Theorem tgval2 14774

Description: Definition of a topology generated by a basis in [Munkres] p. 78. Later we show (in tgcl 14787) that ( topGen ` B ) is indeed a topology (on U. B, see unitg 14785). See also tgval 13344 and tgval3 14781. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
tgval2	|- ( B e. V -> ( topGen ` B ) = { x | ( x C_ U. B /\ A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) } )

Distinct variable groups:   x, y, z, B   x, V, y, z

Proof of Theorem tgval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tgval 13344	. 2 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) = { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } )
2		inss1 3427	. . . . . . . . 9 |- ( B i^i ~P x ) C_ B
3	2	unissi 3916	. . . . . . . 8 |- U. ( B i^i ~P x ) C_ U. B
4	3	sseli 3223	. . . . . . 7 |- ( y e. U. ( B i^i ~P x ) -> y e. U. B )
5	4	pm4.71ri 392	. . . . . 6 |- ( y e. U. ( B i^i ~P x ) <-> ( y e. U. B /\ y e. U. ( B i^i ~P x ) ) )
6	5	ralbii 2538	. . . . 5 |- ( A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) <-> A. y e. x ( y e. U. B /\ y e. U. ( B i^i ~P x ) ) )
7		r19.26 2659	. . . . 5 |- ( A. y e. x ( y e. U. B /\ y e. U. ( B i^i ~P x ) ) <-> ( A. y e. x y e. U. B /\ A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) ) )
8	6, 7	bitri 184	. . . 4 |- ( A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) <-> ( A. y e. x y e. U. B /\ A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) ) )
9		dfss3 3216	. . . 4 |- ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) <-> A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) )
10		dfss3 3216	. . . . 5 |- ( x C_ U. B <-> A. y e. x y e. U. B )
11		elin 3390	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( B i^i ~P x ) <-> ( z e. B /\ z e. ~P x ) )
12	11	anbi2i 457	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. z /\ z e. ( B i^i ~P x ) ) <-> ( y e. z /\ ( z e. B /\ z e. ~P x ) ) )
13		an12 563	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. z /\ ( z e. B /\ z e. ~P x ) ) <-> ( z e. B /\ ( y e. z /\ z e. ~P x ) ) )
14	12, 13	bitri 184	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. z /\ z e. ( B i^i ~P x ) ) <-> ( z e. B /\ ( y e. z /\ z e. ~P x ) ) )
15	14	exbii 1653	. . . . . . . 8 |- ( E. z ( y e. z /\ z e. ( B i^i ~P x ) ) <-> E. z ( z e. B /\ ( y e. z /\ z e. ~P x ) ) )
16		eluni 3896	. . . . . . . 8 |- ( y e. U. ( B i^i ~P x ) <-> E. z ( y e. z /\ z e. ( B i^i ~P x ) ) )
17		df-rex 2516	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. B ( y e. z /\ z e. ~P x ) <-> E. z ( z e. B /\ ( y e. z /\ z e. ~P x ) ) )
18	15, 16, 17	3bitr4i 212	. . . . . . 7 |- ( y e. U. ( B i^i ~P x ) <-> E. z e. B ( y e. z /\ z e. ~P x ) )
19		velpw 3659	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ~P x <-> z C_ x )
20	19	anbi2i 457	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. z /\ z e. ~P x ) <-> ( y e. z /\ z C_ x ) )
21	20	rexbii 2539	. . . . . . 7 |- ( E. z e. B ( y e. z /\ z e. ~P x ) <-> E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) )
22	18, 21	bitr2i 185	. . . . . 6 |- ( E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) <-> y e. U. ( B i^i ~P x ) )
23	22	ralbii 2538	. . . . 5 |- ( A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) <-> A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) )
24	10, 23	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( x C_ U. B /\ A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) <-> ( A. y e. x y e. U. B /\ A. y e. x y e. U. ( B i^i ~P x ) ) )
25	8, 9, 24	3bitr4i 212	. . 3 |- ( x C_ U. ( B i^i ~P x ) <-> ( x C_ U. B /\ A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) )
26	25	abbii 2347	. 2 |- { x | x C_ U. ( B i^i ~P x ) } = { x | ( x C_ U. B /\ A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) }
27	1, 26	eqtrdi 2280	1 |- ( B e. V -> ( topGen ` B ) = { x | ( x C_ U. B /\ A. y e. x E. z e. B ( y e. z /\ z C_ x ) ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   {cab 2217   A.wral 2510   E.wrex 2511   i^i cin 3199   C_ wss 3200   ~Pcpw 3652   U.cuni 3893   ` cfv 5326   topGenctg 13336

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-topgen 13342

This theorem is referenced by:  eltg2  14776