MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pclem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pclem 15590
Description: - Lemma for the prime power pre-function's properties. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
pclem.1 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁}
Assertion
Ref Expression
pclem ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝑛,𝑦,𝑁   𝑃,𝑛,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑛)

Proof of Theorem pclem
StepHypRef Expression
1 pclem.1 . . . . 5 𝐴 = {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁}
2 ssrab2 3720 . . . . 5 {𝑛 ∈ ℕ0 ∣ (𝑃𝑛) ∥ 𝑁} ⊆ ℕ0
31, 2eqsstri 3668 . . . 4 𝐴 ⊆ ℕ0
4 nn0ssz 11436 . . . 4 0 ⊆ ℤ
53, 4sstri 3645 . . 3 𝐴 ⊆ ℤ
65a1i 11 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝐴 ⊆ ℤ)
7 0nn0 11345 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
87a1i 11 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 0 ∈ ℕ0)
9 eluzelcn 11737 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℂ)
109adantr 480 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℂ)
1110exp0d 13042 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑0) = 1)
12 1dvds 15043 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∥ 𝑁)
1312ad2antrl 764 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 1 ∥ 𝑁)
1411, 13eqbrtrd 4707 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝑃↑0) ∥ 𝑁)
15 oveq2 6698 . . . . . 6 (𝑛 = 0 → (𝑃𝑛) = (𝑃↑0))
1615breq1d 4695 . . . . 5 (𝑛 = 0 → ((𝑃𝑛) ∥ 𝑁 ↔ (𝑃↑0) ∥ 𝑁))
1716, 1elrab2 3399 . . . 4 (0 ∈ 𝐴 ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃↑0) ∥ 𝑁))
188, 14, 17sylanbrc 699 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 0 ∈ 𝐴)
19 ne0i 3954 . . 3 (0 ∈ 𝐴𝐴 ≠ ∅)
2018, 19syl 17 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝐴 ≠ ∅)
21 nnssz 11435 . . 3 ℕ ⊆ ℤ
22 zcn 11420 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2322abscld 14219 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
2423ad2antrl 764 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
25 eluzelre 11736 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
2625adantr 480 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 𝑃 ∈ ℝ)
27 eluz2b2 11799 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃))
2827simprbi 479 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝑃)
2928adantr 480 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → 1 < 𝑃)
30 expnbnd 13033 . . . . 5 (((abs‘𝑁) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → ∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < (𝑃𝑥))
3124, 26, 29, 30syl3anc 1366 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < (𝑃𝑥))
32 simprr 811 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑦𝐴)
33 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑦 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑦))
3433breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑦 → ((𝑃𝑛) ∥ 𝑁 ↔ (𝑃𝑦) ∥ 𝑁))
3534, 1elrab2 3399 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐴 ↔ (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑦) ∥ 𝑁))
3632, 35sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝑃𝑦) ∥ 𝑁))
3736simprd 478 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑃𝑦) ∥ 𝑁)
38 eluz2nn 11764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 𝑃 ∈ ℕ)
3938ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑃 ∈ ℕ)
4036simpld 474 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
4139, 40nnexpcld 13070 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑃𝑦) ∈ ℕ)
4241nnzd 11519 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑃𝑦) ∈ ℤ)
43 simplrl 817 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑁 ∈ ℤ)
44 simplrr 818 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑁 ≠ 0)
45 dvdsleabs 15080 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑃𝑦) ∥ 𝑁 → (𝑃𝑦) ≤ (abs‘𝑁)))
4642, 43, 44, 45syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → ((𝑃𝑦) ∥ 𝑁 → (𝑃𝑦) ≤ (abs‘𝑁)))
4737, 46mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑃𝑦) ≤ (abs‘𝑁))
4841nnred 11073 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑃𝑦) ∈ ℝ)
4924adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
5025ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑃 ∈ ℝ)
51 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ0)
5251ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑥 ∈ ℕ0)
5350, 52reexpcld 13065 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑃𝑥) ∈ ℝ)
54 lelttr 10166 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃𝑦) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑥) ∈ ℝ) → (((𝑃𝑦) ≤ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) < (𝑃𝑥)) → (𝑃𝑦) < (𝑃𝑥)))
5548, 49, 53, 54syl3anc 1366 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (((𝑃𝑦) ≤ (abs‘𝑁) ∧ (abs‘𝑁) < (𝑃𝑥)) → (𝑃𝑦) < (𝑃𝑥)))
5647, 55mpand 711 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → ((abs‘𝑁) < (𝑃𝑥) → (𝑃𝑦) < (𝑃𝑥)))
5740nn0zd 11518 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑦 ∈ ℤ)
58 nnz 11437 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
5958ad2antrl 764 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑥 ∈ ℤ)
6028ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 1 < 𝑃)
6150, 57, 59, 60ltexp2d 13078 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑃𝑦) < (𝑃𝑥)))
6256, 61sylibrd 249 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → ((abs‘𝑁) < (𝑃𝑥) → 𝑦 < 𝑥))
6340nn0red 11390 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑦 ∈ ℝ)
64 nnre 11065 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
6564ad2antrl 764 . . . . . . . . 9 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → 𝑥 ∈ ℝ)
66 ltle 10164 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑥𝑦𝑥))
6763, 65, 66syl2anc 694 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → (𝑦 < 𝑥𝑦𝑥))
6862, 67syld 47 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐴)) → ((abs‘𝑁) < (𝑃𝑥) → 𝑦𝑥))
6968anassrs 681 . . . . . 6 ((((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) ∧ 𝑦𝐴) → ((abs‘𝑁) < (𝑃𝑥) → 𝑦𝑥))
7069ralrimdva 2998 . . . . 5 (((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → ((abs‘𝑁) < (𝑃𝑥) → ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
7170reximdva 3046 . . . 4 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (∃𝑥 ∈ ℕ (abs‘𝑁) < (𝑃𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
7231, 71mpd 15 . . 3 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
73 ssrexv 3700 . . 3 (ℕ ⊆ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℕ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
7421, 72, 73mpsyl 68 . 2 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
756, 20, 743jca 1261 1 ((𝑃 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   < clt 10112  cle 10113  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  cexp 12900  abscabs 14018  cdvds 15027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028
This theorem is referenced by:  pcprecl  15591  pcprendvds  15592  pcpremul  15595
  Copyright terms: Public domain W3C validator