Theorem abl32 13643

Description: Commutative/associative law for Abelian groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablcom.b	|- B = ( Base ` G )
ablcom.p	|- .+ = ( +g ` G )
abl32.g	|- ( ph -> G e. Abel )
abl32.x	|- ( ph -> X e. B )
abl32.y	|- ( ph -> Y e. B )
abl32.z	|- ( ph -> Z e. B )

Assertion

Ref	Expression
abl32	|- ( ph -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( ( X .+ Z ) .+ Y ) )

Proof of Theorem abl32

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abl32.g	. . 3 |- ( ph -> G e. Abel )
2		ablcmn 13627	. . 3 |- ( G e. Abel -> G e. CMnd )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( ph -> G e. CMnd )
4		abl32.x	. 2 |- ( ph -> X e. B )
5		abl32.y	. 2 |- ( ph -> Y e. B )
6		abl32.z	. 2 |- ( ph -> Z e. B )
7		ablcom.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
8		ablcom.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` G )
9	7, 8	cmn32 13640	. 2 |- ( ( G e. CMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( ( X .+ Z ) .+ Y ) )
10	3, 4, 5, 6, 9	syl13anc 1252	1 |- ( ph -> ( ( X .+ Y ) .+ Z ) = ( ( X .+ Z ) .+ Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   +g cplusg 12909  CMndccmn 13620   Abelcabl 13621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1re 8019  ax-addrcl 8022

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-ov 5947  df-inn 9037  df-2 9095  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-plusg 12922  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-cmn 13622  df-abl 13623

This theorem is referenced by: (None)