Theorem abl32 13115

Description: Commutative/associative law for Abelian groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablcom.b	|- B = ( Base ` G )
ablcom.p	|- .+ = ( +g ` G )
abl32.g	|- ( ph -> G e. Abel )
abl32.x	|- ( ph -> X e. B )
abl32.y	|- ( ph -> Y e. B )
abl32.z	|- ( ph -> Z e. B )

Assertion

Ref	Expression
abl32	|- ( ph -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( ( X .+ Z ) .+ Y ) )

Proof of Theorem abl32

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abl32.g	. . 3 |- ( ph -> G e. Abel )
2		ablcmn 13100	. . 3 |- ( G e. Abel -> G e. CMnd )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> G e. CMnd )
4		abl32.x	. 2 |- ( ph -> X e. B )
5		abl32.y	. 2 |- ( ph -> Y e. B )
6		abl32.z	. 2 |- ( ph -> Z e. B )
7		ablcom.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
8		ablcom.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
9	7, 8	cmn32 13112	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( ( X .+ Z ) .+ Y ) )
10	3, 4, 5, 6, 9	syl13anc 1240	1 |- ( ph -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( ( X .+ Z ) .+ Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   Basecbs 12464   +g cplusg 12538  CMndccmn 13093   Abelcabl 13094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-ov 5880  df-inn 8922  df-2 8980  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-cmn 13095  df-abl 13096

This theorem is referenced by: (None)