MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlimcnp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlimcnp2 24593
Description: Relate a limit of a real-valued sequence at infinity to the continuity of the function 𝑆(𝑦) = 𝑅(1 / 𝑦) at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimcnp2.a (𝜑𝐴 ⊆ (0[,)+∞))
rlimcnp2.0 (𝜑 → 0 ∈ 𝐴)
rlimcnp2.b (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
rlimcnp2.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
rlimcnp2.r ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑆 ∈ ℂ)
rlimcnp2.d ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦𝐵 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴))
rlimcnp2.s (𝑦 = (1 / 𝑥) → 𝑆 = 𝑅)
rlimcnp2.j 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
rlimcnp2.k 𝐾 = (𝐽t 𝐴)
Assertion
Ref Expression
rlimcnp2 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑅   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑦)   𝐽(𝑥,𝑦)   𝐾(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rlimcnp2
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inss1 3811 . . . . . . . 8 (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ⊆ 𝐵
2 resmpt 5408 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ⊆ 𝐵 → ((𝑦𝐵𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ↦ 𝑆))
31, 2mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ↦ 𝑆))
4 0xr 10030 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ*
5 0lt1 10494 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
6 df-ioo 12121 . . . . . . . . . . . 12 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
7 df-ico 12123 . . . . . . . . . . . 12 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
8 xrltletr 11932 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑤) → 0 < 𝑤))
96, 7, 8ixxss1 12135 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞))
104, 5, 9mp2an 707 . . . . . . . . . 10 (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞)
11 ioorp 12193 . . . . . . . . . 10 (0(,)+∞) = ℝ+
1210, 11sseqtri 3616 . . . . . . . . 9 (1[,)+∞) ⊆ ℝ+
13 sslin 3817 . . . . . . . . 9 ((1[,)+∞) ⊆ ℝ+ → (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ⊆ (𝐵 ∩ ℝ+))
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ⊆ (𝐵 ∩ ℝ+)
15 resmpt 5408 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ⊆ (𝐵 ∩ ℝ+) → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ↦ 𝑆))
1614, 15mp1i 13 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)) ↦ 𝑆))
173, 16eqtr4d 2658 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))) = ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞))))
18 resres 5368 . . . . . 6 (((𝑦𝐵𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)) = ((𝑦𝐵𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)))
19 resres 5368 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)) = ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (𝐵 ∩ (1[,)+∞)))
2017, 18, 193eqtr4g 2680 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑦𝐵𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)) = (((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)))
21 rlimcnp2.r . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦𝐵) → 𝑆 ∈ ℂ)
22 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐵𝑆) = (𝑦𝐵𝑆)
2321, 22fmptd 6340 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝐵𝑆):𝐵⟶ℂ)
24 ffn 6002 . . . . . . . 8 ((𝑦𝐵𝑆):𝐵⟶ℂ → (𝑦𝐵𝑆) Fn 𝐵)
2523, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝐵𝑆) Fn 𝐵)
26 fnresdm 5958 . . . . . . 7 ((𝑦𝐵𝑆) Fn 𝐵 → ((𝑦𝐵𝑆) ↾ 𝐵) = (𝑦𝐵𝑆))
2725, 26syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆) ↾ 𝐵) = (𝑦𝐵𝑆))
2827reseq1d 5355 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑦𝐵𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)) = ((𝑦𝐵𝑆) ↾ (1[,)+∞)))
29 inss1 3811 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∩ ℝ+) ⊆ 𝐵
3029sseli 3579 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) → 𝑦𝐵)
3130, 21sylan2 491 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → 𝑆 ∈ ℂ)
32 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆)
3331, 32fmptd 6340 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆):(𝐵 ∩ ℝ+)⟶ℂ)
34 frel 6007 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆):(𝐵 ∩ ℝ+)⟶ℂ → Rel (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆))
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → Rel (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆))
3632, 31dmmptd 5981 . . . . . . . 8 (𝜑 → dom (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) = (𝐵 ∩ ℝ+))
3736, 29syl6eqss 3634 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ⊆ 𝐵)
38 relssres 5396 . . . . . . 7 ((Rel (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ∧ dom (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ⊆ 𝐵) → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆))
3935, 37, 38syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆))
4039reseq1d 5355 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ 𝐵) ↾ (1[,)+∞)) = ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)))
4120, 28, 403eqtr3d 2663 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆) ↾ (1[,)+∞)) = ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)))
4241breq1d 4623 . . 3 (𝜑 → (((𝑦𝐵𝑆) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))
43 rlimcnp2.b . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
44 1red 9999 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4523, 43, 44rlimresb 14230 . . 3 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ((𝑦𝐵𝑆) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))
4629, 43syl5ss 3594 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 ∩ ℝ+) ⊆ ℝ)
4733, 46, 44rlimresb 14230 . . 3 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ↾ (1[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐶))
4842, 45, 473bitr4d 300 . 2 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶))
49 inss2 3812 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∩ ℝ+) ⊆ ℝ+
5049a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 ∩ ℝ+) ⊆ ℝ+)
5150sselda 3583 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
5251rpreccld 11826 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → (1 / 𝑦) ∈ ℝ+)
5352rpne0d 11821 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → (1 / 𝑦) ≠ 0)
5453neneqd 2795 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → ¬ (1 / 𝑦) = 0)
5554iffalsed 4069 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅) = (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅)
56 oveq2 6612 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (1 / 𝑦) → (1 / 𝑥) = (1 / (1 / 𝑦)))
57 rpcnne0 11794 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0))
58 recrec 10666 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (1 / (1 / 𝑦)) = 𝑦)
5951, 57, 583syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → (1 / (1 / 𝑦)) = 𝑦)
6056, 59sylan9eqr 2677 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) ∧ 𝑥 = (1 / 𝑦)) → (1 / 𝑥) = 𝑦)
6160eqcomd 2627 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) ∧ 𝑥 = (1 / 𝑦)) → 𝑦 = (1 / 𝑥))
62 rlimcnp2.s . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 / 𝑥) → 𝑆 = 𝑅)
6361, 62syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) ∧ 𝑥 = (1 / 𝑦)) → 𝑆 = 𝑅)
6463eqcomd 2627 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) ∧ 𝑥 = (1 / 𝑦)) → 𝑅 = 𝑆)
6552, 64csbied 3541 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅 = 𝑆)
6655, 65eqtrd 2655 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅) = 𝑆)
6766mpteq2dva 4704 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅)) = (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆))
6867breq1d 4623 . 2 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ 𝑆) ⇝𝑟 𝐶))
69 rlimcnp2.a . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ (0[,)+∞))
70 rlimcnp2.0 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ 𝐴)
71 rlimcnp2.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
7271ad2antrr 761 . . . . 5 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ 𝑤 = 0) → 𝐶 ∈ ℂ)
7369sselda 3583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ (0[,)+∞))
74 0re 9984 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
75 pnfxr 10036 . . . . . . . . . . . . 13 +∞ ∈ ℝ*
76 elico2 12179 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤𝑤 < +∞)))
7774, 75, 76mp2an 707 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤𝑤 < +∞))
7873, 77sylib 208 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝐴) → (𝑤 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑤𝑤 < +∞))
7978simp1d 1071 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
8079adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 𝑤 ∈ ℝ)
8178simp2d 1072 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝐴) → 0 ≤ 𝑤)
82 leloe 10068 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑤 ↔ (0 < 𝑤 ∨ 0 = 𝑤)))
8374, 79, 82sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝐴) → (0 ≤ 𝑤 ↔ (0 < 𝑤 ∨ 0 = 𝑤)))
8481, 83mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝐴) → (0 < 𝑤 ∨ 0 = 𝑤))
8584ord 392 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝐴) → (¬ 0 < 𝑤 → 0 = 𝑤))
86 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . 12 (0 = 𝑤𝑤 = 0)
8785, 86syl6ib 241 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝐴) → (¬ 0 < 𝑤𝑤 = 0))
8887con1d 139 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤𝐴) → (¬ 𝑤 = 0 → 0 < 𝑤))
8988imp 445 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 0 < 𝑤)
9080, 89elrpd 11813 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 𝑤 ∈ ℝ+)
91 rpcnne0 11794 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ ℝ+ → (𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0))
92 recrec 10666 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ℂ ∧ 𝑤 ≠ 0) → (1 / (1 / 𝑤)) = 𝑤)
9391, 92syl 17 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ ℝ+ → (1 / (1 / 𝑤)) = 𝑤)
9490, 93syl 17 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (1 / (1 / 𝑤)) = 𝑤)
9594csbeq1d 3521 . . . . . 6 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (1 / (1 / 𝑤)) / 𝑥𝑅 = 𝑤 / 𝑥𝑅)
96 simplr 791 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 𝑤𝐴)
97 simpll 789 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 𝜑)
98 rpreccl 11801 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑤) ∈ ℝ+)
9998adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (1 / 𝑤) ∈ ℝ+)
100 rlimcnp2.d . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦𝐵 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴))
101100ralrimiva 2960 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (𝑦𝐵 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴))
102101adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∀𝑦 ∈ ℝ+ (𝑦𝐵 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴))
103 eleq1 2686 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (1 / 𝑤) → (𝑦𝐵 ↔ (1 / 𝑤) ∈ 𝐵))
104 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (1 / 𝑤) → (1 / 𝑦) = (1 / (1 / 𝑤)))
105104eleq1d 2683 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (1 / 𝑤) → ((1 / 𝑦) ∈ 𝐴 ↔ (1 / (1 / 𝑤)) ∈ 𝐴))
106103, 105bibi12d 335 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (1 / 𝑤) → ((𝑦𝐵 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴) ↔ ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ↔ (1 / (1 / 𝑤)) ∈ 𝐴)))
107106rspcv 3291 . . . . . . . . . . . 12 ((1 / 𝑤) ∈ ℝ+ → (∀𝑦 ∈ ℝ+ (𝑦𝐵 ↔ (1 / 𝑦) ∈ 𝐴) → ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ↔ (1 / (1 / 𝑤)) ∈ 𝐴)))
10899, 102, 107sylc 65 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ↔ (1 / (1 / 𝑤)) ∈ 𝐴))
10993adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (1 / (1 / 𝑤)) = 𝑤)
110109eleq1d 2683 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ((1 / (1 / 𝑤)) ∈ 𝐴𝑤𝐴))
111108, 110bitr2d 269 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤𝐴 ↔ (1 / 𝑤) ∈ 𝐵))
11297, 90, 111syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (𝑤𝐴 ↔ (1 / 𝑤) ∈ 𝐵))
11396, 112mpbid 222 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (1 / 𝑤) ∈ 𝐵)
11490rpreccld 11826 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (1 / 𝑤) ∈ ℝ+)
115113, 114elind 3776 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (1 / 𝑤) ∈ (𝐵 ∩ ℝ+))
11665, 31eqeltrd 2698 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)) → (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅 ∈ ℂ)
117116ralrimiva 2960 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)(1 / 𝑦) / 𝑥𝑅 ∈ ℂ)
118117ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → ∀𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)(1 / 𝑦) / 𝑥𝑅 ∈ ℂ)
119104csbeq1d 3521 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (1 / 𝑤) → (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅 = (1 / (1 / 𝑤)) / 𝑥𝑅)
120119eleq1d 2683 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1 / 𝑤) → ((1 / 𝑦) / 𝑥𝑅 ∈ ℂ ↔ (1 / (1 / 𝑤)) / 𝑥𝑅 ∈ ℂ))
121120rspcv 3291 . . . . . . 7 ((1 / 𝑤) ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) → (∀𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)(1 / 𝑦) / 𝑥𝑅 ∈ ℂ → (1 / (1 / 𝑤)) / 𝑥𝑅 ∈ ℂ))
122115, 118, 121sylc 65 . . . . . 6 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → (1 / (1 / 𝑤)) / 𝑥𝑅 ∈ ℂ)
12395, 122eqeltrrd 2699 . . . . 5 (((𝜑𝑤𝐴) ∧ ¬ 𝑤 = 0) → 𝑤 / 𝑥𝑅 ∈ ℂ)
12472, 123ifclda 4092 . . . 4 ((𝜑𝑤𝐴) → if(𝑤 = 0, 𝐶, 𝑤 / 𝑥𝑅) ∈ ℂ)
12599biantrud 528 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ↔ ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℝ+)))
126111, 125bitrd 268 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤𝐴 ↔ ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℝ+)))
127 elin 3774 . . . . 5 ((1 / 𝑤) ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↔ ((1 / 𝑤) ∈ 𝐵 ∧ (1 / 𝑤) ∈ ℝ+))
128126, 127syl6bbr 278 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (𝑤𝐴 ↔ (1 / 𝑤) ∈ (𝐵 ∩ ℝ+)))
129 iftrue 4064 . . . 4 (𝑤 = 0 → if(𝑤 = 0, 𝐶, 𝑤 / 𝑥𝑅) = 𝐶)
130 eqeq1 2625 . . . . 5 (𝑤 = (1 / 𝑦) → (𝑤 = 0 ↔ (1 / 𝑦) = 0))
131 csbeq1 3517 . . . . 5 (𝑤 = (1 / 𝑦) → 𝑤 / 𝑥𝑅 = (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅)
132130, 131ifbieq2d 4083 . . . 4 (𝑤 = (1 / 𝑦) → if(𝑤 = 0, 𝐶, 𝑤 / 𝑥𝑅) = if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅))
133 rlimcnp2.j . . . 4 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
134 rlimcnp2.k . . . 4 𝐾 = (𝐽t 𝐴)
13569, 70, 50, 124, 128, 129, 132, 133, 134rlimcnp 24592 . . 3 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑤𝐴 ↦ if(𝑤 = 0, 𝐶, 𝑤 / 𝑥𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))
136 nfcv 2761 . . . . 5 𝑤if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)
137 nfv 1840 . . . . . 6 𝑥 𝑤 = 0
138 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑥𝐶
139 nfcsb1v 3530 . . . . . 6 𝑥𝑤 / 𝑥𝑅
140137, 138, 139nfif 4087 . . . . 5 𝑥if(𝑤 = 0, 𝐶, 𝑤 / 𝑥𝑅)
141 eqeq1 2625 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑤 = 0))
142 csbeq1a 3523 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑤𝑅 = 𝑤 / 𝑥𝑅)
143141, 142ifbieq2d 4083 . . . . 5 (𝑥 = 𝑤 → if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅) = if(𝑤 = 0, 𝐶, 𝑤 / 𝑥𝑅))
144136, 140, 143cbvmpt 4709 . . . 4 (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) = (𝑤𝐴 ↦ if(𝑤 = 0, 𝐶, 𝑤 / 𝑥𝑅))
145144eleq1i 2689 . . 3 ((𝑥𝐴 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0) ↔ (𝑤𝐴 ↦ if(𝑤 = 0, 𝐶, 𝑤 / 𝑥𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0))
146135, 145syl6bbr 278 . 2 (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝐵 ∩ ℝ+) ↦ if((1 / 𝑦) = 0, 𝐶, (1 / 𝑦) / 𝑥𝑅)) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))
14748, 68, 1463bitr2d 296 1 (𝜑 → ((𝑦𝐵𝑆) ⇝𝑟 𝐶 ↔ (𝑥𝐴 ↦ if(𝑥 = 0, 𝐶, 𝑅)) ∈ ((𝐾 CnP 𝐽)‘0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  csb 3514  cin 3554  wss 3555  ifcif 4058   class class class wbr 4613  cmpt 4673  dom cdm 5074  cres 5076  Rel wrel 5079   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881  +∞cpnf 10015  *cxr 10017   < clt 10018  cle 10019   / cdiv 10628  +crp 11776  (,)cioo 12117  [,)cico 12119  𝑟 crli 14150  t crest 16002  TopOpenctopn 16003  fldccnfld 19665   CnP ccnp 20939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ico 12123  df-fz 12269  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-rlim 14154  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-rest 16004  df-topn 16005  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-cnp 20942
This theorem is referenced by:  rlimcnp3  24594
  Copyright terms: Public domain W3C validator