Theorem bj-2inf 16708

Description: Two formulations of the axiom of infinity (see ax-infvn 16711 and bj-omex 16712) . (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-2inf	|- ( om e. _V <-> E. x (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem bj-2inf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . . 4 |- om = om
2		bj-om 16707	. . . 4 |- ( om e. _V -> ( om = om <-> (Ind om /\ A. y (Ind y -> om C_ y ) ) ) )
3	1, 2	mpbii 148	. . 3 |- ( om e. _V -> (Ind om /\ A. y (Ind y -> om C_ y ) ) )
4		bj-indeq 16699	. . . . 5 |- ( x = om -> (Ind x <-> Ind om ) )
5		sseq1 3261	. . . . . . 7 |- ( x = om -> ( x C_ y <-> om C_ y ) )
6	5	imbi2d 230	. . . . . 6 |- ( x = om -> ( (Ind y -> x C_ y ) <-> (Ind y -> om C_ y ) ) )
7	6	albidv 1873	. . . . 5 |- ( x = om -> ( A. y (Ind y -> x C_ y ) <-> A. y (Ind y -> om C_ y ) ) )
8	4, 7	anbi12d 473	. . . 4 |- ( x = om -> ( (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) <-> (Ind om /\ A. y (Ind y -> om C_ y ) ) ) )
9	8	spcegv 2905	. . 3 |- ( om e. _V -> ( (Ind om /\ A. y (Ind y -> om C_ y ) ) -> E. x (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) ) )
10	3, 9	mpd 13	. 2 |- ( om e. _V -> E. x (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) )
11		vex 2816	. . . . . 6 |- x e. _V
12		bj-om 16707	. . . . . 6 |- ( x e. _V -> ( x = om <-> (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) ) )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( x = om <-> (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) )
14	13	biimpri 133	. . . 4 |- ( (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) -> x = om )
15	14	eximi 1649	. . 3 |- ( E. x (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) -> E. x x = om )
16		isset 2820	. . 3 |- ( om e. _V <-> E. x x = om )
17	15, 16	sylibr 134	. 2 |- ( E. x (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) -> om e. _V )
18	10, 17	impbii 126	1 |- ( om e. _V <-> E. x (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1396   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   C_ wss 3211   omcom 4712  Ind wind 16696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-nul 4236  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-bd0 16583  ax-bdor 16586  ax-bdex 16589  ax-bdeq 16590  ax-bdel 16591  ax-bdsb 16592  ax-bdsep 16654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-sn 3695  df-pr 3696  df-uni 3915  df-int 3950  df-suc 4492  df-iom 4713  df-bdc 16611  df-bj-ind 16697

This theorem is referenced by:  bj-omex  16712