Theorem sseq12d 3258

Description: An equality deduction for the subclass relationship. (Contributed by NM, 31-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseq1d.1	|- ( ph -> A = B )
sseq12d.2	|- ( ph -> C = D )

Assertion

Ref	Expression
sseq12d	|- ( ph -> ( A C_ C <-> B C_ D ) )

Proof of Theorem sseq12d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1d.1	. . 3 |- ( ph -> A = B )
2	1	sseq1d 3256	. 2 |- ( ph -> ( A C_ C <-> B C_ C ) )
3		sseq12d.2	. . 3 |- ( ph -> C = D )
4	3	sseq2d 3257	. 2 |- ( ph -> ( B C_ C <-> B C_ D ) )
5	2, 4	bitrd 188	1 |- ( ph -> ( A C_ C <-> B C_ D ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1397   C_ wss 3200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-11 1554  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-in 3206  df-ss 3213

This theorem is referenced by:  3sstr3d  3271  3sstr4d  3272  ssdifeq0  3577  relcnvtr  5256  rdgisucinc  6550  oawordriexmid  6637  nnaword  6678  nnawordi  6682  sbthlem2  7156  isbth  7165  nninff  7320  nninfninc  7321  infnninf  7322  infnninfOLD  7323  nnnninf  7324  nnnninfeq  7326  nnnninfeq2  7327  nninfwlpoimlemg  7373  swrdval  11228  ennnfonelemkh  13032  ennnfonelemrnh  13036  isstruct2im  13091  isstruct2r  13092  basis1  14770  baspartn  14773  eltg  14775  metss  15217  isausgren  16017  issubgr  16107  subgrprop3  16112  wkslem1  16170  wkslem2  16171  iswlk  16173  wlkres  16229  eupthseg  16302  0nninf  16606  nnsf  16607  peano4nninf  16608  nninfalllem1  16610  nninfself  16615