Theorem abl32 13974

Description: Commutative/associative law for Abelian groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablcom.b	|- B = ( Base ` G )
ablcom.p	|- .+ = ( +g ` G )
abl32.g	|- ( ph -> G e. Abel )
abl32.x	|- ( ph -> X e. B )
abl32.y	|- ( ph -> Y e. B )
abl32.z	|- ( ph -> Z e. B )

Assertion

Ref	Expression
abl32	|- ( ph -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( ( X .+ Z ) .+ Y ) )

Proof of Theorem abl32

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abl32.g	. . 3 |- ( ph -> G e. Abel )
2		ablcmn 13958	. . 3 |- ( G e. Abel -> G e. CMnd )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> G e. CMnd )
4		abl32.x	. 2 |- ( ph -> X e. B )
5		abl32.y	. 2 |- ( ph -> Y e. B )
6		abl32.z	. 2 |- ( ph -> Z e. B )
7		ablcom.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
8		ablcom.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
9	7, 8	cmn32 13971	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( ( X .+ Z ) .+ Y ) )
10	3, 4, 5, 6, 9	syl13anc 1276	1 |- ( ph -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( ( X .+ Z ) .+ Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   Basecbs 13162   +g cplusg 13240  CMndccmn 13951   Abelcabl 13952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1re 8186  ax-addrcl 8189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-ov 6031  df-inn 9203  df-2 9261  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-base 13168  df-plusg 13253  df-sgrp 13565  df-mnd 13580  df-cmn 13953  df-abl 13954

This theorem is referenced by: (None)