Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-2inf Unicode version

Theorem bj-2inf 14541
Description: Two formulations of the axiom of infinity (see ax-infvn 14544 and bj-omex 14545) . (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-2inf  |-  ( om  e.  _V  <->  E. x
(Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x 
C_  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem bj-2inf
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . . . 4  |-  om  =  om
2 bj-om 14540 . . . 4  |-  ( om  e.  _V  ->  ( om  =  om  <->  (Ind  om  /\ 
A. y (Ind  y  ->  om  C_  y ) ) ) )
31, 2mpbii 148 . . 3  |-  ( om  e.  _V  ->  (Ind  om 
/\  A. y (Ind  y  ->  om  C_  y ) ) )
4 bj-indeq 14532 . . . . 5  |-  ( x  =  om  ->  (Ind  x 
<-> Ind 
om ) )
5 sseq1 3178 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  (
x  C_  y  <->  om  C_  y
) )
65imbi2d 230 . . . . . 6  |-  ( x  =  om  ->  (
(Ind  y  ->  x  C_  y )  <->  (Ind  y  ->  om  C_  y )
) )
76albidv 1824 . . . . 5  |-  ( x  =  om  ->  ( A. y (Ind  y  ->  x  C_  y )  <->  A. y
(Ind  y  ->  om  C_  y
) ) )
84, 7anbi12d 473 . . . 4  |-  ( x  =  om  ->  (
(Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x 
C_  y ) )  <-> 
(Ind  om  /\  A. y
(Ind  y  ->  om  C_  y
) ) ) )
98spcegv 2825 . . 3  |-  ( om  e.  _V  ->  (
(Ind  om  /\  A. y
(Ind  y  ->  om  C_  y
) )  ->  E. x
(Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x 
C_  y ) ) ) )
103, 9mpd 13 . 2  |-  ( om  e.  _V  ->  E. x
(Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x 
C_  y ) ) )
11 vex 2740 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
12 bj-om 14540 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  =  om  <->  (Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x  C_  y
) ) ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( x  =  om  <->  (Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x  C_  y
) ) )
1413biimpri 133 . . . 4  |-  ( (Ind  x  /\  A. y
(Ind  y  ->  x  C_  y ) )  ->  x  =  om )
1514eximi 1600 . . 3  |-  ( E. x (Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x  C_  y ) )  ->  E. x  x  =  om )
16 isset 2743 . . 3  |-  ( om  e.  _V  <->  E. x  x  =  om )
1715, 16sylibr 134 . 2  |-  ( E. x (Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x  C_  y ) )  ->  om  e.  _V )
1810, 17impbii 126 1  |-  ( om  e.  _V  <->  E. x
(Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x 
C_  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105   A.wal 1351    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   _Vcvv 2737    C_ wss 3129   omcom 4588  Ind wind 14529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-nul 4128  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-bd0 14416  ax-bdor 14419  ax-bdex 14422  ax-bdeq 14423  ax-bdel 14424  ax-bdsb 14425  ax-bdsep 14487
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-sn 3598  df-pr 3599  df-uni 3810  df-int 3845  df-suc 4370  df-iom 4589  df-bdc 14444  df-bj-ind 14530
This theorem is referenced by:  bj-omex  14545
  Copyright terms: Public domain W3C validator