Theorem abl32 13447

Description: Commutative/associative law for Abelian groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablcom.b	|- B = ( Base ` G )
ablcom.p	|- .+ = ( +g ` G )
abl32.g	|- ( ph -> G e. Abel )
abl32.x	|- ( ph -> X e. B )
abl32.y	|- ( ph -> Y e. B )
abl32.z	|- ( ph -> Z e. B )

Assertion

Ref	Expression
abl32	|- ( ph -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( ( X .+ Z ) .+ Y ) )

Proof of Theorem abl32

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abl32.g	. . 3 |- ( ph -> G e. Abel )
2		ablcmn 13431	. . 3 |- ( G e. Abel -> G e. CMnd )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> G e. CMnd )
4		abl32.x	. 2 |- ( ph -> X e. B )
5		abl32.y	. 2 |- ( ph -> Y e. B )
6		abl32.z	. 2 |- ( ph -> Z e. B )
7		ablcom.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
8		ablcom.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
9	7, 8	cmn32 13444	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( ( X .+ Z ) .+ Y ) )
10	3, 4, 5, 6, 9	syl13anc 1251	1 |- ( ph -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( ( X .+ Z ) .+ Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   Basecbs 12688   +g cplusg 12765  CMndccmn 13424   Abelcabl 13425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1re 7975  ax-addrcl 7978

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-ov 5926  df-inn 8993  df-2 9051  df-ndx 12691  df-slot 12692  df-base 12694  df-plusg 12778  df-sgrp 13055  df-mnd 13068  df-cmn 13426  df-abl 13427

This theorem is referenced by: (None)