Theorem sseq12d 3279

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 31-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseq1d.1	|- ( ph -> A = B )
sseq12d.2	|- ( ph -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
sseq12d	|- ( ph -> ( A C_ C <-> B C_ D ) )

Proof of Theorem sseq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. . 3 |- ( ph -> A = B )
2	1	sseq1d 3277	. 2 |- ( ph -> ( A C_ C <-> B C_ C ) )
3		sseq12d.2	. . 3 |- ( ph -> C = D )
4	3	sseq2d 3278	. 2 |- ( ph -> ( B C_ C <-> B C_ D ) )
5	2, 4	bitrd 188	1 |- ( ph -> ( A C_ C <-> B C_ D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   C_ wss 3220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is referenced by:  3sstr3d  3292  3sstr4d  3293  ssdifeq0  3607  relcnvtr  5302  suppfnss  6487  rdgisucinc  6646  oawordriexmid  6733  nnaword  6774  nnawordi  6778  sbthlem2  7265  isbth  7274  nninff  7452  nninfninc  7453  infnninf  7454  infnninfOLD  7455  nnnninf  7456  nnnninfeq  7458  nnnninfeq2  7459  nninfwlpoimlemg  7505  swrdval  11398  ennnfonelemkh  13281  ennnfonelemrnh  13285  isstruct2im  13340  isstruct2r  13341  basis1  15071  baspartn  15074  eltg  15076  metss  15518  isausgren  16322  issubgr  16412  subgrprop3  16417  wkslem1  16475  wkslem2  16476  iswlk  16478  wlkres  16534  eupthseg  16607  0nninf  16952  nnsf  16953  peano4nninf  16954  nninfalllem1  16956  nninfself  16961