Theorem logbgcd1irr 25372

Description: The logarithm of an integer greater than 1 to an integer base greater than 1 is an irrational number if the argument and the base are relatively prime. For example, (2 log_b 9) ∈ (ℝ ∖ ℚ) (see 2logb9irr 25373). (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
logbgcd1irr	⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Proof of Theorem logbgcd1irr

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12285	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
2	1	nnrpd 12430	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ+)
3	2	3ad2ant2 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → 𝐵 ∈ ℝ+)
4		eluz2nn 12285	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℕ)
5	4	nnrpd 12430	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℝ+)
6	5	3ad2ant1 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → 𝑋 ∈ ℝ+)
7		eluz2b3 12323	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ≠ 1))
8	7	simprbi 499	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ≠ 1)
9	8	3ad2ant2 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → 𝐵 ≠ 1)
10	3, 6, 9	3jca 1124	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1))
11		relogbcl 25351	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑋 ∈ ℝ+ ∧ 𝐵 ≠ 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℝ)
13		eluz2gt1 12321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑋)
14	13	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 < 𝑋)
15	4	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑋 ∈ ℕ)
16	15	nnrpd 12430	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑋 ∈ ℝ+)
17	1	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ ℕ)
18	17	nnrpd 12430	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ ℝ+)
19		eluz2gt1 12321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝐵)
20	19	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 < 𝐵)
21		logbgt0b 25371	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ+ ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝐵)) → (0 < (𝐵 logb 𝑋) ↔ 1 < 𝑋))
22	16, 18, 20, 21	syl12anc 834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (0 < (𝐵 logb 𝑋) ↔ 1 < 𝑋))
23	14, 22	mpbird 259	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 < (𝐵 logb 𝑋))
24	23	anim1ci 617	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ) → ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝐵 logb 𝑋)))
25		elpq 12375	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ ∧ 0 < (𝐵 logb 𝑋)) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛))
26	24, 25	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ) → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛))
27	26	ex 415	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ → ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛)))
28		oveq2 7164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 / 𝑛) = (𝐵 logb 𝑋) → (𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) = (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)))
29	28	eqcoms 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → (𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) = (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)))
30		eluzelcn 12256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℂ)
31	30	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ ℂ)
32		nnne0 11672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
33	1, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ≠ 0)
34	33, 8	nelprd 4596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ 𝐵 ∈ {0, 1})
35	34	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ 𝐵 ∈ {0, 1})
36	31, 35	eldifd 3947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}))
37		eluzelcn 12256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑋 ∈ ℂ)
38	37	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑋 ∈ ℂ)
39		nnne0 11672	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → 𝑋 ≠ 0)
40		nelsn 4605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋 ≠ 0 → ¬ 𝑋 ∈ {0})
41	4, 39, 40	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) → ¬ 𝑋 ∈ {0})
42	41	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ 𝑋 ∈ {0})
43	38, 42	eldifd 3947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0}))
44		cxplogb 25364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℂ ∖ {0, 1}) ∧ 𝑋 ∈ (ℂ ∖ {0})) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
45	36, 43, 44	syl2anc 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
46	45	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵↑𝑐(𝐵 logb 𝑋)) = 𝑋)
47	29, 46	sylan9eqr 2878	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛)) → (𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋)
48	47	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → (𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋))
49		oveq1 7163	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋 → ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝑋↑𝑛))
50	31	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
51		nncn 11646	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
52	51	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
53		nncn 11646	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
54	53	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
55		nnne0 11672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
56	55	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ≠ 0)
57	52, 54, 56	3jca 1124	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0))
58		divcl 11304	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0) → (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ)
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ)
60	59	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ)
61		nnnn0 11905	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
62	61	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ0)
63	62	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
64	50, 60, 63	3jca 1124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0))
65		cxpmul2 25272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)) = ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛))
66	65	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑚 / 𝑛) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝐵↑𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)))
67	64, 66	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝐵↑𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)))
68	57	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0))
69		divcan1 11307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ≠ 0) → ((𝑚 / 𝑛) · 𝑛) = 𝑚)
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑚 / 𝑛) · 𝑛) = 𝑚)
71	70	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵↑𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)) = (𝐵↑𝑐𝑚))
72	33	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ≠ 0)
73	72	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝐵 ≠ 0)
74		nnz 12005	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℤ)
75	74	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℤ)
76	75	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → 𝑚 ∈ ℤ)
77	50, 73, 76	cxpexpzd 25294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵↑𝑐𝑚) = (𝐵↑𝑚))
78	71, 77	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵↑𝑐((𝑚 / 𝑛) · 𝑛)) = (𝐵↑𝑚))
79	67, 78	eqtrd 2856	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝐵↑𝑚))
80	79	eqeq1d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝑋↑𝑛) ↔ (𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛)))
81		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
82		rplpwr 15907	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1))
83	15, 17, 81, 82	syl2an3an 1418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1))
84		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋↑𝑛) = (𝐵↑𝑚) → ((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = ((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵))
85	84	eqeq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋↑𝑛) = (𝐵↑𝑚) → (((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1))
86	85	eqcoms 2829	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛) → (((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1))
87	86	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛)) → (((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1 ↔ ((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1))
88		eluzelz 12254	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℤ)
89	88	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐵 ∈ ℤ)
90		simpl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
91		rpexp 16064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐵 gcd 𝐵) = 1))
92	89, 89, 90, 91	syl2an3an 1418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1 ↔ (𝐵 gcd 𝐵) = 1))
93		gcdid 15875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
94	88, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
95		eluzelre 12255	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℝ)
96		nnnn0 11905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℕ0)
97		nn0ge0 11923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
98	1, 96, 97	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ≤ 𝐵)
99	95, 98	absidd 14782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (abs‘𝐵) = 𝐵)
100	94, 99	eqtrd 2856	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 gcd 𝐵) = 𝐵)
101	100	eqeq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = 1))
102	101	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = 1))
103	102	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 ↔ 𝐵 = 1))
104		eqneqall 3027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 = 1 → (𝐵 ≠ 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
105	8, 104	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐵 = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
106	105	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐵 = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
107	106	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (𝐵 = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
108	103, 107	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
109	92, 108	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
110	109	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛)) → (((𝐵↑𝑚) gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
111	87, 110	sylbid 242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) ∧ (𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛)) → (((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
112	111	ex 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛) → (((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1)))
113	112	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝑋↑𝑛) gcd 𝐵) = 1 → ((𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1)))
114	83, 113	syld 47	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1)))
115		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ((𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
116	114, 115	pm2.61d1 182	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵↑𝑚) = (𝑋↑𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
117	80, 116	sylbid 242	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → (((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛))↑𝑛) = (𝑋↑𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
118	49, 117	syl5 34	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵↑𝑐(𝑚 / 𝑛)) = 𝑋 → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
119	48, 118	syld 47	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) → ((𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
120	119	rexlimdvva 3294	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐵 logb 𝑋) = (𝑚 / 𝑛) → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
121	27, 120	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ → ¬ (𝑋 gcd 𝐵) = 1))
122	121	con2d 136	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑋 gcd 𝐵) = 1 → ¬ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ))
123	122	3impia 1113	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → ¬ (𝐵 logb 𝑋) ∈ ℚ)
124	12, 123	eldifd 3947	1 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑋 gcd 𝐵) = 1) → (𝐵 logb 𝑋) ∈ (ℝ ∖ ℚ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∃wrex 3139   ∖ cdif 3933  {csn 4567  {cpr 4569   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   · cmul 10542   < clt 10675   ≤ cle 10676   / cdiv 11297  ℕcn 11638  2c2 11693  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  ℤ_≥cuz 12244  ℚcq 12349  ℝ⁺crp 12390  ↑cexp 13430  abscabs 14593   gcd cgcd 15843  ↑_𝑐ccxp 25139   log_b clogb 25342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-fi 8875  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xneg 12508  df-xadd 12509  df-xmul 12510  df-ioo 12743  df-ioc 12744  df-ico 12745  df-icc 12746  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-mod 13239  df-seq 13371  df-exp 13431  df-fac 13635  df-bc 13664  df-hash 13692  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ef 15421  df-sin 15423  df-cos 15424  df-pi 15426  df-dvds 15608  df-gcd 15844  df-prm 16016  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24464  df-dv 24465  df-log 25140  df-cxp 25141  df-logb 25343

This theorem is referenced by:  2logb9irr  25373  logbprmirr  25374