Theorem tgval2 12259

Description: Definition of a topology generated by a basis in [Munkres] p. 78. Later we show (in tgcl 12272) that ( topGen ` B ) is indeed a topology (on U. B, see unitg 12270). See also tgval 12257 and tgval3 12266. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgval2	|- ( B e. V -> ( topGen ` B ) = { x | ( x C_ U. B /\ A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) } )

Distinct variable groups:   x, y, z, B   x, V, y, z

Proof of Theorem tgval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgval 12257	. 2 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) = { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } )
2		inss1 3301	. . . . . . . . 9 |- ( B i^i ~P x ) C_ B
3	2	unissi 3767	. . . . . . . 8 |- U. ( B i^i ~P x ) C_ U. B
4	3	sseli 3098	. . . . . . 7 |- ( y e. U. ( B i^i ~P x ) -> y e. U. B )
5	4	pm4.71ri 390	. . . . . 6 |- ( y e. U. ( B i^i ~P x ) <-> ( y e. U. B /\ y e. U. ( B i^i ~P x ) ) )
6	5	ralbii 2444	. . . . 5 |- ( A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) <-> A. y e. x ( y e. U. B /\ y e. U. ( B i^i ~P x ) ) )
7		r19.26 2561	. . . . 5 |- ( A. y e. x ( y e. U. B /\ y e. U. ( B i^i ~P x ) ) <-> ( A. y e. x y e. U. B /\ A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) ) )
8	6, 7	bitri 183	. . . 4 |- ( A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) <-> ( A. y e. x y e. U. B /\ A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) ) )
9		dfss3 3092	. . . 4 |- ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) <-> A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) )
10		dfss3 3092	. . . . 5 |- ( x C_ U. B <-> A. y e. x y e. U. B )
11		elin 3264	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( B i^i ~P x ) <-> ( z e. B /\ z e. ~P x ) )
12	11	anbi2i 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. z /\ z e. ( B i^i ~P x ) ) <-> ( y e. z /\ ( z e. B /\ z e. ~P x ) ) )
13		an12 551	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. z /\ ( z e. B /\ z e. ~P x ) ) <-> ( z e. B /\ ( y e. z /\ z e. ~P x ) ) )
14	12, 13	bitri 183	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. z /\ z e. ( B i^i ~P x ) ) <-> ( z e. B /\ ( y e. z /\ z e. ~P x ) ) )
15	14	exbii 1585	. . . . . . . 8 |- ( E. z ( y e. z /\ z e. ( B i^i ~P x ) ) <-> E. z ( z e. B /\ ( y e. z /\ z e. ~P x ) ) )
16		eluni 3747	. . . . . . . 8 |- ( y e. U. ( B i^i ~P x ) <-> E. z ( y e. z /\ z e. ( B i^i ~P x ) ) )
17		df-rex 2423	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. B ( y e. z /\ z e. ~P x ) <-> E. z ( z e. B /\ ( y e. z /\ z e. ~P x ) ) )
18	15, 16, 17	3bitr4i 211	. . . . . . 7 |- ( y e. U. ( B i^i ~P x ) <-> E. z e. B ( y e. z /\ z e. ~P x ) )
19		velpw 3522	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ~P x <-> z C_ x )
20	19	anbi2i 453	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. z /\ z e. ~P x ) <-> ( y e. z /\ z C_ x ) )
21	20	rexbii 2445	. . . . . . 7 |- ( E. z e. B ( y e. z /\ z e. ~P x ) <-> E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) )
22	18, 21	bitr2i 184	. . . . . 6 |- ( E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) <-> y e. U. ( B i^i ~P x ) )
23	22	ralbii 2444	. . . . 5 |- ( A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) <-> A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) )
24	10, 23	anbi12i 456	. . . 4 |- ( ( x C_ U. B /\ A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) <-> ( A. y e. x y e. U. B /\ A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) ) )
25	8, 9, 24	3bitr4i 211	. . 3 |- ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) <-> ( x C_ U. B /\ A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) )
26	25	abbii 2256	. 2 |- { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } = { x | ( x C_ U. B /\ A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) }
27	1, 26	eqtrdi 2189	1 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) = { x | ( x C_ U. B /\ A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   {cab 2126   A.wral 2417   E.wrex 2418   i^i cin 3075   C_ wss 3076   ~Pcpw 3515   U.cuni 3744   ` cfv 5131   topGenctg 12174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-topgen 12180

This theorem is referenced by:  eltg2  12261