Theorem sseq12d 3269

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 31-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseq1d.1	|- ( ph -> A = B )
sseq12d.2	|- ( ph -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
sseq12d	|- ( ph -> ( A C_ C <-> B C_ D ) )

Proof of Theorem sseq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. . 3 |- ( ph -> A = B )
2	1	sseq1d 3267	. 2 |- ( ph -> ( A C_ C <-> B C_ C ) )
3		sseq12d.2	. . 3 |- ( ph -> C = D )
4	3	sseq2d 3268	. 2 |- ( ph -> ( B C_ C <-> B C_ D ) )
5	2, 4	bitrd 188	1 |- ( ph -> ( A C_ C <-> B C_ D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   C_ wss 3211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-in 3217  df-ss 3224

This theorem is referenced by:  3sstr3d  3282  3sstr4d  3283  ssdifeq0  3592  relcnvtr  5282  suppfnss  6457  rdgisucinc  6616  oawordriexmid  6703  nnaword  6744  nnawordi  6748  sbthlem2  7228  isbth  7237  nninff  7413  nninfninc  7414  infnninf  7415  infnninfOLD  7416  nnnninf  7417  nnnninfeq  7419  nnnninfeq2  7420  nninfwlpoimlemg  7466  swrdval  11340  ennnfonelemkh  13163  ennnfonelemrnh  13167  isstruct2im  13222  isstruct2r  13223  basis1  14912  baspartn  14915  eltg  14917  metss  15359  isausgren  16162  issubgr  16252  subgrprop3  16257  wkslem1  16315  wkslem2  16316  iswlk  16318  wlkres  16374  eupthseg  16447  0nninf  16782  nnsf  16783  peano4nninf  16784  nninfalllem1  16786  nninfself  16791