Theorem bj-2inf 15584

Description: Two formulations of the axiom of infinity (see ax-infvn 15587 and bj-omex 15588) . (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-2inf	|- ( om e. _V <-> E. x (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem bj-2inf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2196	. . . 4 |- om = om
2		bj-om 15583	. . . 4 |- ( om e. _V -> ( om = om <-> (Ind om /\ A. y (Ind y -> om C_ y ) ) ) )
3	1, 2	mpbii 148	. . 3 |- ( om e. _V -> (Ind om /\ A. y (Ind y -> om C_ y ) ) )
4		bj-indeq 15575	. . . . 5 |- ( x = om -> (Ind x <-> Ind om ) )
5		sseq1 3206	. . . . . . 7 |- ( x = om -> ( x C_ y <-> om C_ y ) )
6	5	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( x = om -> ( (Ind y -> x C_ y ) <-> (Ind y -> om C_ y ) ) )
7	6	albidv 1838	. . . . 5 |- ( x = om -> ( A. y (Ind y -> x C_ y ) <-> A. y (Ind y -> om C_ y ) ) )
8	4, 7	anbi12d 473	. . . 4 |- ( x = om -> ( (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) <-> (Ind om /\ A. y (Ind y -> om C_ y ) ) ) )
9	8	spcegv 2852	. . 3 |- ( om e. _V -> ( (Ind om /\ A. y (Ind y -> om C_ y ) ) -> E. x (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) ) )
10	3, 9	mpd 13	. 2 |- ( om e. _V -> E. x (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) )
11		vex 2766	. . . . . 6 |- x e. _V
12		bj-om 15583	. . . . . 6 |- ( x e. _V -> ( x = om <-> (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( x = om <-> (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) )
14	13	biimpri 133	. . . 4 |- ( (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) -> x = om )
15	14	eximi 1614	. . 3 |- ( E. x (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) -> E. x x = om )
16		isset 2769	. . 3 |- ( om e. _V <-> E. x x = om )
17	15, 16	sylibr 134	. 2 |- ( E. x (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) -> om e. _V )
18	10, 17	impbii 126	1 |- ( om e. _V <-> E. x (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   omcom 4626  Ind wind 15572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-nul 4159  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-bd0 15459  ax-bdor 15462  ax-bdex 15465  ax-bdeq 15466  ax-bdel 15467  ax-bdsb 15468  ax-bdsep 15530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-sn 3628  df-pr 3629  df-uni 3840  df-int 3875  df-suc 4406  df-iom 4627  df-bdc 15487  df-bj-ind 15573

This theorem is referenced by:  bj-omex  15588