙ
3 dvdsprime 15343 . . . . . . 7 ((5 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 5 ↔ (𝑀 = 5 ∨ 𝑀 = 1)))
42, 3mpan 705 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ 5 ↔ (𝑀 = 5 ∨ 𝑀 = 1)))
5 1nn0 11268 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
65a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 = 5 → 1 ∈ ℕ0)
7 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 5 ∧ 𝑘 = 1) → 𝑀 = 5)
8 oveq1 6622 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 1 → (𝑘 · 4) = (1 · 4))
98oveq1d 6630 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 1 → ((𝑘 · 4) + 1) = ((1 · 4) + 1))
109adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 5 ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑘 · 4) + 1) = ((1 · 4) + 1))
117, 10eqeq12d 2636 . . . . . . . 8 ((𝑀 = 5 ∧ 𝑘 = 1) → (𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1) ↔ 5 = ((1 · 4) + 1)))
12 df-5 11042 . . . . . . . . . 10 5 = (4 + 1)
13 4cn 11058 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
1413mulid2i 10003 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 4) = 4
1514eqcomi 2630 . . . . . . . . . . 11 4 = (1 · 4)
1615oveq1i 6625 . . . . . . . . . 10 (4 + 1) = ((1 · 4) + 1)
1712, 16eqtri 2643 . . . . . . . . 9 5 = ((1 · 4) + 1)
1817a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 = 5 → 5 = ((1 · 4) + 1))
196, 11, 18rspcedvd 3306 . . . . . . 7 (𝑀 = 5 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))
20 0nn0 11267 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
2120a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 = 1 → 0 ∈ ℕ0)
22 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 1 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑀 = 1)
23 oveq1 6622 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (𝑘 · 4) = (0 · 4))
2423oveq1d 6630 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → ((𝑘 · 4) + 1) = ((0 · 4) + 1))
2524adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑀 = 1 ∧ 𝑘 = 0) → ((𝑘 · 4) + 1) = ((0 · 4) + 1))
2622, 25eqeq12d 2636 . . . . . . . 8 ((𝑀 = 1 ∧ 𝑘 = 0) → (𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1) ↔ 1 = ((0 · 4) + 1)))
2713mul02i 10185 . . . . . . . . . . . 12 (0 · 4) = 0
2827oveq1i 6625 . . . . . . . . . . 11 ((0 · 4) + 1) = (0 + 1)
29 0p1e1 11092 . . . . . . . . . . 11 (0 + 1) = 1
3028, 29eqtri 2643 . . . . . . . . . 10 ((0 · 4) + 1) = 1
3130eqcomi 2630 . . . . . . . . 9 1 = ((0 · 4) + 1)
3231a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 = 1 → 1 = ((0 · 4) + 1))
3321, 26, 32rspcedvd 3306 . . . . . . 7 (𝑀 = 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))
3419, 33jaoi 394 . . . . . 6 ((𝑀 = 5 ∨ 𝑀 = 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))
354, 34syl6bi 243 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ 5 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1)))
36 fveq2 6158 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘1))
37 fmtno1 40782 . . . . . . . 8 (FermatNo‘1) = 5
3836, 37syl6eq 2671 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) = 5)
3938breq2d 4635 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑀 ∥ 5))
40 oveq1 6622 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 1 → (𝑁 + 1) = (1 + 1))
41 1p1e2 11094 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 1) = 2
4240, 41syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 1 → (𝑁 + 1) = 2)
4342oveq2d 6631 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 1 → (2↑(𝑁 + 1)) = (2↑2))
44 sq2 12916 . . . . . . . . . . 11 (2↑2) = 4
4543, 44syl6eq 2671 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 1 → (2↑(𝑁 + 1)) = 4)
4645oveq2d 6631 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 1 → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑘 · 4))
4746oveq1d 6630 . . . . . . . 8 (𝑁 = 1 → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = ((𝑘 · 4) + 1))
4847eqeq2d 2631 . . . . . . 7 (𝑁 = 1 → (𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1)))
4948rexbidv 3047 . . . . . 6 (𝑁 = 1 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1)))
5039, 49imbi12d 334 . . . . 5 (𝑁 = 1 → ((𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) ↔ (𝑀 ∥ 5 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))))
5135, 50syl5ibr 236 . . . 4 (𝑁 = 1 → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
52 fmtnofac2 40810 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
53 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)
54 2nn0 11269 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
5653, 55nn0mulcld 11316 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 · 2) ∈ ℕ0)
5756adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · 2) ∈ ℕ0)
5857adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (𝑛 · 2) ∈ ℕ0)
59 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
60 oveq1 6622 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑛 · 2) → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
6160oveq1d 6630 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑛 · 2) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = (((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
6259, 61eqeqan12d 2637 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ 𝑘 = (𝑛 · 2)) → (𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
63 eluzge2nn0 11687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6463nn0cnd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
65 add1p1 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
6766eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 2) = ((𝑁 + 1) + 1))
6867oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) = (2↑((𝑁 + 1) + 1)))
69 2cnd 11053 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℂ)
70 peano2nn0 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
7163, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
7269, 71expp1d 12965 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑((𝑁 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 + 1)) · 2))
7354a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℕ0)
7473, 71nn0expcld 12987 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
7574nn0cnd 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
7675, 69mulcomd 10021 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((2↑(𝑁 + 1)) · 2) = (2 · (2↑(𝑁 + 1))))
7768, 72, 763eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) = (2 · (2↑(𝑁 + 1))))
7877adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 2)) = (2 · (2↑(𝑁 + 1))))
7978oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = (𝑛 · (2 · (2↑(𝑁 + 1)))))
80 nn0cn 11262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
8180adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
82 2cnd 11053 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
8375adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
8481, 82, 83mulassd 10023 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑛 · (2 · (2↑(𝑁 + 1)))))
8579, 84eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
86853ad2antl1 1221 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
8786adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
8887oveq1d 6630 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
8958, 62, 88rspcedvd 3306 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
9089ex 450 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
9190rexlimdva 3026 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
9252, 91mpd 15 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
93923exp 1261 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
9451, 93jaoi 394 . . 3 ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
951, 94sylbi 207 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
96953imp 1254 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∃wrex 2909   class class class wbr 4623  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  ℂcc 9894  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901  ℕcn 10980  2c2 11030  4c4 11032  5c5 11033  ℕ0cn0 11252  ℤ≥cuz 11647  ↑cexp 12816   ∥ cdvds 14926  ℙcprime 15328  FermatNocfmtno 40768 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-ioo 12137  df-ico 12139  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-fac 13017  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-prod 14580  df-dvds 14927  df-gcd 15160  df-prm 15329  df-odz 15413  df-phi 15414  df-pc 15485  df-lgs 24954  df-fmtno 40769 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator