Theorem tgval2 14638

Description: Definition of a topology generated by a basis in [Munkres] p. 78. Later we show (in tgcl 14651) that ( topGen ` B ) is indeed a topology (on U. B, see unitg 14649). See also tgval 13209 and tgval3 14645. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgval2	|- ( B e. V -> ( topGen ` B ) = { x | ( x C_ U. B /\ A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) } )

Distinct variable groups:   x, y, z, B   x, V, y, z

Proof of Theorem tgval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgval 13209	. 2 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) = { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } )
2		inss1 3401	. . . . . . . . 9 |- ( B i^i ~P x ) C_ B
3	2	unissi 3887	. . . . . . . 8 |- U. ( B i^i ~P x ) C_ U. B
4	3	sseli 3197	. . . . . . 7 |- ( y e. U. ( B i^i ~P x ) -> y e. U. B )
5	4	pm4.71ri 392	. . . . . 6 |- ( y e. U. ( B i^i ~P x ) <-> ( y e. U. B /\ y e. U. ( B i^i ~P x ) ) )
6	5	ralbii 2514	. . . . 5 |- ( A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) <-> A. y e. x ( y e. U. B /\ y e. U. ( B i^i ~P x ) ) )
7		r19.26 2634	. . . . 5 |- ( A. y e. x ( y e. U. B /\ y e. U. ( B i^i ~P x ) ) <-> ( A. y e. x y e. U. B /\ A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) ) )
8	6, 7	bitri 184	. . . 4 |- ( A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) <-> ( A. y e. x y e. U. B /\ A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) ) )
9		dfss3 3190	. . . 4 |- ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) <-> A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) )
10		dfss3 3190	. . . . 5 |- ( x C_ U. B <-> A. y e. x y e. U. B )
11		elin 3364	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( B i^i ~P x ) <-> ( z e. B /\ z e. ~P x ) )
12	11	anbi2i 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. z /\ z e. ( B i^i ~P x ) ) <-> ( y e. z /\ ( z e. B /\ z e. ~P x ) ) )
13		an12 561	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. z /\ ( z e. B /\ z e. ~P x ) ) <-> ( z e. B /\ ( y e. z /\ z e. ~P x ) ) )
14	12, 13	bitri 184	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. z /\ z e. ( B i^i ~P x ) ) <-> ( z e. B /\ ( y e. z /\ z e. ~P x ) ) )
15	14	exbii 1629	. . . . . . . 8 |- ( E. z ( y e. z /\ z e. ( B i^i ~P x ) ) <-> E. z ( z e. B /\ ( y e. z /\ z e. ~P x ) ) )
16		eluni 3867	. . . . . . . 8 |- ( y e. U. ( B i^i ~P x ) <-> E. z ( y e. z /\ z e. ( B i^i ~P x ) ) )
17		df-rex 2492	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. B ( y e. z /\ z e. ~P x ) <-> E. z ( z e. B /\ ( y e. z /\ z e. ~P x ) ) )
18	15, 16, 17	3bitr4i 212	. . . . . . 7 |- ( y e. U. ( B i^i ~P x ) <-> E. z e. B ( y e. z /\ z e. ~P x ) )
19		velpw 3633	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ~P x <-> z C_ x )
20	19	anbi2i 457	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. z /\ z e. ~P x ) <-> ( y e. z /\ z C_ x ) )
21	20	rexbii 2515	. . . . . . 7 |- ( E. z e. B ( y e. z /\ z e. ~P x ) <-> E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) )
22	18, 21	bitr2i 185	. . . . . 6 |- ( E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) <-> y e. U. ( B i^i ~P x ) )
23	22	ralbii 2514	. . . . 5 |- ( A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) <-> A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) )
24	10, 23	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( x C_ U. B /\ A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) <-> ( A. y e. x y e. U. B /\ A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) ) )
25	8, 9, 24	3bitr4i 212	. . 3 |- ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) <-> ( x C_ U. B /\ A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) )
26	25	abbii 2323	. 2 |- { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } = { x | ( x C_ U. B /\ A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) }
27	1, 26	eqtrdi 2256	1 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) = { x | ( x C_ U. B /\ A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   {cab 2193   A.wral 2486   E.wrex 2487   i^i cin 3173   C_ wss 3174   ~Pcpw 3626   U.cuni 3864   ` cfv 5290   topGenctg 13201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-topgen 13207

This theorem is referenced by:  eltg2  14640