MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pclem 15462
Description: - Lemma for the prime power pre-function's properties. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
pclem.1 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁}
Assertion
Ref Expression
pclem ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝑛,𝑦,𝑁   𝑃,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑛)

Proof of Theorem pclem
StepHypRef Expression
1 pclem.1 . . . . 5 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁}
2 ssrab2 3671 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁} ⊆ ℕ0
31, 2eqsstri 3619 . . . 4 𝐴 ⊆ ℕ0
4 nn0ssz 11343 . . . 4 0 ⊆ ℤ
53, 4sstri 3597 . . 3 𝐴 ⊆ ℤ
65a1i 11 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝐴 ⊆ ℤ)
7 0nn0 11252 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
87a1i 11 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 0 ∈ ℕ0)
9 eluzelcn 11643 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℂ)
109adantr 481 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℂ)
1110exp0d 12939 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑0) = 1)
12 1dvds 14915 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)
1312ad2antrl 763 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 1 ∥ 𝑁)
1411, 13eqbrtrd 4640 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑0) ∥ 𝑁)
15 oveq2 6613 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → (𝑃𝑛) = (𝑃↑0))
1615breq1d 4628 . . . . 5 (𝑛 = 0 → ((𝑃𝑛) ∥ 𝑁 ↔ (𝑃↑0) ∥ 𝑁))
1716, 1elrab2 3353 . . . 4 (0 ∈ 𝐴 ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑0) ∥ 𝑁))
188, 14, 17sylanbrc 697 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 0 ∈ 𝐴)
19 ne0i 3902 . . 3 (0 ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅)
2018, 19syl 17 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝐴 ≠ ∅)
21 nnssz 11342 . . 3 ℕ ⊆ ℤ
22 zcn 11327 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2322abscld 14104 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
2423ad2antrl 763 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
25 eluzelre 11642 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
2625adantr 481 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℝ)
27 eluz2b2 11705 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
2827simprbi 480 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑃)
2928adantr 481 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 1 < 𝑃)
30 expnbnd 12930 . . . . 5 (((abs‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < (𝑃𝑥))
3124, 26, 29, 30syl3anc 1323 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < (𝑃𝑥))
32 simprr 795 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑦𝐴)
33 oveq2 6613 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑦 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑦))
3433breq1d 4628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑦 → ((𝑃𝑛) ∥ 𝑁 ↔ (𝑃𝑦) ∥ 𝑁))
3534, 1elrab2 3353 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑦) ∥ 𝑁))
3632, 35sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑦) ∥ 𝑁))
3736simprd 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑃𝑦) ∥ 𝑁)
38 eluz2nn 11670 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
3938ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑃 ∈ ℕ)
4036simpld 475 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
4139, 40nnexpcld 12967 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑃𝑦) ∈ ℕ)
4241nnzd 11425 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑃𝑦) ∈ ℤ)
43 simplrl 799 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑁 ∈ ℤ)
44 simplrr 800 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑁 ≠ 0)
45 dvdsleabs 14952 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑃𝑦) ∥ 𝑁 → (𝑃𝑦) ≤ (abs‘𝑁)))
4642, 43, 44, 45syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → ((𝑃𝑦) ∥ 𝑁 → (𝑃𝑦) ≤ (abs‘𝑁)))
4737, 46mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑃𝑦) ≤ (abs‘𝑁))
4841nnred 10980 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑃𝑦) ∈ ℝ)
4924adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
5025ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑃 ∈ ℝ)
51 nnnn0 11244 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
5251ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
5350, 52reexpcld 12962 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑃𝑥) ∈ ℝ)
54 lelttr 10073 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃𝑦) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑥) ∈ ℝ) → (((𝑃𝑦) ≤ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) < (𝑃𝑥)) → (𝑃𝑦) < (𝑃𝑥)))
5548, 49, 53, 54syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (((𝑃𝑦) ≤ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) < (𝑃𝑥)) → (𝑃𝑦) < (𝑃𝑥)))
5647, 55mpand 710 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → ((abs‘𝑁) < (𝑃𝑥) → (𝑃𝑦) < (𝑃𝑥)))
5740nn0zd 11424 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑦 ∈ ℤ)
58 nnz 11344 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
5958ad2antrl 763 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑥 ∈ ℤ)
6028ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 1 < 𝑃)
6150, 57, 59, 60ltexp2d 12975 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑃𝑦) < (𝑃𝑥)))
6256, 61sylibrd 249 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → ((abs‘𝑁) < (𝑃𝑥) → 𝑦 < 𝑥))
6340nn0red 11297 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
64 nnre 10972 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
6564ad2antrl 763 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
66 ltle 10071 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥𝑦𝑥))
6763, 65, 66syl2anc 692 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑦 < 𝑥𝑦𝑥))
6862, 67syld 47 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → ((abs‘𝑁) < (𝑃𝑥) → 𝑦𝑥))
6968anassrs 679 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) → ((abs‘𝑁) < (𝑃𝑥) → 𝑦𝑥))
7069ralrimdva 2968 . . . . 5 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((abs‘𝑁) < (𝑃𝑥) → ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
7170reximdva 3016 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < (𝑃𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
7231, 71mpd 15 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
73 ssrexv 3651 . . 3 (ℕ ⊆ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
7421, 72, 73mpsyl 68 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
756, 20, 743jca 1240 1 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  wrex 2913  {crab 2916  wss 3560  c0 3896   class class class wbr 4618  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  cr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   < clt 10019  cle 10020  cn 10965  2c2 11015  0cn0 11237  cz 11322  cuz 11631  cexp 12797  abscabs 13903  cdvds 14902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-inf 8294  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fl 12530  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-dvds 14903
This theorem is referenced by:  pcprecl  15463  pcprendvds  15464  pcpremul  15467
  Copyright terms: Public domain W3C validator