ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  abl32 GIF version

Theorem abl32 12924
Description: Commutative/associative law for Abelian groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ablcom.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablcom.p + = (+g𝐺)
abl32.g (𝜑𝐺 ∈ Abel)
abl32.x (𝜑𝑋𝐵)
abl32.y (𝜑𝑌𝐵)
abl32.z (𝜑𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
abl32 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = ((𝑋 + 𝑍) + 𝑌))

Proof of Theorem abl32
StepHypRef Expression
1 abl32.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
2 ablcmn 12909 . . 3 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
31, 2syl 14 . 2 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 abl32.x . 2 (𝜑𝑋𝐵)
5 abl32.y . 2 (𝜑𝑌𝐵)
6 abl32.z . 2 (𝜑𝑍𝐵)
7 ablcom.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
8 ablcom.p . . 3 + = (+g𝐺)
97, 8cmn32 12921 . 2 ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = ((𝑋 + 𝑍) + 𝑌))
103, 4, 5, 6, 9syl13anc 1240 1 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = ((𝑋 + 𝑍) + 𝑌))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1353  wcel 2148  cfv 5211  (class class class)co 5868  Basecbs 12432  +gcplusg 12505  CMndccmn 12902  Abelcabl 12903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1re 7883  ax-addrcl 7886
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-fv 5219  df-ov 5871  df-inn 8896  df-2 8954  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-plusg 12518  df-sgrp 12687  df-mnd 12697  df-cmn 12904  df-abl 12905
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator