Theorem sseq12d 3279

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 31-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseq1d.1	|- ( ph -> A = B )
sseq12d.2	|- ( ph -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
sseq12d	|- ( ph -> ( A C_ C <-> B C_ D ) )

Proof of Theorem sseq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. . 3 |- ( ph -> A = B )
2	1	sseq1d 3277	. 2 |- ( ph -> ( A C_ C <-> B C_ C ) )
3		sseq12d.2	. . 3 |- ( ph -> C = D )
4	3	sseq2d 3278	. 2 |- ( ph -> ( B C_ C <-> B C_ D ) )
5	2, 4	bitrd 188	1 |- ( ph -> ( A C_ C <-> B C_ D ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   C_ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  3sstr3d  3292  3sstr4d  3293  ssdifeq0  3610  relcnvtr  5310  suppfnss  6501  rdgisucinc  6661  oawordriexmid  6748  nnaword  6789  nnawordi  6793  sbthlem2  7282  isbth  7291  isfsuppfi  7296  nninff  7468  nninfninc  7469  infnninf  7470  infnninfOLD  7471  nnnninf  7472  nnnninfeq  7474  nnnninfeq2  7475  nninfwlpoimlemg  7521  swrdval  11441  ennnfonelemkh  13360  ennnfonelemrnh  13364  isstruct2im  13419  isstruct2r  13420  basis1  15290  baspartn  15293  eltg  15295  metss  15737  isausgren  16630  issubgr  16720  subgrprop3  16725  wkslem1  16783  wkslem2  16784  iswlk  16786  wlkres  16842  eupthseg  16915  0nninf  17270  nnsf  17271  peano4nninf  17272  nninfalllem1  17274  nninfself  17279