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Theorem volcn 23420
 Description: The function formed by restricting a measurable set to a closed interval with a varying endpoint produces an increasing continuous function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
volcn.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))))
Assertion
Ref Expression
volcn ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem volcn
Dummy variables 𝑢 𝑒 𝑣 𝑦 𝑧 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 805 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
2 iccmbl 23380 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol)
32adantll 750 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol)
4 inmbl 23356 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ∈ dom vol)
51, 3, 4syl2anc 694 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ∈ dom vol)
6 mblvol 23344 . . . . 5 ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))))
75, 6syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))))
8 inss2 3867 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ⊆ (𝐵[,]𝑥)
98a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ⊆ (𝐵[,]𝑥))
10 mblss 23345 . . . . . 6 ((𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol → (𝐵[,]𝑥) ⊆ ℝ)
113, 10syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑥) ⊆ ℝ)
12 mblvol 23344 . . . . . . 7 ((𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol → (vol‘(𝐵[,]𝑥)) = (vol*‘(𝐵[,]𝑥)))
133, 12syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐵[,]𝑥)) = (vol*‘(𝐵[,]𝑥)))
14 iccvolcl 23381 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐵[,]𝑥)) ∈ ℝ)
1514adantll 750 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐵[,]𝑥)) ∈ ℝ)
1613, 15eqeltrrd 2731 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐵[,]𝑥)) ∈ ℝ)
17 ovolsscl 23300 . . . . 5 (((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ⊆ (𝐵[,]𝑥) ∧ (𝐵[,]𝑥) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐵[,]𝑥)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) ∈ ℝ)
189, 11, 16, 17syl3anc 1366 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) ∈ ℝ)
197, 18eqeltrd 2730 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) ∈ ℝ)
20 volcn.1 . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))))
2119, 20fmptd 6425 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
22 simprr 811 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
23 oveq12 6699 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣 = 𝑧𝑢 = 𝑦) → (𝑣𝑢) = (𝑧𝑦))
2423ancoms 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 = 𝑦𝑣 = 𝑧) → (𝑣𝑢) = (𝑧𝑦))
2524fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 = 𝑦𝑣 = 𝑧) → (abs‘(𝑣𝑢)) = (abs‘(𝑧𝑦)))
2625breq1d 4695 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 = 𝑦𝑣 = 𝑧) → ((abs‘(𝑣𝑢)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒))
27 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑧 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑧))
28 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑦 → (𝐹𝑢) = (𝐹𝑦))
2927, 28oveqan12rd 6710 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 = 𝑦𝑣 = 𝑧) → ((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢)) = ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)))
3029fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 = 𝑦𝑣 = 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢))) = (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))))
3130breq1d 4695 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 = 𝑦𝑣 = 𝑧) → ((abs‘((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
3226, 31imbi12d 333 . . . . . . . . 9 ((𝑢 = 𝑦𝑣 = 𝑧) → (((abs‘(𝑣𝑢)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒)))
33 oveq12 6699 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣 = 𝑦𝑢 = 𝑧) → (𝑣𝑢) = (𝑦𝑧))
3433ancoms 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 = 𝑧𝑣 = 𝑦) → (𝑣𝑢) = (𝑦𝑧))
3534fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 = 𝑧𝑣 = 𝑦) → (abs‘(𝑣𝑢)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
3635breq1d 4695 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 = 𝑧𝑣 = 𝑦) → ((abs‘(𝑣𝑢)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑒))
37 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑦 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑦))
38 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑧 → (𝐹𝑢) = (𝐹𝑧))
3937, 38oveqan12rd 6710 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 = 𝑧𝑣 = 𝑦) → ((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢)) = ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧)))
4039fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 = 𝑧𝑣 = 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢))) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))))
4140breq1d 4695 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 = 𝑧𝑣 = 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑒))
4236, 41imbi12d 333 . . . . . . . . 9 ((𝑢 = 𝑧𝑣 = 𝑦) → (((abs‘(𝑣𝑢)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑒)))
43 ssid 3657 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ
4443a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ℝ ⊆ ℝ)
45 recn 10064 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
46 recn 10064 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
47 abssub 14110 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
4845, 46, 47syl2anr 494 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
4948adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
5049breq1d 4695 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑒))
5121adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
52 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
53 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
5452, 53anim12dan 900 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℝ))
5551, 54sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℝ))
56 recn 10064 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑧) ∈ ℝ → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
57 recn 10064 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑦) ∈ ℝ → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
58 abssub 14110 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑦) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))))
5956, 57, 58syl2anr 494 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℝ) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))))
6055, 59syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))))
6160breq1d 4695 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑒))
6250, 61imbi12d 333 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑒)))
63 simpr2 1088 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
64 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → (𝐵[,]𝑥) = (𝐵[,]𝑧))
6564ineq2d 3847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) = (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)))
6665fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
67 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ∈ V
6866, 20, 67fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ → (𝐹𝑧) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
6963, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑧) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
70 simplll 813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐴 ∈ dom vol)
71 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
7271adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐵 ∈ ℝ)
73 iccmbl 23380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑧) ∈ dom vol)
7472, 63, 73syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) ∈ dom vol)
75 inmbl 23356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐵[,]𝑧) ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∈ dom vol)
7670, 74, 75syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∈ dom vol)
77 mblvol 23344 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
7969, 78eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑧) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
80 simpr1 1087 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑦 ∈ ℝ)
81 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵[,]𝑥) = (𝐵[,]𝑦))
8281ineq2d 3847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) = (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)))
8382fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
84 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ∈ V
8583, 20, 84fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹𝑦) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
8680, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑦) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
87 simp1 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ)
88 iccmbl 23380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑦) ∈ dom vol)
8971, 87, 88syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐵[,]𝑦) ∈ dom vol)
90 inmbl 23356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐵[,]𝑦) ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∈ dom vol)
9170, 89, 90syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∈ dom vol)
92 mblvol 23344 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
9486, 93eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑦) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
9579, 94oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) = ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) − (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)))))
9651adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
9796, 63ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
9879, 97eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ∈ ℝ)
9972leidd 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐵𝐵)
100 simpr3 1089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑦𝑧)
101 iccss 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝐵𝐵𝑦𝑧)) → (𝐵[,]𝑦) ⊆ (𝐵[,]𝑧))
10272, 63, 99, 100, 101syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐵[,]𝑦) ⊆ (𝐵[,]𝑧))
103 sslin 3872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵[,]𝑦) ⊆ (𝐵[,]𝑧) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)))
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)))
105 mblss 23345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∈ dom vol → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ℝ)
10676, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ℝ)
107104, 106sstrd 3646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ ℝ)
108 iccssre 12293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ)
10980, 63, 108syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ)
110107, 109unssd 3822 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ ℝ)
11196, 80ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
11294, 111eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ∈ ℝ)
11363, 80resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝑧𝑦) ∈ ℝ)
114112, 113readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧𝑦)) ∈ ℝ)
115 ovolicc 23337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧𝑦))
116115adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧𝑦))
117116, 113eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) ∈ ℝ)
118 ovolun 23313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ∈ ℝ) ∧ ((𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) ∈ ℝ)) → (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (vol*‘(𝑦[,]𝑧))))
119107, 112, 109, 117, 118syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (vol*‘(𝑦[,]𝑧))))
120116oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (vol*‘(𝑦[,]𝑧))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧𝑦)))
121119, 120breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧𝑦)))
122 ovollecl 23297 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ ℝ ∧ ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧𝑦)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧𝑦))) → (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ∈ ℝ)
123110, 114, 121, 122syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ∈ ℝ)
12472adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ)
12563adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → 𝑧 ∈ ℝ)
12680adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
127 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → 𝐵𝑦)
128100adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → 𝑦𝑧)
129 simp2 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
130 elicc2 12276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑦𝑦𝑧)))
13171, 129, 130syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑦𝑦𝑧)))
132131adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑦𝑦𝑧)))
133126, 127, 128, 132mpbir3and 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧))
134 iccsplit 12343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) = ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
135124, 125, 133, 134syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → (𝐵[,]𝑧) = ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
136 eqimss 3690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵[,]𝑧) = ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
13880adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
13963adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
140 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
141139leidd 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑧𝑧)
142 iccss 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧))
143138, 139, 140, 141, 142syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧))
144 ssun4 3812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵[,]𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
145143, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
14672, 80, 137, 145lecasei 10181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
147 sslin 3872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ (𝐴 ∩ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧))))
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ (𝐴 ∩ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧))))
149 indi 3906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∩ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧))) = ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧)))
150 inss2 3867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ (𝑦[,]𝑧)
151 unss2 3817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ (𝑦[,]𝑧) → ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧))) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
152150, 151ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧))) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))
153149, 152eqsstri 3668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∩ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))
154148, 153syl6ss 3648 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
155 ovolss 23299 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ≤ (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))))
156154, 110, 155syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ≤ (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))))
15798, 123, 114, 156, 121letrd 10232 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧𝑦)))
15898, 112, 113lesubadd2d 10664 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) − (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)))) ≤ (𝑧𝑦) ↔ (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧𝑦))))
159157, 158mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) − (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)))) ≤ (𝑧𝑦))
16095, 159eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) ≤ (𝑧𝑦))
16197, 111resubcld 10496 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) ∈ ℝ)
162 simplr 807 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
163162rpred 11910 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑒 ∈ ℝ)
164 lelttr 10166 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) ≤ (𝑧𝑦) ∧ (𝑧𝑦) < 𝑒) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) < 𝑒))
165161, 113, 163, 164syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) ≤ (𝑧𝑦) ∧ (𝑧𝑦) < 𝑒) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) < 𝑒))
166160, 165mpand 711 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((𝑧𝑦) < 𝑒 → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) < 𝑒))
167 abssubge0 14111 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (𝑧𝑦))
168167adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (𝑧𝑦))
169168breq1d 4695 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 ↔ (𝑧𝑦) < 𝑒))
170 ovolss 23299 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∧ (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ≤ (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
171104, 106, 170syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ≤ (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
172171, 94, 793brtr4d 4717 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑧))
173111, 97, 172abssubge0d 14214 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) = ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)))
174173breq1d 4695 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒 ↔ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) < 𝑒))
175166, 169, 1743imtr4d 283 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
17632, 42, 44, 62, 175wlogle 10599 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
177176anassrs 681 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
178177ralrimiva 2995 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
179178anasss 680 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
180179ancom2s 861 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
181 breq2 4689 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑒 → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒))
182181imbi1d 330 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑒 → (((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒)))
183182ralbidv 3015 . . . . 5 (𝑑 = 𝑒 → (∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒)))
184183rspcev 3340 . . . 4 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
18522, 180, 184syl2anc 694 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
186185ralrimivva 3000 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
187 ax-resscn 10031 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
188 elcncf2 22740 . . 3 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))))
189187, 187, 188mp2an 708 . 2 (𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒)))
19021, 186, 189sylanbrc 699 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   ∪ cun 3605   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  dom cdm 5143  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973   + caddc 9977   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304  ℝ+crp 11870  [,]cicc 12216  abscabs 14018  –cn→ccncf 22726  vol*covol 23277  volcvol 23278 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cmp 21238  df-cncf 22728  df-ovol 23279  df-vol 23280 This theorem is referenced by:  volivth  23421
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