Theorem abl32 13758

Description: Commutative/associative law for Abelian groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablcom.b	|- B = ( Base ` G )
ablcom.p	|- .+ = ( +g ` G )
abl32.g	|- ( ph -> G e. Abel )
abl32.x	|- ( ph -> X e. B )
abl32.y	|- ( ph -> Y e. B )
abl32.z	|- ( ph -> Z e. B )

Assertion

Ref	Expression
abl32	|- ( ph -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( ( X .+ Z ) .+ Y ) )

Proof of Theorem abl32

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abl32.g	. . 3 |- ( ph -> G e. Abel )
2		ablcmn 13742	. . 3 |- ( G e. Abel -> G e. CMnd )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> G e. CMnd )
4		abl32.x	. 2 |- ( ph -> X e. B )
5		abl32.y	. 2 |- ( ph -> Y e. B )
6		abl32.z	. 2 |- ( ph -> Z e. B )
7		ablcom.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
8		ablcom.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
9	7, 8	cmn32 13755	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( ( X .+ Z ) .+ Y ) )
10	3, 4, 5, 6, 9	syl13anc 1252	1 |- ( ph -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( ( X .+ Z ) .+ Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2178   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   Basecbs 12947   +g cplusg 13024  CMndccmn 13735   Abelcabl 13736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298  df-ov 5970  df-inn 9072  df-2 9130  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-plusg 13037  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-cmn 13737  df-abl 13738

This theorem is referenced by: (None)