Theorem bj-2inf 13655

Description: Two formulations of the axiom of infinity (see ax-infvn 13658 and bj-omex 13659) . (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-2inf	|- ( om e. _V <-> E. x (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem bj-2inf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2164	. . . 4 |- om = om
2		bj-om 13654	. . . 4 |- ( om e. _V -> ( om = om <-> (Ind om /\ A. y (Ind y -> om C_ y ) ) ) )
3	1, 2	mpbii 147	. . 3 |- ( om e. _V -> (Ind om /\ A. y (Ind y -> om C_ y ) ) )
4		bj-indeq 13646	. . . . 5 |- ( x = om -> (Ind x <-> Ind om ) )
5		sseq1 3160	. . . . . . 7 |- ( x = om -> ( x C_ y <-> om C_ y ) )
6	5	imbi2d 229	. . . . . 6 |- ( x = om -> ( (Ind y -> x C_ y ) <-> (Ind y -> om C_ y ) ) )
7	6	albidv 1811	. . . . 5 |- ( x = om -> ( A. y (Ind y -> x C_ y ) <-> A. y (Ind y -> om C_ y ) ) )
8	4, 7	anbi12d 465	. . . 4 |- ( x = om -> ( (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) <-> (Ind om /\ A. y (Ind y -> om C_ y ) ) ) )
9	8	spcegv 2809	. . 3 |- ( om e. _V -> ( (Ind om /\ A. y (Ind y -> om C_ y ) ) -> E. x (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) ) )
10	3, 9	mpd 13	. 2 |- ( om e. _V -> E. x (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) )
11		vex 2724	. . . . . 6 |- x e. _V
12		bj-om 13654	. . . . . 6 |- ( x e. _V -> ( x = om <-> (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( x = om <-> (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) )
14	13	biimpri 132	. . . 4 |- ( (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) -> x = om )
15	14	eximi 1587	. . 3 |- ( E. x (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) -> E. x x = om )
16		isset 2727	. . 3 |- ( om e. _V <-> E. x x = om )
17	15, 16	sylibr 133	. 2 |- ( E. x (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) -> om e. _V )
18	10, 17	impbii 125	1 |- ( om e. _V <-> E. x (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1340   = wceq 1342   E.wex 1479   e. wcel 2135   _Vcvv 2721   C_ wss 3111   omcom 4561  Ind wind 13643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-nul 4102  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-bd0 13530  ax-bdor 13533  ax-bdex 13536  ax-bdeq 13537  ax-bdel 13538  ax-bdsb 13539  ax-bdsep 13601

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-rab 2451  df-v 2723  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-sn 3576  df-pr 3577  df-uni 3784  df-int 3819  df-suc 4343  df-iom 4562  df-bdc 13558  df-bj-ind 13644

This theorem is referenced by:  bj-omex  13659