Theorem bj-2inf 12721

Description: Two formulations of the axiom of infinity (see ax-infvn 12724 and bj-omex 12725) . (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-2inf	|- ( om e. _V <-> E. x (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem bj-2inf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2100	. . . 4 |- om = om
2		bj-om 12720	. . . 4 |- ( om e. _V -> ( om = om <-> (Ind om /\ A. y (Ind y -> om C_ y ) ) ) )
3	1, 2	mpbii 147	. . 3 |- ( om e. _V -> (Ind om /\ A. y (Ind y -> om C_ y ) ) )
4		bj-indeq 12712	. . . . 5 |- ( x = om -> (Ind x <-> Ind om ) )
5		sseq1 3070	. . . . . . 7 |- ( x = om -> ( x C_ y <-> om C_ y ) )
6	5	imbi2d 229	. . . . . 6 |- ( x = om -> ( (Ind y -> x C_ y ) <-> (Ind y -> om C_ y ) ) )
7	6	albidv 1763	. . . . 5 |- ( x = om -> ( A. y (Ind y -> x C_ y ) <-> A. y (Ind y -> om C_ y ) ) )
8	4, 7	anbi12d 460	. . . 4 |- ( x = om -> ( (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) <-> (Ind om /\ A. y (Ind y -> om C_ y ) ) ) )
9	8	spcegv 2729	. . 3 |- ( om e. _V -> ( (Ind om /\ A. y (Ind y -> om C_ y ) ) -> E. x (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) ) )
10	3, 9	mpd 13	. 2 |- ( om e. _V -> E. x (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) )
11		vex 2644	. . . . . 6 |- x e. _V
12		bj-om 12720	. . . . . 6 |- ( x e. _V -> ( x = om <-> (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) ) )
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( x = om <-> (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) )
14	13	biimpri 132	. . . 4 |- ( (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) -> x = om )
15	14	eximi 1547	. . 3 |- ( E. x (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) -> E. x x = om )
16		isset 2647	. . 3 |- ( om e. _V <-> E. x x = om )
17	15, 16	sylibr 133	. 2 |- ( E. x (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) -> om e. _V )
18	10, 17	impbii 125	1 |- ( om e. _V <-> E. x (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wal 1297   = wceq 1299   E.wex 1436   e. wcel 1448   _Vcvv 2641   C_ wss 3021   omcom 4442  Ind wind 12709

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-nul 3994  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-bd0 12592  ax-bdor 12595  ax-bdex 12598  ax-bdeq 12599  ax-bdel 12600  ax-bdsb 12601  ax-bdsep 12663

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1302  df-nf 1405  df-sb 1704  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-sn 3480  df-pr 3481  df-uni 3684  df-int 3719  df-suc 4231  df-iom 4443  df-bdc 12620  df-bj-ind 12710

This theorem is referenced by:  bj-omex  12725