Theorem plydivex 24886

Description: Lemma for plydivalg 24888. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plydiv.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.tm	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
plydiv.rc	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
plydiv.m1	⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
plydiv.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
plydiv.z	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
plydiv.r	⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))

Assertion

Ref	Expression
plydivex	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑞,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦   𝐺,𝑞,𝑥,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑞,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑅(𝑞)

Proof of Theorem plydivex

Dummy variables 𝑧 𝑓 𝑑 𝑝 𝑔 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plydiv.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
2		dgrcl 24823	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
4	3	nn0red 11957	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℝ)
5		plydiv.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
6		dgrcl 24823	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
8	7	nn0red 11957	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐺) ∈ ℝ)
9	4, 8	resubcld 11068	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) ∈ ℝ)
10		arch 11895	. . 3 ⊢ (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) ∈ ℝ → ∃𝑑 ∈ ℕ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)
11	9, 10	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℕ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)
12		olc 864	. . . 4 ⊢ (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 → (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
13		eqeq1 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 = 0𝑝 ↔ 𝐹 = 0𝑝))
14		fveq2 6670	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (deg‘𝑓) = (deg‘𝐹))
15	14	oveq1d 7171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)))
16	15	breq1d 5076	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ↔ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
17	13, 16	orbi12d 915	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ↔ (𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)))
18		oveq1 7163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)))
19		plydiv.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = (𝐹 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))
20	18, 19	syl6eqr 2874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 𝑅)
21	20	eqeq1d 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ↔ 𝑅 = 0𝑝))
22	20	fveq2d 6674	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) = (deg‘𝑅))
23	22	breq1d 5076	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → ((deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))
24	21, 23	orbi12d 915	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ (𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
25	24	rexbidv 3297	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
26	17, 25	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))))
27		nnnn0 11905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → 𝑑 ∈ ℕ0)
28		breq2 5070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 0 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))
29	28	orbi2d 912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0)))
30	29	imbi1d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 0 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
31	30	ralbidv 3197	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
32	31	imbi2d 343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
33		breq2 5070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
34	33	orbi2d 912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)))
35	34	imbi1d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
36	35	ralbidv 3197	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
37	36	imbi2d 343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑑 → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
38		breq2 5070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝑑 + 1) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)))
39	38	orbi2d 912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑑 + 1) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1))))
40	39	imbi1d 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑑 + 1) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
41	40	ralbidv 3197	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑑 + 1) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
42	41	imbi2d 343	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑑 + 1) → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑥) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
43		plydiv.pl	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
44	43	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
45		plydiv.tm	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
46	45	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
47		plydiv.rc	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
48	47	adantlr 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
49		plydiv.m1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -1 ∈ 𝑆)
50	49	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → -1 ∈ 𝑆)
51		simprl 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆))
52	5	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
53		plydiv.z	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ 0𝑝)
54	53	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
55		eqid 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = (𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))
56		simprr 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))
57	44, 46, 48, 50, 51, 52, 54, 55, 56	plydivlem3 24884	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) ∧ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0))) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
58	57	expr 459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
59	58	ralrimiva 3182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 0) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
60		eqeq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 = 0𝑝 ↔ 𝑔 = 0𝑝))
61		fveq2 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (deg‘𝑓) = (deg‘𝑔))
62	61	oveq1d 7171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)))
63	62	breq1d 5076	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ↔ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑))
64	60, 63	orbi12d 915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ↔ (𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑)))
65		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = (𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)))
66	65	eqeq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ↔ (𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝))
67	65	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) = (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))))
68	67	breq1d 5076	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → ((deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
69	66, 68	orbi12d 915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
70	69	rexbidv 3297	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
71	64, 70	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓 = 𝑔 → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
72	71	cbvralvw 3449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
73		simplll 773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝜑)
74	73, 43	sylan 582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
75	73, 45	sylan 582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
76	73, 47	sylan 582	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ≠ 0)) → (1 / 𝑥) ∈ 𝑆)
77	73, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → -1 ∈ 𝑆)
78		simplr 767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆))
79	73, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
80	73, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝐺 ≠ 0𝑝)
81		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝑑 ∈ ℕ0)
82		simprrr 780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)
83		simprrl 779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → 𝑓 ≠ 0𝑝)
84		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = (𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))
85		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → (𝑤↑𝑑) = (𝑧↑𝑑))
86	85	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑤 = 𝑧 → ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑤↑𝑑)) = ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑧↑𝑑)))
87	86	cbvmptv 5169	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 ∈ ℂ ↦ ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑤↑𝑑))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ ((((coeff‘𝑓)‘(deg‘𝑓)) / ((coeff‘𝐺)‘(deg‘𝐺))) · (𝑧↑𝑑)))
88		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
89		oveq2 7164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝐺 ∘f · 𝑞) = (𝐺 ∘f · 𝑝))
90	89	oveq2d 7172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = (𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)))
91	90	eqeq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ↔ (𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝))
92	90	fveq2d 6674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) = (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))))
93	92	breq1d 5076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → ((deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺) ↔ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))
94	91, 93	orbi12d 915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑞 = 𝑝 → (((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
95	94	cbvrexvw 3450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)) ↔ ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺)))
96	95	imbi2i 338	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
97	96	ralbii 3165	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
98	88, 97	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑝 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑝))) < (deg‘𝐺))))
99		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (coeff‘𝑓) = (coeff‘𝑓)
100		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (coeff‘𝐺) = (coeff‘𝐺)
101		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (deg‘𝑓) = (deg‘𝑓)
102		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (deg‘𝐺) = (deg‘𝐺)
103	74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 55, 81, 82, 83, 84, 87, 98, 99, 100, 101, 102	plydivlem4 24885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) ∧ (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))
104	103	exp32 423	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
105	104	ralrimdva 3189	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑔 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑔) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑔 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
106	72, 105	syl5bi 244	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
107	106	ancld 553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
108		dgrcl 24823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝑓) ∈ ℕ0)
109	108	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝑓) ∈ ℕ0)
110	109	nn0zd 12086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝑓) ∈ ℤ)
111	5	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝐺 ∈ (Poly‘𝑆))
112	111, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐺) ∈ ℕ0)
113	112	nn0zd 12086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (deg‘𝐺) ∈ ℤ)
114	110, 113	zsubcld 12093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ∈ ℤ)
115		nn0z 12006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → 𝑑 ∈ ℤ)
116	115	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑑 ∈ ℤ)
117		zleltp1 12034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ≤ 𝑑 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)))
118	114, 116, 117	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ≤ 𝑑 ↔ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)))
119	114	zred 12088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ∈ ℝ)
120		nn0re 11907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → 𝑑 ∈ ℝ)
121	120	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → 𝑑 ∈ ℝ)
122	119, 121	leloed 10783	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) ≤ 𝑑 ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
123	118, 122	bitr3d 283	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
124	123	orbi2d 912	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
125		pm5.63 1016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (¬ 𝑓 = 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
126		df-ne 3017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 ≠ 0𝑝 ↔ ¬ 𝑓 = 0𝑝)
127	126	anbi1i 625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) ↔ (¬ 𝑓 = 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))
128	127	orbi2i 909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (¬ 𝑓 = 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
129	125, 128	bitr4i 280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
130	129	orbi2i 909	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
131		or12 917	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
132		or12 917	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))) ↔ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
133	130, 131, 132	3bitr4i 305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
134		orass 918	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ (𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
135	133, 134	bitr4i 280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ (((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)))
136	124, 135	syl6bb 289	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) ↔ ((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑))))
137	136	imbi1d 344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
138		jaob 958	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) ∨ (𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
139	137, 138	syl6bb 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) ∧ 𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)) → (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
140	139	ralbidva 3196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
141		r19.26 3170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)(((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) ↔ (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
142	140, 141	syl6bb 289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ↔ (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) ∧ ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ≠ 0𝑝 ∧ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) = 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
143	107, 142	sylibrd 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ0) → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
144	143	expcom 416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → (𝜑 → (∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
145	144	a2d 29	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → ((𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))) → (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < (𝑑 + 1)) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))))
146	32, 37, 42, 37, 59, 145	nn0ind 12078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ0 → (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
147	27, 146	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℕ → (𝜑 → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺)))))
148	147	impcom 410	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → ∀𝑓 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝑓) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)((𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞)) = 0𝑝 ∨ (deg‘(𝑓 ∘f − (𝐺 ∘f · 𝑞))) < (deg‘𝐺))))
149	1	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → 𝐹 ∈ (Poly‘𝑆))
150	26, 148, 149	rspcdva 3625	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → ((𝐹 = 0𝑝 ∨ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑) → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
151	12, 150	syl5 34	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑑 ∈ ℕ) → (((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
152	151	rexlimdva 3284	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℕ ((deg‘𝐹) − (deg‘𝐺)) < 𝑑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺))))
153	11, 152	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ (Poly‘𝑆)(𝑅 = 0𝑝 ∨ (deg‘𝑅) < (deg‘𝐺)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   class class class wbr 5066   ↦ cmpt 5146  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∘_f cof 7407  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537  1c1 10538   + caddc 10540   · cmul 10542   < clt 10675   ≤ cle 10676   − cmin 10870  -cneg 10871   / cdiv 11297  ℕcn 11638  ℕ₀cn0 11898  ℤcz 11982  ↑cexp 13430  0_𝑝c0p 24270  Polycply 24774  coeffccoe 24776  degcdgr 24777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-inf2 9104  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-fl 13163  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-0p 24271  df-ply 24778  df-coe 24780  df-dgr 24781

This theorem is referenced by:  plydivalg  24888