Theorem sseq12d 3259

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 31-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseq1d.1	|- ( ph -> A = B )
sseq12d.2	|- ( ph -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
sseq12d	|- ( ph -> ( A C_ C <-> B C_ D ) )

Proof of Theorem sseq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. . 3 |- ( ph -> A = B )
2	1	sseq1d 3257	. 2 |- ( ph -> ( A C_ C <-> B C_ C ) )
3		sseq12d.2	. . 3 |- ( ph -> C = D )
4	3	sseq2d 3258	. 2 |- ( ph -> ( B C_ C <-> B C_ D ) )
5	2, 4	bitrd 188	1 |- ( ph -> ( A C_ C <-> B C_ D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   C_ wss 3201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-in 3207  df-ss 3214

This theorem is referenced by:  3sstr3d  3272  3sstr4d  3273  ssdifeq0  3579  relcnvtr  5263  suppfnss  6435  rdgisucinc  6594  oawordriexmid  6681  nnaword  6722  nnawordi  6726  sbthlem2  7200  isbth  7209  nninff  7364  nninfninc  7365  infnninf  7366  infnninfOLD  7367  nnnninf  7368  nnnninfeq  7370  nnnninfeq2  7371  nninfwlpoimlemg  7417  swrdval  11278  ennnfonelemkh  13096  ennnfonelemrnh  13100  isstruct2im  13155  isstruct2r  13156  basis1  14841  baspartn  14844  eltg  14846  metss  15288  isausgren  16091  issubgr  16181  subgrprop3  16186  wkslem1  16244  wkslem2  16245  iswlk  16247  wlkres  16303  eupthseg  16376  0nninf  16713  nnsf  16714  peano4nninf  16715  nninfalllem1  16717  nninfself  16722