Theorem sseq12d 3279

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 31-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseq1d.1	|- ( ph -> A = B )
sseq12d.2	|- ( ph -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
sseq12d	|- ( ph -> ( A C_ C <-> B C_ D ) )

Proof of Theorem sseq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. . 3 |- ( ph -> A = B )
2	1	sseq1d 3277	. 2 |- ( ph -> ( A C_ C <-> B C_ C ) )
3		sseq12d.2	. . 3 |- ( ph -> C = D )
4	3	sseq2d 3278	. 2 |- ( ph -> ( B C_ C <-> B C_ D ) )
5	2, 4	bitrd 188	1 |- ( ph -> ( A C_ C <-> B C_ D ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   C_ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  3sstr3d  3292  3sstr4d  3293  ssdifeq0  3610  relcnvtr  5307  suppfnss  6497  rdgisucinc  6656  oawordriexmid  6743  nnaword  6784  nnawordi  6788  sbthlem2  7275  isbth  7284  nninff  7463  nninfninc  7464  infnninf  7465  infnninfOLD  7466  nnnninf  7467  nnnninfeq  7469  nnnninfeq2  7470  nninfwlpoimlemg  7516  swrdval  11436  ennnfonelemkh  13355  ennnfonelemrnh  13359  isstruct2im  13414  isstruct2r  13415  basis1  15239  baspartn  15242  eltg  15244  metss  15686  isausgren  16574  issubgr  16664  subgrprop3  16669  wkslem1  16727  wkslem2  16728  iswlk  16730  wlkres  16786  eupthseg  16859  0nninf  17213  nnsf  17214  peano4nninf  17215  nninfalllem1  17217  nninfself  17222