Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppcnlem4 32611
Description: Lemma for knoppcn 32619. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem4.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem4.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem4.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem4.1 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem4.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
knoppcnlem4.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem4 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐴)‘𝑀)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝑥,𝐴   𝐶,𝑚   𝐶,𝑛,𝑦   𝑚,𝑀   𝑛,𝑀   𝑥,𝑀   𝑛,𝑁,𝑦   𝑥,𝑁   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑚   𝜑,𝑛,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑚)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥,𝑚)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑚,𝑛)   𝑀(𝑦)   𝑁(𝑚)

Proof of Theorem knoppcnlem4
StepHypRef Expression
1 knoppcnlem4.f . . . 4 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2 knoppcnlem4.2 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 knoppcnlem4.3 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
41, 2, 3knoppcnlem1 32608 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝑀) = ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
54fveq2d 6233 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐴)‘𝑀)) = (abs‘((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
6 knoppcnlem4.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
76recnd 10106 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
87, 3expcld 13048 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶𝑀) ∈ ℂ)
9 knoppcnlem4.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
10 2re 11128 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
12 knoppcnlem4.n . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
13 nnre 11065 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
1511, 14remulcld 10108 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
1615, 3reexpcld 13065 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℝ)
1716, 2remulcld 10108 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) ∈ ℝ)
189, 17dnicld2 32588 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℝ)
1918recnd 10106 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℂ)
208, 19absmuld 14237 . . . . 5 (𝜑 → (abs‘((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = ((abs‘(𝐶𝑀)) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
217, 3absexpd 14235 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐶𝑀)) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
2221oveq1d 6705 . . . . 5 (𝜑 → ((abs‘(𝐶𝑀)) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
2320, 22eqtrd 2685 . . . 4 (𝜑 → (abs‘((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
2419abscld 14219 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ∈ ℝ)
25 1red 10093 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
267abscld 14219 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
2726, 3reexpcld 13065 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝑀) ∈ ℝ)
287absge0d 14227 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝐶))
2926, 3, 28expge0d 13066 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑀))
309dnival 32586 . . . . . . . . . 10 ((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) ∈ ℝ → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
3117, 30syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
3231fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) = (abs‘(abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))))
33 halfre 11284 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 2) ∈ ℝ
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
3517, 34readdcld 10107 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
36 reflcl 12637 . . . . . . . . . . . 12 (((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2)) ∈ ℝ → (⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) ∈ ℝ)
3837, 17resubcld 10496 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℝ)
3938recnd 10106 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℂ)
40 absidm 14107 . . . . . . . . 9 (((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)) ∈ ℂ → (abs‘(abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
4139, 40syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘(abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
4232, 41eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) = (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
4331, 18eqeltrrd 2731 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ∈ ℝ)
44 rddif 14124 . . . . . . . . 9 ((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) ∈ ℝ → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ (1 / 2))
4517, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ (1 / 2))
46 halflt1 11288 . . . . . . . . . 10 (1 / 2) < 1
47 1re 10077 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
4833, 47ltlei 10197 . . . . . . . . . 10 ((1 / 2) < 1 → (1 / 2) ≤ 1)
4946, 48ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ≤ 1
5049a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 2) ≤ 1)
5143, 34, 25, 45, 50letrd 10232 . . . . . . 7 (𝜑 → (abs‘((⌊‘((((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴) + (1 / 2))) − (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ 1)
5242, 51eqbrtrd 4707 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ≤ 1)
5324, 25, 27, 29, 52lemul2ad 11002 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ (((abs‘𝐶)↑𝑀) · 1))
54 ax-1rid 10044 . . . . . 6 (((abs‘𝐶)↑𝑀) ∈ ℝ → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · 1) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
5527, 54syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · 1) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
5653, 55breqtrd 4711 . . . 4 (𝜑 → (((abs‘𝐶)↑𝑀) · (abs‘(𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑀))
5723, 56eqbrtrd 4707 . . 3 (𝜑 → (abs‘((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ ((abs‘𝐶)↑𝑀))
58 eqidd 2652 . . . . 5 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚)))
59 oveq2 6698 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑀 → ((abs‘𝐶)↑𝑚) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
6059adantl 481 . . . . 5 ((𝜑𝑚 = 𝑀) → ((abs‘𝐶)↑𝑚) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
6158, 60, 3, 27fvmptd 6327 . . . 4 (𝜑 → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀) = ((abs‘𝐶)↑𝑀))
6261eqcomd 2657 . . 3 (𝜑 → ((abs‘𝐶)↑𝑀) = ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))
6357, 62breqtrd 4711 . 2 (𝜑 → (abs‘((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))
645, 63eqbrtrd 4707 1 (𝜑 → (abs‘((𝐹𝐴)‘𝑀)) ≤ ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ ((abs‘𝐶)↑𝑚))‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cfl 12631  cexp 12900  abscabs 14018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020
This theorem is referenced by:  knoppcnlem6  32613
  Copyright terms: Public domain W3C validator