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Theorem volcn 23420
Description: The function formed by restricting a measurable set to a closed interval with a varying endpoint produces an increasing continuous function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
volcn.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))))
Assertion
Ref Expression
volcn ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem volcn
Dummy variables 𝑢 𝑒 𝑣 𝑦 𝑧 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 805 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
2 iccmbl 23380 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol)
32adantll 750 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol)
4 inmbl 23356 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ∈ dom vol)
51, 3, 4syl2anc 694 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ∈ dom vol)
6 mblvol 23344 . . . . 5 ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))))
75, 6syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))))
8 inss2 3867 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ⊆ (𝐵[,]𝑥)
98a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ⊆ (𝐵[,]𝑥))
10 mblss 23345 . . . . . 6 ((𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol → (𝐵[,]𝑥) ⊆ ℝ)
113, 10syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑥) ⊆ ℝ)
12 mblvol 23344 . . . . . . 7 ((𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol → (vol‘(𝐵[,]𝑥)) = (vol*‘(𝐵[,]𝑥)))
133, 12syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐵[,]𝑥)) = (vol*‘(𝐵[,]𝑥)))
14 iccvolcl 23381 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐵[,]𝑥)) ∈ ℝ)
1514adantll 750 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐵[,]𝑥)) ∈ ℝ)
1613, 15eqeltrrd 2731 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐵[,]𝑥)) ∈ ℝ)
17 ovolsscl 23300 . . . . 5 (((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ⊆ (𝐵[,]𝑥) ∧ (𝐵[,]𝑥) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐵[,]𝑥)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) ∈ ℝ)
189, 11, 16, 17syl3anc 1366 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) ∈ ℝ)
197, 18eqeltrd 2730 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) ∈ ℝ)
20 volcn.1 . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))))
2119, 20fmptd 6425 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
22 simprr 811 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
23 oveq12 6699 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣 = 𝑧𝑢 = 𝑦) → (𝑣𝑢) = (𝑧𝑦))
2423ancoms 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 = 𝑦𝑣 = 𝑧) → (𝑣𝑢) = (𝑧𝑦))
2524fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 = 𝑦𝑣 = 𝑧) → (abs‘(𝑣𝑢)) = (abs‘(𝑧𝑦)))
2625breq1d 4695 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 = 𝑦𝑣 = 𝑧) → ((abs‘(𝑣𝑢)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒))
27 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑧 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑧))
28 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑦 → (𝐹𝑢) = (𝐹𝑦))
2927, 28oveqan12rd 6710 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 = 𝑦𝑣 = 𝑧) → ((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢)) = ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)))
3029fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 = 𝑦𝑣 = 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢))) = (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))))
3130breq1d 4695 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 = 𝑦𝑣 = 𝑧) → ((abs‘((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
3226, 31imbi12d 333 . . . . . . . . 9 ((𝑢 = 𝑦𝑣 = 𝑧) → (((abs‘(𝑣𝑢)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒)))
33 oveq12 6699 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣 = 𝑦𝑢 = 𝑧) → (𝑣𝑢) = (𝑦𝑧))
3433ancoms 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 = 𝑧𝑣 = 𝑦) → (𝑣𝑢) = (𝑦𝑧))
3534fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 = 𝑧𝑣 = 𝑦) → (abs‘(𝑣𝑢)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
3635breq1d 4695 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 = 𝑧𝑣 = 𝑦) → ((abs‘(𝑣𝑢)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑒))
37 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑦 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑦))
38 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑧 → (𝐹𝑢) = (𝐹𝑧))
3937, 38oveqan12rd 6710 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 = 𝑧𝑣 = 𝑦) → ((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢)) = ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧)))
4039fveq2d 6233 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 = 𝑧𝑣 = 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢))) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))))
4140breq1d 4695 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 = 𝑧𝑣 = 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑒))
4236, 41imbi12d 333 . . . . . . . . 9 ((𝑢 = 𝑧𝑣 = 𝑦) → (((abs‘(𝑣𝑢)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑒)))
43 ssid 3657 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ
4443a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ℝ ⊆ ℝ)
45 recn 10064 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
46 recn 10064 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
47 abssub 14110 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
4845, 46, 47syl2anr 494 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
4948adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
5049breq1d 4695 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑒))
5121adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
52 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
53 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
5452, 53anim12dan 900 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℝ))
5551, 54sylan 487 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℝ))
56 recn 10064 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑧) ∈ ℝ → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
57 recn 10064 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑦) ∈ ℝ → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
58 abssub 14110 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑦) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))))
5956, 57, 58syl2anr 494 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℝ) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))))
6055, 59syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))))
6160breq1d 4695 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑒))
6250, 61imbi12d 333 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑒)))
63 simpr2 1088 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
64 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → (𝐵[,]𝑥) = (𝐵[,]𝑧))
6564ineq2d 3847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) = (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)))
6665fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
67 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ∈ V
6866, 20, 67fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ → (𝐹𝑧) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
6963, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑧) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
70 simplll 813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐴 ∈ dom vol)
71 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
7271adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐵 ∈ ℝ)
73 iccmbl 23380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑧) ∈ dom vol)
7472, 63, 73syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) ∈ dom vol)
75 inmbl 23356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐵[,]𝑧) ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∈ dom vol)
7670, 74, 75syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∈ dom vol)
77 mblvol 23344 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
7969, 78eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑧) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
80 simpr1 1087 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑦 ∈ ℝ)
81 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵[,]𝑥) = (𝐵[,]𝑦))
8281ineq2d 3847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) = (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)))
8382fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
84 fvex 6239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ∈ V
8583, 20, 84fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹𝑦) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
8680, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑦) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
87 simp1 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ)
88 iccmbl 23380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑦) ∈ dom vol)
8971, 87, 88syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐵[,]𝑦) ∈ dom vol)
90 inmbl 23356 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐵[,]𝑦) ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∈ dom vol)
9170, 89, 90syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∈ dom vol)
92 mblvol 23344 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
9486, 93eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑦) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
9579, 94oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) = ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) − (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)))))
9651adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
9796, 63ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
9879, 97eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ∈ ℝ)
9972leidd 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐵𝐵)
100 simpr3 1089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑦𝑧)
101 iccss 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝐵𝐵𝑦𝑧)) → (𝐵[,]𝑦) ⊆ (𝐵[,]𝑧))
10272, 63, 99, 100, 101syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐵[,]𝑦) ⊆ (𝐵[,]𝑧))
103 sslin 3872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵[,]𝑦) ⊆ (𝐵[,]𝑧) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)))
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)))
105 mblss 23345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∈ dom vol → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ℝ)
10676, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ℝ)
107104, 106sstrd 3646 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ ℝ)
108 iccssre 12293 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ)
10980, 63, 108syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ)
110107, 109unssd 3822 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ ℝ)
11196, 80ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
11294, 111eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ∈ ℝ)
11363, 80resubcld 10496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝑧𝑦) ∈ ℝ)
114112, 113readdcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧𝑦)) ∈ ℝ)
115 ovolicc 23337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧𝑦))
116115adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧𝑦))
117116, 113eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) ∈ ℝ)
118 ovolun 23313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ∈ ℝ) ∧ ((𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) ∈ ℝ)) → (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (vol*‘(𝑦[,]𝑧))))
119107, 112, 109, 117, 118syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (vol*‘(𝑦[,]𝑧))))
120116oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (vol*‘(𝑦[,]𝑧))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧𝑦)))
121119, 120breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧𝑦)))
122 ovollecl 23297 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ ℝ ∧ ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧𝑦)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧𝑦))) → (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ∈ ℝ)
123110, 114, 121, 122syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ∈ ℝ)
12472adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ)
12563adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → 𝑧 ∈ ℝ)
12680adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
127 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → 𝐵𝑦)
128100adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → 𝑦𝑧)
129 simp2 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
130 elicc2 12276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑦𝑦𝑧)))
13171, 129, 130syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑦𝑦𝑧)))
132131adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑦𝑦𝑧)))
133126, 127, 128, 132mpbir3and 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧))
134 iccsplit 12343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) = ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
135124, 125, 133, 134syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → (𝐵[,]𝑧) = ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
136 eqimss 3690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵[,]𝑧) = ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
13880adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
13963adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
140 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
141139leidd 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑧𝑧)
142 iccss 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧))
143138, 139, 140, 141, 142syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧))
144 ssun4 3812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵[,]𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
145143, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
14672, 80, 137, 145lecasei 10181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
147 sslin 3872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ (𝐴 ∩ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧))))
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ (𝐴 ∩ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧))))
149 indi 3906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∩ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧))) = ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧)))
150 inss2 3867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ (𝑦[,]𝑧)
151 unss2 3817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ (𝑦[,]𝑧) → ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧))) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
152150, 151ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧))) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))
153149, 152eqsstri 3668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∩ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))
154148, 153syl6ss 3648 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
155 ovolss 23299 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ≤ (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))))
156154, 110, 155syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ≤ (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))))
15798, 123, 114, 156, 121letrd 10232 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧𝑦)))
15898, 112, 113lesubadd2d 10664 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) − (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)))) ≤ (𝑧𝑦) ↔ (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧𝑦))))
159157, 158mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) − (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)))) ≤ (𝑧𝑦))
16095, 159eqbrtrd 4707 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) ≤ (𝑧𝑦))
16197, 111resubcld 10496 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) ∈ ℝ)
162 simplr 807 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
163162rpred 11910 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑒 ∈ ℝ)
164 lelttr 10166 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) ≤ (𝑧𝑦) ∧ (𝑧𝑦) < 𝑒) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) < 𝑒))
165161, 113, 163, 164syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) ≤ (𝑧𝑦) ∧ (𝑧𝑦) < 𝑒) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) < 𝑒))
166160, 165mpand 711 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((𝑧𝑦) < 𝑒 → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) < 𝑒))
167 abssubge0 14111 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (𝑧𝑦))
168167adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (𝑧𝑦))
169168breq1d 4695 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 ↔ (𝑧𝑦) < 𝑒))
170 ovolss 23299 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∧ (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ≤ (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
171104, 106, 170syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ≤ (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
172171, 94, 793brtr4d 4717 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑧))
173111, 97, 172abssubge0d 14214 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) = ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)))
174173breq1d 4695 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒 ↔ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) < 𝑒))
175166, 169, 1743imtr4d 283 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
17632, 42, 44, 62, 175wlogle 10599 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
177176anassrs 681 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
178177ralrimiva 2995 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
179178anasss 680 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
180179ancom2s 861 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
181 breq2 4689 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑒 → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒))
182181imbi1d 330 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑒 → (((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒)))
183182ralbidv 3015 . . . . 5 (𝑑 = 𝑒 → (∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒)))
184183rspcev 3340 . . . 4 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
18522, 180, 184syl2anc 694 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
186185ralrimivva 3000 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
187 ax-resscn 10031 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
188 elcncf2 22740 . . 3 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))))
189187, 187, 188mp2an 708 . 2 (𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒)))
19021, 186, 189sylanbrc 699 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  cun 3605  cin 3606  wss 3607   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  +crp 11870  [,]cicc 12216  abscabs 14018  cnccncf 22726  vol*covol 23277  volcvol 23278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cmp 21238  df-cncf 22728  df-ovol 23279  df-vol 23280
This theorem is referenced by:  volivth  23421
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