Theorem tgval2 12691

Description: Definition of a topology generated by a basis in [Munkres] p. 78. Later we show (in tgcl 12704) that ( topGen ` B ) is indeed a topology (on U. B, see unitg 12702). See also tgval 12689 and tgval3 12698. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgval2	|- ( B e. V -> ( topGen ` B ) = { x | ( x C_ U. B /\ A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) } )

Distinct variable groups:   x, y, z, B   x, V, y, z

Proof of Theorem tgval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgval 12689	. 2 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) = { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } )
2		inss1 3342	. . . . . . . . 9 |- ( B i^i ~P x ) C_ B
3	2	unissi 3812	. . . . . . . 8 |- U. ( B i^i ~P x ) C_ U. B
4	3	sseli 3138	. . . . . . 7 |- ( y e. U. ( B i^i ~P x ) -> y e. U. B )
5	4	pm4.71ri 390	. . . . . 6 |- ( y e. U. ( B i^i ~P x ) <-> ( y e. U. B /\ y e. U. ( B i^i ~P x ) ) )
6	5	ralbii 2472	. . . . 5 |- ( A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) <-> A. y e. x ( y e. U. B /\ y e. U. ( B i^i ~P x ) ) )
7		r19.26 2592	. . . . 5 |- ( A. y e. x ( y e. U. B /\ y e. U. ( B i^i ~P x ) ) <-> ( A. y e. x y e. U. B /\ A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) ) )
8	6, 7	bitri 183	. . . 4 |- ( A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) <-> ( A. y e. x y e. U. B /\ A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) ) )
9		dfss3 3132	. . . 4 |- ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) <-> A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) )
10		dfss3 3132	. . . . 5 |- ( x C_ U. B <-> A. y e. x y e. U. B )
11		elin 3305	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( B i^i ~P x ) <-> ( z e. B /\ z e. ~P x ) )
12	11	anbi2i 453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. z /\ z e. ( B i^i ~P x ) ) <-> ( y e. z /\ ( z e. B /\ z e. ~P x ) ) )
13		an12 551	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. z /\ ( z e. B /\ z e. ~P x ) ) <-> ( z e. B /\ ( y e. z /\ z e. ~P x ) ) )
14	12, 13	bitri 183	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. z /\ z e. ( B i^i ~P x ) ) <-> ( z e. B /\ ( y e. z /\ z e. ~P x ) ) )
15	14	exbii 1593	. . . . . . . 8 |- ( E. z ( y e. z /\ z e. ( B i^i ~P x ) ) <-> E. z ( z e. B /\ ( y e. z /\ z e. ~P x ) ) )
16		eluni 3792	. . . . . . . 8 |- ( y e. U. ( B i^i ~P x ) <-> E. z ( y e. z /\ z e. ( B i^i ~P x ) ) )
17		df-rex 2450	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. B ( y e. z /\ z e. ~P x ) <-> E. z ( z e. B /\ ( y e. z /\ z e. ~P x ) ) )
18	15, 16, 17	3bitr4i 211	. . . . . . 7 |- ( y e. U. ( B i^i ~P x ) <-> E. z e. B ( y e. z /\ z e. ~P x ) )
19		velpw 3566	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ~P x <-> z C_ x )
20	19	anbi2i 453	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. z /\ z e. ~P x ) <-> ( y e. z /\ z C_ x ) )
21	20	rexbii 2473	. . . . . . 7 |- ( E. z e. B ( y e. z /\ z e. ~P x ) <-> E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) )
22	18, 21	bitr2i 184	. . . . . 6 |- ( E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) <-> y e. U. ( B i^i ~P x ) )
23	22	ralbii 2472	. . . . 5 |- ( A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) <-> A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) )
24	10, 23	anbi12i 456	. . . 4 |- ( ( x C_ U. B /\ A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) <-> ( A. y e. x y e. U. B /\ A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) ) )
25	8, 9, 24	3bitr4i 211	. . 3 |- ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) <-> ( x C_ U. B /\ A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) )
26	25	abbii 2282	. 2 |- { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } = { x | ( x C_ U. B /\ A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) }
27	1, 26	eqtrdi 2215	1 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) = { x | ( x C_ U. B /\ A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   {cab 2151   A.wral 2444   E.wrex 2445   i^i cin 3115   C_ wss 3116   ~Pcpw 3559   U.cuni 3789   ` cfv 5188   topGenctg 12571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-topgen 12577

This theorem is referenced by:  eltg2  12693