MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  restuni Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem restuni 20879
Description: The underlying set of a subspace topology. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
restuni.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
restuni ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))

Proof of Theorem restuni
StepHypRef Expression
1 restuni.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21toptopon 20647 . . 3 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3 resttopon 20878 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐽t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
42, 3sylanb 489 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → (𝐽t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
5 toponuni 20641 . 2 ((𝐽t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
64, 5syl 17 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → 𝐴 = (𝐽t 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3556   cuni 4404  cfv 5849  (class class class)co 6607  t crest 16005  Topctop 20620  TopOnctopon 20637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-oadd 7512  df-er 7690  df-en 7903  df-fin 7906  df-fi 8264  df-rest 16007  df-topgen 16028  df-top 20621  df-topon 20638  df-bases 20664
This theorem is referenced by:  restuni2  20884  restcld  20889  restopn2  20894  neitr  20897  restcls  20898  restntr  20899  rncmp  21112  cmpsublem  21115  cmpsub  21116  fiuncmp  21120  connsubclo  21140  connima  21141  conncn  21142  nllyrest  21202  cldllycmp  21211  lly1stc  21212  llycmpkgen2  21266  1stckgen  21270  txkgen  21368  xkopjcn  21372  xkococnlem  21375  cnextfres1  21785  cnextfres  21786  cncfcnvcn  22637  cnheibor  22667  evthicc  23141  psercn  24091  abelth  24106  connpconn  30946  cvmscld  30984  cvmsss2  30985  cvmliftmolem1  30992  cvmliftlem10  31005  cvmlift2lem9  31022  cvmlift2lem11  31024  cvmlift2lem12  31025  cvmlift3lem7  31036  ivthALT  31993  ptrest  33061  poimirlem29  33091  poimirlem30  33092  poimirlem31  33093  poimir  33095  cncfuni  39420  cncfiooicclem1  39427  stoweidlem28  39568  dirkercncflem4  39646  fourierdlem42  39689
  Copyright terms: Public domain W3C validator