Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-2inf Unicode version

Theorem bj-2inf 12721
Description: Two formulations of the axiom of infinity (see ax-infvn 12724 and bj-omex 12725) . (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-2inf  |-  ( om  e.  _V  <->  E. x
(Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x 
C_  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem bj-2inf
StepHypRef Expression
1 eqid 2100 . . . 4  |-  om  =  om
2 bj-om 12720 . . . 4  |-  ( om  e.  _V  ->  ( om  =  om  <->  (Ind  om  /\ 
A. y (Ind  y  ->  om  C_  y ) ) ) )
31, 2mpbii 147 . . 3  |-  ( om  e.  _V  ->  (Ind  om 
/\  A. y (Ind  y  ->  om  C_  y ) ) )
4 bj-indeq 12712 . . . . 5  |-  ( x  =  om  ->  (Ind  x 
<-> Ind 
om ) )
5 sseq1 3070 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  (
x  C_  y  <->  om  C_  y
) )
65imbi2d 229 . . . . . 6  |-  ( x  =  om  ->  (
(Ind  y  ->  x  C_  y )  <->  (Ind  y  ->  om  C_  y )
) )
76albidv 1763 . . . . 5  |-  ( x  =  om  ->  ( A. y (Ind  y  ->  x  C_  y )  <->  A. y
(Ind  y  ->  om  C_  y
) ) )
84, 7anbi12d 460 . . . 4  |-  ( x  =  om  ->  (
(Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x 
C_  y ) )  <-> 
(Ind  om  /\  A. y
(Ind  y  ->  om  C_  y
) ) ) )
98spcegv 2729 . . 3  |-  ( om  e.  _V  ->  (
(Ind  om  /\  A. y
(Ind  y  ->  om  C_  y
) )  ->  E. x
(Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x 
C_  y ) ) ) )
103, 9mpd 13 . 2  |-  ( om  e.  _V  ->  E. x
(Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x 
C_  y ) ) )
11 vex 2644 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
12 bj-om 12720 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  =  om  <->  (Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x  C_  y
) ) ) )
1311, 12ax-mp 7 . . . . 5  |-  ( x  =  om  <->  (Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x  C_  y
) ) )
1413biimpri 132 . . . 4  |-  ( (Ind  x  /\  A. y
(Ind  y  ->  x  C_  y ) )  ->  x  =  om )
1514eximi 1547 . . 3  |-  ( E. x (Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x  C_  y ) )  ->  E. x  x  =  om )
16 isset 2647 . . 3  |-  ( om  e.  _V  <->  E. x  x  =  om )
1715, 16sylibr 133 . 2  |-  ( E. x (Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x  C_  y ) )  ->  om  e.  _V )
1810, 17impbii 125 1  |-  ( om  e.  _V  <->  E. x
(Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x 
C_  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1297    = wceq 1299   E.wex 1436    e. wcel 1448   _Vcvv 2641    C_ wss 3021   omcom 4442  Ind wind 12709
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-nul 3994  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-bd0 12592  ax-bdor 12595  ax-bdex 12598  ax-bdeq 12599  ax-bdel 12600  ax-bdsb 12601  ax-bdsep 12663
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-sn 3480  df-pr 3481  df-uni 3684  df-int 3719  df-suc 4231  df-iom 4443  df-bdc 12620  df-bj-ind 12710
This theorem is referenced by:  bj-omex  12725
  Copyright terms: Public domain W3C validator