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Theorem volcn 23275
Description: The function formed by restricting a measurable set to a closed interval with a varying endpoint produces an increasing continuous function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
volcn.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))))
Assertion
Ref Expression
volcn ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem volcn
Dummy variables 𝑢 𝑒 𝑣 𝑦 𝑧 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 789 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ dom vol)
2 iccmbl 23236 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol)
32adantll 749 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol)
4 inmbl 23212 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ∈ dom vol)
51, 3, 4syl2anc 692 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ∈ dom vol)
6 mblvol 23200 . . . . 5 ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))))
75, 6syl 17 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))))
8 inss2 3817 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ⊆ (𝐵[,]𝑥)
98a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ⊆ (𝐵[,]𝑥))
10 mblss 23201 . . . . . 6 ((𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol → (𝐵[,]𝑥) ⊆ ℝ)
113, 10syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑥) ⊆ ℝ)
12 mblvol 23200 . . . . . . 7 ((𝐵[,]𝑥) ∈ dom vol → (vol‘(𝐵[,]𝑥)) = (vol*‘(𝐵[,]𝑥)))
133, 12syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐵[,]𝑥)) = (vol*‘(𝐵[,]𝑥)))
14 iccvolcl 23237 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐵[,]𝑥)) ∈ ℝ)
1514adantll 749 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐵[,]𝑥)) ∈ ℝ)
1613, 15eqeltrrd 2705 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐵[,]𝑥)) ∈ ℝ)
17 ovolsscl 23156 . . . . 5 (((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) ⊆ (𝐵[,]𝑥) ∧ (𝐵[,]𝑥) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐵[,]𝑥)) ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) ∈ ℝ)
189, 11, 16, 17syl3anc 1323 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) ∈ ℝ)
197, 18eqeltrd 2704 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) ∈ ℝ)
20 volcn.1 . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))))
2119, 20fmptd 6341 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
22 simprr 795 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
23 oveq12 6614 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣 = 𝑧𝑢 = 𝑦) → (𝑣𝑢) = (𝑧𝑦))
2423ancoms 469 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 = 𝑦𝑣 = 𝑧) → (𝑣𝑢) = (𝑧𝑦))
2524fveq2d 6154 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 = 𝑦𝑣 = 𝑧) → (abs‘(𝑣𝑢)) = (abs‘(𝑧𝑦)))
2625breq1d 4628 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 = 𝑦𝑣 = 𝑧) → ((abs‘(𝑣𝑢)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒))
27 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑧 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑧))
28 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑦 → (𝐹𝑢) = (𝐹𝑦))
2927, 28oveqan12rd 6625 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 = 𝑦𝑣 = 𝑧) → ((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢)) = ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)))
3029fveq2d 6154 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 = 𝑦𝑣 = 𝑧) → (abs‘((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢))) = (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))))
3130breq1d 4628 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 = 𝑦𝑣 = 𝑧) → ((abs‘((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
3226, 31imbi12d 334 . . . . . . . . 9 ((𝑢 = 𝑦𝑣 = 𝑧) → (((abs‘(𝑣𝑢)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒)))
33 oveq12 6614 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑣 = 𝑦𝑢 = 𝑧) → (𝑣𝑢) = (𝑦𝑧))
3433ancoms 469 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 = 𝑧𝑣 = 𝑦) → (𝑣𝑢) = (𝑦𝑧))
3534fveq2d 6154 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 = 𝑧𝑣 = 𝑦) → (abs‘(𝑣𝑢)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
3635breq1d 4628 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 = 𝑧𝑣 = 𝑦) → ((abs‘(𝑣𝑢)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑒))
37 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑦 → (𝐹𝑣) = (𝐹𝑦))
38 fveq2 6150 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑧 → (𝐹𝑢) = (𝐹𝑧))
3937, 38oveqan12rd 6625 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢 = 𝑧𝑣 = 𝑦) → ((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢)) = ((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧)))
4039fveq2d 6154 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢 = 𝑧𝑣 = 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢))) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))))
4140breq1d 4628 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 = 𝑧𝑣 = 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑒))
4236, 41imbi12d 334 . . . . . . . . 9 ((𝑢 = 𝑧𝑣 = 𝑦) → (((abs‘(𝑣𝑢)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑣) − (𝐹𝑢))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑒)))
43 ssid 3608 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℝ
4443a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ℝ ⊆ ℝ)
45 recn 9971 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
46 recn 9971 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
47 abssub 13995 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
4845, 46, 47syl2anr 495 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
4948adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (abs‘(𝑦𝑧)))
5049breq1d 4628 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑒))
5121adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
52 ffvelrn 6314 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
53 ffvelrn 6314 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
5452, 53anim12dan 881 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℝ))
5551, 54sylan 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℝ))
56 recn 9971 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑧) ∈ ℝ → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
57 recn 9971 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹𝑦) ∈ ℝ → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
58 abssub 13995 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑧) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑦) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))))
5956, 57, 58syl2anr 495 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℝ) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))))
6055, 59syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))))
6160breq1d 4628 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒 ↔ (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑒))
6250, 61imbi12d 334 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑦𝑧)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝑧))) < 𝑒)))
63 simpr2 1066 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
64 oveq2 6613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑧 → (𝐵[,]𝑥) = (𝐵[,]𝑧))
6564ineq2d 3797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑧 → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) = (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)))
6665fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑧 → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
67 fvex 6160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ∈ V
6866, 20, 67fvmpt 6240 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ → (𝐹𝑧) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
6963, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑧) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
70 simplll 797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐴 ∈ dom vol)
71 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
7271adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐵 ∈ ℝ)
73 iccmbl 23236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑧) ∈ dom vol)
7472, 63, 73syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) ∈ dom vol)
75 inmbl 23212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐵[,]𝑧) ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∈ dom vol)
7670, 74, 75syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∈ dom vol)
77 mblvol 23200 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
7876, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
7969, 78eqtrd 2660 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑧) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
80 simpr1 1065 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑦 ∈ ℝ)
81 oveq2 6613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵[,]𝑥) = (𝐵[,]𝑦))
8281ineq2d 3797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥)) = (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)))
8382fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑥))) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
84 fvex 6160 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ∈ V
8583, 20, 84fvmpt 6240 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ → (𝐹𝑦) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
8680, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑦) = (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
87 simp1 1059 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) → 𝑦 ∈ ℝ)
88 iccmbl 23236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐵[,]𝑦) ∈ dom vol)
8971, 87, 88syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐵[,]𝑦) ∈ dom vol)
90 inmbl 23212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ (𝐵[,]𝑦) ∈ dom vol) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∈ dom vol)
9170, 89, 90syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∈ dom vol)
92 mblvol 23200 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∈ dom vol → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
9486, 93eqtrd 2660 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑦) = (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))))
9579, 94oveq12d 6623 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) = ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) − (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)))))
9651adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
9796, 63ffvelrnd 6317 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
9879, 97eqeltrrd 2705 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ∈ ℝ)
9972leidd 10539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝐵𝐵)
100 simpr3 1067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑦𝑧)
101 iccss 12180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝐵𝐵𝑦𝑧)) → (𝐵[,]𝑦) ⊆ (𝐵[,]𝑧))
10272, 63, 99, 100, 101syl22anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐵[,]𝑦) ⊆ (𝐵[,]𝑧))
103 sslin 3822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵[,]𝑦) ⊆ (𝐵[,]𝑧) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)))
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)))
105 mblss 23201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∈ dom vol → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ℝ)
10676, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ℝ)
107104, 106sstrd 3598 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ ℝ)
108 iccssre 12194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ)
10980, 63, 108syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ)
110107, 109unssd 3772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ ℝ)
11196, 80ffvelrnd 6317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
11294, 111eqeltrrd 2705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ∈ ℝ)
11363, 80resubcld 10403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝑧𝑦) ∈ ℝ)
114112, 113readdcld 10014 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧𝑦)) ∈ ℝ)
115 ovolicc 23193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧𝑦))
116115adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) = (𝑧𝑦))
117116, 113eqeltrd 2704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) ∈ ℝ)
118 ovolun 23169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ∈ ℝ) ∧ ((𝑦[,]𝑧) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝑦[,]𝑧)) ∈ ℝ)) → (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (vol*‘(𝑦[,]𝑧))))
119107, 112, 109, 117, 118syl22anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (vol*‘(𝑦[,]𝑧))))
120116oveq2d 6621 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (vol*‘(𝑦[,]𝑧))) = ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧𝑦)))
121119, 120breqtrd 4644 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧𝑦)))
122 ovollecl 23153 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ ℝ ∧ ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧𝑦)) ∈ ℝ ∧ (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧𝑦))) → (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ∈ ℝ)
123110, 114, 121, 122syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ∈ ℝ)
12472adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ)
12563adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → 𝑧 ∈ ℝ)
12680adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
127 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → 𝐵𝑦)
128100adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → 𝑦𝑧)
129 simp2 1060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) → 𝑧 ∈ ℝ)
130 elicc2 12177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑦𝑦𝑧)))
13171, 129, 130syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑦𝑦𝑧)))
132131adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑦𝑦𝑧)))
133126, 127, 128, 132mpbir3and 1243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧))
134 iccsplit 12244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (𝐵[,]𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) = ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
135124, 125, 133, 134syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → (𝐵[,]𝑧) = ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
136 eqimss 3641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵[,]𝑧) = ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝐵𝑦) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
13880adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
13963adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑧 ∈ ℝ)
140 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑦𝐵)
141139leidd 10539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦𝐵) → 𝑧𝑧)
142 iccss 12180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑦𝐵𝑧𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧))
143138, 139, 140, 141, 142syl22anc 1324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧))
144 ssun4 3762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵[,]𝑧) ⊆ (𝑦[,]𝑧) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
145143, 144syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
14672, 80, 137, 145lecasei 10088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
147 sslin 3822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵[,]𝑧) ⊆ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ (𝐴 ∩ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧))))
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ (𝐴 ∩ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧))))
149 indi 3854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∩ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧))) = ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧)))
150 inss2 3817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ (𝑦[,]𝑧)
151 unss2 3767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ (𝑦[,]𝑧) → ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧))) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
152150, 151ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝐴 ∩ (𝑦[,]𝑧))) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))
153149, 152eqsstri 3619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∩ ((𝐵[,]𝑦) ∪ (𝑦[,]𝑧))) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))
154148, 153syl6ss 3600 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)))
155 ovolss 23155 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)) ∧ ((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧)) ⊆ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ≤ (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))))
156154, 110, 155syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ≤ (vol*‘((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ∪ (𝑦[,]𝑧))))
15798, 123, 114, 156, 121letrd 10139 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧𝑦)))
15898, 112, 113lesubadd2d 10571 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) − (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)))) ≤ (𝑧𝑦) ↔ (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) ≤ ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) + (𝑧𝑦))))
159157, 158mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))) − (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)))) ≤ (𝑧𝑦))
16095, 159eqbrtrd 4640 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) ≤ (𝑧𝑦))
16197, 111resubcld 10403 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) ∈ ℝ)
162 simplr 791 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑒 ∈ ℝ+)
163162rpred 11816 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → 𝑒 ∈ ℝ)
164 lelttr 10073 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) ∈ ℝ ∧ (𝑧𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) ≤ (𝑧𝑦) ∧ (𝑧𝑦) < 𝑒) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) < 𝑒))
165161, 113, 163, 164syl3anc 1323 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) ≤ (𝑧𝑦) ∧ (𝑧𝑦) < 𝑒) → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) < 𝑒))
166160, 165mpand 710 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((𝑧𝑦) < 𝑒 → ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) < 𝑒))
167 abssubge0 13996 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (𝑧𝑦))
168167adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (abs‘(𝑧𝑦)) = (𝑧𝑦))
169168breq1d 4628 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 ↔ (𝑧𝑦) < 𝑒))
170 ovolss 23155 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦)) ⊆ (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ∧ (𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧)) ⊆ ℝ) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ≤ (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
171104, 106, 170syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑦))) ≤ (vol*‘(𝐴 ∩ (𝐵[,]𝑧))))
172171, 94, 793brtr4d 4650 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (𝐹𝑦) ≤ (𝐹𝑧))
173111, 97, 172abssubge0d 14099 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) = ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)))
174173breq1d 4628 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒 ↔ ((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦)) < 𝑒))
175166, 169, 1743imtr4d 283 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦𝑧)) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
17632, 42, 44, 62, 175wlogle 10506 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
177176anassrs 679 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
178177ralrimiva 2965 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
179178anasss 678 . . . . 5 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑒 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
180179ancom2s 843 . . . 4 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
181 breq2 4622 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝑒 → ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒))
182181imbi1d 331 . . . . . 6 (𝑑 = 𝑒 → (((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒) ↔ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒)))
183182ralbidv 2985 . . . . 5 (𝑑 = 𝑒 → (∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒)))
184183rspcev 3300 . . . 4 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
18522, 180, 184syl2anc 692 . . 3 (((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
186185ralrimivva 2970 . 2 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))
187 ax-resscn 9938 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
188 elcncf2 22596 . . 3 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒))))
189187, 187, 188mp2an 707 . 2 (𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ) ↔ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ((abs‘(𝑧𝑦)) < 𝑑 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹𝑦))) < 𝑒)))
19021, 186, 189sylanbrc 697 1 ((𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  wrex 2913  cun 3558  cin 3559  wss 3560   class class class wbr 4618  cmpt 4678  dom cdm 5079  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  cr 9880   + caddc 9884   < clt 10019  cle 10020  cmin 10211  +crp 11776  [,]cicc 12117  abscabs 13903  cnccncf 22582  vol*covol 23133  volcvol 23134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12118  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-clim 14148  df-rlim 14149  df-sum 14346  df-rest 15999  df-topgen 16020  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-cmp 21095  df-cncf 22584  df-ovol 23135  df-vol 23136
This theorem is referenced by:  volivth  23276
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