Theorem abl32 12906

Description: Commutative/associative law for Abelian groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ablcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
ablcom.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
abl32.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
abl32.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
abl32.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
abl32.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
abl32	⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = ((𝑋 + 𝑍) + 𝑌))

Proof of Theorem abl32

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abl32.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
2		ablcmn 12891	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ CMnd)
3	1, 2	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		abl32.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		abl32.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		abl32.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
7		ablcom.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8		ablcom.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
9	7, 8	cmn32 12903	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ CMnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = ((𝑋 + 𝑍) + 𝑌))
10	3, 4, 5, 6, 9	syl13anc 1240	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = ((𝑋 + 𝑍) + 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2146  ‘cfv 5208  (class class class)co 5865  Basecbs 12428  +_gcplusg 12492  CMndccmn 12884  Abelcabl 12885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1re 7880  ax-addrcl 7883

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-fv 5216  df-ov 5868  df-inn 8891  df-2 8949  df-ndx 12431  df-slot 12432  df-base 12434  df-plusg 12505  df-sgrp 12673  df-mnd 12683  df-cmn 12886  df-abl 12887

This theorem is referenced by: (None)