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Theorem zlmodzxznm 41600
Description: Example of a linearly dependent set whose elements are not linear combinations of the others, see note in [Roman] p. 112). (Contributed by AV, 23-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzequa.z 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
zlmodzxzequa.o 0 = {⟨0, 0⟩, ⟨1, 0⟩}
zlmodzxzequa.t = ( ·𝑠𝑍)
zlmodzxzequa.m = (-g𝑍)
zlmodzxzequa.a 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
zlmodzxzequa.b 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
Assertion
Ref Expression
zlmodzxznm 𝑖 ∈ ℤ ((𝑖 𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖 𝐵) ≠ 𝐴)

Proof of Theorem zlmodzxznm
StepHypRef Expression
1 3prm 15341 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℙ
2 2prm 15340 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℙ
3 ztprmneprm 41439 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((𝑖 · 3) = 2 → 3 = 2))
41, 2, 3mp3an23 1413 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℤ → ((𝑖 · 3) = 2 → 3 = 2))
5 2re 11042 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
6 2lt3 11147 . . . . . . . . . . . . . 14 2 < 3
75, 6ltneii 10102 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 3
8 eqneqall 2801 . . . . . . . . . . . . 13 (2 = 3 → (2 ≠ 3 → (𝑖 · 3) ≠ 2))
97, 8mpi 20 . . . . . . . . . . . 12 (2 = 3 → (𝑖 · 3) ≠ 2)
109eqcoms 2629 . . . . . . . . . . 11 (3 = 2 → (𝑖 · 3) ≠ 2)
114, 10syl6com 37 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 · 3) = 2 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 3) ≠ 2))
12 ax-1 6 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 · 3) ≠ 2 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 3) ≠ 2))
1311, 12pm2.61ine 2873 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 3) ≠ 2)
1413olcd 408 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 2))
15 c0ex 9986 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
16 ovex 6638 . . . . . . . . . 10 (𝑖 · 3) ∈ V
1715, 16pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 (0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V)
18 opthneg 4915 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 2)))
1917, 18mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 2)))
2014, 19mpbird 247 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩)
21 0ne1 11040 . . . . . . . . . 10 0 ≠ 1
2221a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℤ → 0 ≠ 1)
2322orcd 407 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 4))
24 opthneg 4915 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 4)))
2517, 24mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ 4)))
2623, 25mpbird 247 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)
2720, 26jca 554 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))
2827orcd 407 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℤ → ((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)))
29 opex 4898 . . . . . . . 8 ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V
30 opex 4898 . . . . . . . 8 ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V
3129, 30pm3.2i 471 . . . . . . 7 (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V)
3231a1i 11 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V))
33 opex 4898 . . . . . . . 8 ⟨0, 2⟩ ∈ V
34 opex 4898 . . . . . . . 8 ⟨1, 4⟩ ∈ V
3533, 34pm3.2i 471 . . . . . . 7 (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V)
3635a1i 11 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V))
3722orcd 407 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ (𝑖 · 6)))
38 opthneg 4915 . . . . . . . 8 ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 3) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ (𝑖 · 6))))
3917, 38mp1i 13 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 3) ≠ (𝑖 · 6))))
4037, 39mpbird 247 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩)
41 prnebg 4362 . . . . . . 7 (((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩) → (((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩)) ↔ {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}))
4241bicomd 213 . . . . . 6 (((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 2⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 4⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩) → ({⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))))
4332, 36, 40, 42syl3anc 1323 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℤ → ({⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 3)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨0, 2⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 6)⟩ ≠ ⟨1, 4⟩))))
4428, 43mpbird 247 . . . 4 (𝑖 ∈ ℤ → {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩} ≠ {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
45 zlmodzxzequa.a . . . . . 6 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}
4645oveq2i 6621 . . . . 5 (𝑖 𝐴) = (𝑖 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
47 3z 11362 . . . . . 6 3 ∈ ℤ
48 6nn 11141 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ
4948nnzi 11353 . . . . . 6 6 ∈ ℤ
50 zlmodzxzequa.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤring freeLMod {0, 1})
51 zlmodzxzequa.t . . . . . . 7 = ( ·𝑠𝑍)
5250, 51zlmodzxzscm 41449 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (𝑖 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩})
5347, 49, 52mp3an23 1413 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩})
5446, 53syl5eq 2667 . . . 4 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 𝐴) = {⟨0, (𝑖 · 3)⟩, ⟨1, (𝑖 · 6)⟩})
55 zlmodzxzequa.b . . . . 5 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}
5655a1i 11 . . . 4 (𝑖 ∈ ℤ → 𝐵 = {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
5744, 54, 563netr4d 2867 . . 3 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 𝐴) ≠ 𝐵)
58 ztprmneprm 41439 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 3 ∈ ℙ) → ((𝑖 · 2) = 3 → 2 = 3))
592, 1, 58mp3an23 1413 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ ℤ → ((𝑖 · 2) = 3 → 2 = 3))
60 eqneqall 2801 . . . . . . . . . . . 12 (2 = 3 → (2 ≠ 3 → (𝑖 · 2) ≠ 3))
617, 60mpi 20 . . . . . . . . . . 11 (2 = 3 → (𝑖 · 2) ≠ 3)
6259, 61syl6com 37 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 · 2) = 3 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ≠ 3))
63 ax-1 6 . . . . . . . . . 10 ((𝑖 · 2) ≠ 3 → (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ≠ 3))
6462, 63pm2.61ine 2873 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 2) ≠ 3)
6564olcd 408 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 3))
66 ovex 6638 . . . . . . . . . 10 (𝑖 · 2) ∈ V
6715, 66pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 (0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V)
68 opthneg 4915 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 3)))
6967, 68mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ↔ (0 ≠ 0 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 3)))
7065, 69mpbird 247 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩)
7122orcd 407 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 6))
72 opthneg 4915 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 6)))
7367, 72mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ 6)))
7471, 73mpbird 247 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩)
7570, 74jca 554 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩))
7675orcd 407 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℤ → ((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩)))
77 opex 4898 . . . . . . . 8 ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V
78 opex 4898 . . . . . . . 8 ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V
7977, 78pm3.2i 471 . . . . . . 7 (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V)
8079a1i 11 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V))
81 opex 4898 . . . . . . . 8 ⟨0, 3⟩ ∈ V
82 opex 4898 . . . . . . . 8 ⟨1, 6⟩ ∈ V
8381, 82pm3.2i 471 . . . . . . 7 (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V)
8483a1i 11 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V))
8522orcd 407 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ (𝑖 · 4)))
86 opthneg 4915 . . . . . . . 8 ((0 ∈ V ∧ (𝑖 · 2) ∈ V) → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ (𝑖 · 4))))
8767, 86mp1i 13 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ ℤ → (⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ↔ (0 ≠ 1 ∨ (𝑖 · 2) ≠ (𝑖 · 4))))
8885, 87mpbird 247 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ℤ → ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩)
89 prnebg 4362 . . . . . . 7 (((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩) → (((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩)) ↔ {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩}))
9089bicomd 213 . . . . . 6 (((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ∈ V ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ∈ V) ∧ (⟨0, 3⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 6⟩ ∈ V) ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩) → ({⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩))))
9180, 84, 88, 90syl3anc 1323 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℤ → ({⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩} ↔ ((⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨0, (𝑖 · 2)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩) ∨ (⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨0, 3⟩ ∧ ⟨1, (𝑖 · 4)⟩ ≠ ⟨1, 6⟩))))
9276, 91mpbird 247 . . . 4 (𝑖 ∈ ℤ → {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩} ≠ {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
9355oveq2i 6621 . . . . 5 (𝑖 𝐵) = (𝑖 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩})
94 2z 11361 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
95 4z 11363 . . . . . 6 4 ∈ ℤ
9650, 51zlmodzxzscm 41449 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝑖 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩})
9794, 95, 96mp3an23 1413 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 {⟨0, 2⟩, ⟨1, 4⟩}) = {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩})
9893, 97syl5eq 2667 . . . 4 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 𝐵) = {⟨0, (𝑖 · 2)⟩, ⟨1, (𝑖 · 4)⟩})
9945a1i 11 . . . 4 (𝑖 ∈ ℤ → 𝐴 = {⟨0, 3⟩, ⟨1, 6⟩})
10092, 98, 993netr4d 2867 . . 3 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 𝐵) ≠ 𝐴)
10157, 100jca 554 . 2 (𝑖 ∈ ℤ → ((𝑖 𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖 𝐵) ≠ 𝐴))
102101rgen 2917 1 𝑖 ∈ ℤ ((𝑖 𝐴) ≠ 𝐵 ∧ (𝑖 𝐵) ≠ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  Vcvv 3189  {cpr 4155  cop 4159  cfv 5852  (class class class)co 6610  0cc0 9888  1c1 9889   · cmul 9893  2c2 11022  3c3 11023  4c4 11024  6c6 11026  cz 11329  cprime 15320   ·𝑠 cvsca 15877  -gcsg 17356  ringzring 19750   freeLMod cfrlm 20022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-sup 8300  df-inf 8301  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-rp 11785  df-fz 12277  df-seq 12750  df-exp 12809  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-dvds 14919  df-prm 15321  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-0g 16034  df-prds 16040  df-pws 16042  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-grp 17357  df-minusg 17358  df-subg 17523  df-cmn 18127  df-mgp 18422  df-ur 18434  df-ring 18481  df-cring 18482  df-subrg 18710  df-sra 19104  df-rgmod 19105  df-cnfld 19679  df-zring 19751  df-dsmm 20008  df-frlm 20023
This theorem is referenced by:  ldepsnlinclem1  41608  ldepsnlinclem2  41609
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