Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-2inf Unicode version

Theorem bj-2inf 13300
Description: Two formulations of the axiom of infinity (see ax-infvn 13303 and bj-omex 13304) . (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-2inf  |-  ( om  e.  _V  <->  E. x
(Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x 
C_  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem bj-2inf
StepHypRef Expression
1 eqid 2140 . . . 4  |-  om  =  om
2 bj-om 13299 . . . 4  |-  ( om  e.  _V  ->  ( om  =  om  <->  (Ind  om  /\ 
A. y (Ind  y  ->  om  C_  y ) ) ) )
31, 2mpbii 147 . . 3  |-  ( om  e.  _V  ->  (Ind  om 
/\  A. y (Ind  y  ->  om  C_  y ) ) )
4 bj-indeq 13291 . . . . 5  |-  ( x  =  om  ->  (Ind  x 
<-> Ind 
om ) )
5 sseq1 3123 . . . . . . 7  |-  ( x  =  om  ->  (
x  C_  y  <->  om  C_  y
) )
65imbi2d 229 . . . . . 6  |-  ( x  =  om  ->  (
(Ind  y  ->  x  C_  y )  <->  (Ind  y  ->  om  C_  y )
) )
76albidv 1797 . . . . 5  |-  ( x  =  om  ->  ( A. y (Ind  y  ->  x  C_  y )  <->  A. y
(Ind  y  ->  om  C_  y
) ) )
84, 7anbi12d 465 . . . 4  |-  ( x  =  om  ->  (
(Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x 
C_  y ) )  <-> 
(Ind  om  /\  A. y
(Ind  y  ->  om  C_  y
) ) ) )
98spcegv 2777 . . 3  |-  ( om  e.  _V  ->  (
(Ind  om  /\  A. y
(Ind  y  ->  om  C_  y
) )  ->  E. x
(Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x 
C_  y ) ) ) )
103, 9mpd 13 . 2  |-  ( om  e.  _V  ->  E. x
(Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x 
C_  y ) ) )
11 vex 2692 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
12 bj-om 13299 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  =  om  <->  (Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x  C_  y
) ) ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( x  =  om  <->  (Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x  C_  y
) ) )
1413biimpri 132 . . . 4  |-  ( (Ind  x  /\  A. y
(Ind  y  ->  x  C_  y ) )  ->  x  =  om )
1514eximi 1580 . . 3  |-  ( E. x (Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x  C_  y ) )  ->  E. x  x  =  om )
16 isset 2695 . . 3  |-  ( om  e.  _V  <->  E. x  x  =  om )
1715, 16sylibr 133 . 2  |-  ( E. x (Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x  C_  y ) )  ->  om  e.  _V )
1810, 17impbii 125 1  |-  ( om  e.  _V  <->  E. x
(Ind  x  /\  A. y (Ind  y  ->  x 
C_  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wal 1330    = wceq 1332   E.wex 1469    e. wcel 1481   _Vcvv 2689    C_ wss 3074   omcom 4510  Ind wind 13288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-nul 4060  ax-pr 4137  ax-un 4361  ax-bd0 13175  ax-bdor 13178  ax-bdex 13181  ax-bdeq 13182  ax-bdel 13183  ax-bdsb 13184  ax-bdsep 13246
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-dif 3076  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-nul 3367  df-sn 3536  df-pr 3537  df-uni 3743  df-int 3778  df-suc 4299  df-iom 4511  df-bdc 13203  df-bj-ind 13289
This theorem is referenced by:  bj-omex  13304
  Copyright terms: Public domain W3C validator