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Theorem iccpartigtl 41684
 Description: If there is a partition, then all intermediate points are strictly greater than the lower bound. (Contributed by AV, 12-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartgtprec.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartgtprec.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
iccpartigtl (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑀   𝑃,𝑖   𝜑,𝑖

Proof of Theorem iccpartigtl
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ral0 4109 . . . 4 𝑖 ∈ ∅ (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)
2 oveq2 6698 . . . . . 6 (𝑀 = 1 → (1..^𝑀) = (1..^1))
3 fzo0 12531 . . . . . 6 (1..^1) = ∅
42, 3syl6eq 2701 . . . . 5 (𝑀 = 1 → (1..^𝑀) = ∅)
54raleqdv 3174 . . . 4 (𝑀 = 1 → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ (𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
61, 5mpbiri 248 . . 3 (𝑀 = 1 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
76a1d 25 . 2 (𝑀 = 1 → (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
8 iccpartgtprec.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
9 iccpartgtprec.p . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
108nnnn0d 11389 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
11 0elfz 12475 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝑀))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
138, 9, 12iccpartxr 41680 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
1413adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → (𝑃‘0) ∈ ℝ*)
15 elxr 11988 . . . . 5 ((𝑃‘0) ∈ ℝ* ↔ ((𝑃‘0) ∈ ℝ ∨ (𝑃‘0) = +∞ ∨ (𝑃‘0) = -∞))
16 0zd 11427 . . . . . . . . 9 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 0 ∈ ℤ)
17 elfzouz 12513 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → 𝑖 ∈ (ℤ‘1))
18 0p1e1 11170 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 1) = 1
1918fveq2i 6232 . . . . . . . . . . 11 (ℤ‘(0 + 1)) = (ℤ‘1)
2017, 19syl6eleqr 2741 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → 𝑖 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
2120adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
22 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
2322eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → (𝑃‘0) = (𝑃𝑘))
2423eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 0 → ((𝑃‘0) ∈ ℝ ↔ (𝑃𝑘) ∈ ℝ))
2524biimpcd 239 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃‘0) ∈ ℝ → (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) ∈ ℝ))
2625ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) ∈ ℝ))
278adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0))) → 𝑀 ∈ ℕ)
289adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0))) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
29 elfz2nn0 12469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (0...𝑖) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑘𝑖))
30 elfzo2 12512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ↔ (𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀))
31 simpl1 1084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑘𝑖) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
32 simpr2 1088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑘𝑖) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
33 nn0ge0 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑖)
34 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
35 eluzelre 11736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑖 ∈ (ℤ‘1) → 𝑖 ∈ ℝ)
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑖 ∈ ℝ)
37 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
39 lelttr 10166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑖𝑖 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
4034, 36, 38, 39syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((0 ≤ 𝑖𝑖 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
4140expcomd 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑖 < 𝑀 → (0 ≤ 𝑖 → 0 < 𝑀)))
42413impia 1280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀) → (0 ≤ 𝑖 → 0 < 𝑀))
4333, 42syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
44433ad2ant2 1103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑘𝑖) → ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
4544imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑘𝑖) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀)) → 0 < 𝑀)
46 elnnz 11425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
4732, 45, 46sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑘𝑖) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
48 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℝ)
4948ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) → 𝑘 ∈ ℝ)
50 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℝ)
5150adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℝ)
5251adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) → 𝑖 ∈ ℝ)
5338adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ ℝ)
54 lelttr 10166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((𝑘𝑖𝑖 < 𝑀) → 𝑘 < 𝑀))
5554expd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑖 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑘𝑖 → (𝑖 < 𝑀𝑘 < 𝑀)))
5649, 52, 53, 55syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0)) → (𝑘𝑖 → (𝑖 < 𝑀𝑘 < 𝑀)))
5756exp31 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 ∈ (ℤ‘1) → (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑘𝑖 → (𝑖 < 𝑀𝑘 < 𝑀)))))
5857com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 ∈ (ℤ‘1) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑘𝑖 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑖 < 𝑀𝑘 < 𝑀)))))
5958com35 98 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 ∈ (ℤ‘1) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑖 < 𝑀 → ((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑘𝑖𝑘 < 𝑀)))))
60593imp 1275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀) → ((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑘𝑖𝑘 < 𝑀)))
6160expdcom 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ ℕ0 → ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀) → (𝑘𝑖𝑘 < 𝑀))))
6261com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑘𝑖 → ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀) → 𝑘 < 𝑀))))
63623imp1 1302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑘𝑖) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀)) → 𝑘 < 𝑀)
64 elfzo0 12548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑘 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑀))
6531, 47, 63, 64syl3anbrc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑘𝑖) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀))
6665ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑘𝑖) → ((𝑖 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑖 < 𝑀) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀)))
6730, 66syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0𝑘𝑖) → (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀)))
6829, 67sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (0...𝑖) → (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀)))
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0) → (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀)))
7069impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀))
71 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0) → 𝑘 ≠ 0)
7271adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0)) → 𝑘 ≠ 0)
73 fzo1fzo0n0 12558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (1..^𝑀) ↔ (𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑘 ≠ 0))
7470, 72, 73sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0)) → 𝑘 ∈ (1..^𝑀))
7574adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0))) → 𝑘 ∈ (1..^𝑀))
7627, 28, 75iccpartipre 41682 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ (1..^𝑀) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0))) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ)
7776exp32 630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → ((𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ)))
7877ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → ((𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ)))
7978imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → ((𝑘 ∈ (0...𝑖) ∧ 𝑘 ≠ 0) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ))
8079expdimp 452 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑘 ≠ 0 → (𝑃𝑘) ∈ ℝ))
8126, 80pm2.61dne 2909 . . . . . . . . 9 (((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑖)) → (𝑃𝑘) ∈ ℝ)
828adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 𝑀 ∈ ℕ)
8382ad3antlr 767 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 − 1))) → 𝑀 ∈ ℕ)
849adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
8584ad3antlr 767 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 − 1))) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
86 elfzoelz 12509 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → 𝑖 ∈ ℤ)
8786adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑖 ∈ ℤ)
88 fzoval 12510 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ℤ → (0..^𝑖) = (0...(𝑖 − 1)))
8988eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ℤ → (0...(𝑖 − 1)) = (0..^𝑖))
9087, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (0...(𝑖 − 1)) = (0..^𝑖))
9190eleq2d 2716 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑘 ∈ (0...(𝑖 − 1)) ↔ 𝑘 ∈ (0..^𝑖)))
92 elfzouz2 12523 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (1..^𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑖))
9392adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑀 ∈ (ℤ𝑖))
94 fzoss2 12535 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ (ℤ𝑖) → (0..^𝑖) ⊆ (0..^𝑀))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (0..^𝑖) ⊆ (0..^𝑀))
9695sseld 3635 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑘 ∈ (0..^𝑖) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀)))
9791, 96sylbid 230 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑘 ∈ (0...(𝑖 − 1)) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀)))
9897imp 444 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 − 1))) → 𝑘 ∈ (0..^𝑀))
99 iccpartimp 41678 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...𝑀)) ∧ (𝑃𝑘) < (𝑃‘(𝑘 + 1))))
10083, 85, 98, 99syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 − 1))) → (𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...𝑀)) ∧ (𝑃𝑘) < (𝑃‘(𝑘 + 1))))
101100simprd 478 . . . . . . . . 9 (((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑖 − 1))) → (𝑃𝑘) < (𝑃‘(𝑘 + 1)))
10216, 21, 81, 101smonoord 41666 . . . . . . . 8 ((((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
103102ralrimiva 2995 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) ∈ ℝ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
104103ex 449 . . . . . 6 ((𝑃‘0) ∈ ℝ → ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
105 lbfzo0 12547 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ 𝑀 ∈ ℕ)
1068, 105sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
1078, 9, 1063jca 1261 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)))
108107ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)))
109108adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)))
110 iccpartimp 41678 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀) ∧ 0 ∈ (0..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1))))
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃 ∈ (ℝ*𝑚 (0...𝑀)) ∧ (𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1))))
112111simprd 478 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1)))
113 breq1 4688 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃‘0) = +∞ → ((𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1)) ↔ +∞ < (𝑃‘(0 + 1))))
114113adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → ((𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1)) ↔ +∞ < (𝑃‘(0 + 1))))
115114adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → ((𝑃‘0) < (𝑃‘(0 + 1)) ↔ +∞ < (𝑃‘(0 + 1))))
116112, 115mpbid 222 . . . . . . . . 9 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → +∞ < (𝑃‘(0 + 1)))
1178ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → 𝑀 ∈ ℕ)
118117adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
1199ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
120119adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
121 1nn0 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1 ∈ ℕ0
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
123 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
124 nnge1 11084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑀)
125122, 123, 1243jca 1261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → (1 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑀))
1268, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (1 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑀))
127 elfz2nn0 12469 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ (0...𝑀) ↔ (1 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑀))
128126, 127sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ (0...𝑀))
12918, 128syl5eqel 2734 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 + 1) ∈ (0...𝑀))
130129ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → (0 + 1) ∈ (0...𝑀))
131130adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (0 + 1) ∈ (0...𝑀))
132118, 120, 131iccpartxr 41680 . . . . . . . . . 10 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃‘(0 + 1)) ∈ ℝ*)
133 pnfnlt 12000 . . . . . . . . . 10 ((𝑃‘(0 + 1)) ∈ ℝ* → ¬ +∞ < (𝑃‘(0 + 1)))
134132, 133syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → ¬ +∞ < (𝑃‘(0 + 1)))
135116, 134pm2.21dd 186 . . . . . . . 8 ((((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) ∧ 𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
136135ralrimiva 2995 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = +∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
137136ex 449 . . . . . 6 ((𝑃‘0) = +∞ → ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
1388adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑀 ∈ ℕ)
1399adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
140 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → 𝑖 ∈ (1..^𝑀))
141138, 139, 140iccpartipre 41682 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → (𝑃𝑖) ∈ ℝ)
142 mnflt 11995 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃𝑖) ∈ ℝ → -∞ < (𝑃𝑖))
143141, 142syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑖 ∈ (1..^𝑀)) → -∞ < (𝑃𝑖))
144143ralrimiva 2995 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)-∞ < (𝑃𝑖))
145144ad2antrl 764 . . . . . . . 8 (((𝑃‘0) = -∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)-∞ < (𝑃𝑖))
146 breq1 4688 . . . . . . . . . 10 ((𝑃‘0) = -∞ → ((𝑃‘0) < (𝑃𝑖) ↔ -∞ < (𝑃𝑖)))
147146adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑃‘0) = -∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → ((𝑃‘0) < (𝑃𝑖) ↔ -∞ < (𝑃𝑖)))
148147ralbidv 3015 . . . . . . . 8 (((𝑃‘0) = -∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → (∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)-∞ < (𝑃𝑖)))
149145, 148mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝑃‘0) = -∞ ∧ (𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1)) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
150149ex 449 . . . . . 6 ((𝑃‘0) = -∞ → ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
151104, 137, 1503jaoi 1431 . . . . 5 (((𝑃‘0) ∈ ℝ ∨ (𝑃‘0) = +∞ ∨ (𝑃‘0) = -∞) → ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
15215, 151sylbi 207 . . . 4 ((𝑃‘0) ∈ ℝ* → ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
15314, 152mpcom 38 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑀 = 1) → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
154153expcom 450 . 2 𝑀 = 1 → (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖)))
1557, 154pm2.61i 176 1 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (1..^𝑀)(𝑃‘0) < (𝑃𝑖))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∨ w3o 1053   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↑𝑚 cmap 7899  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  +∞cpnf 10109  -∞cmnf 10110  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304  ℕcn 11058  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  RePartciccp 41674 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-iccp 41675 This theorem is referenced by:  iccpartlt  41685  iccpartgtl  41687  iccpartgt  41688
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