Theorem bj-2inf 11490

Description: Two formulations of the axiom of infinity (see ax-infvn 11493 and bj-omex 11494) . (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-2inf	|- ( om e. _V <-> E. x (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem bj-2inf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2088	. . . 4 |- om = om
2		bj-om 11489	. . . 4 |- ( om e. _V -> ( om = om <-> (Ind om /\ A. y (Ind y -> om C_ y ) ) ) )
3	1, 2	mpbii 146	. . 3 |- ( om e. _V -> (Ind om /\ A. y (Ind y -> om C_ y ) ) )
4		bj-indeq 11481	. . . . 5 |- ( x = om -> (Ind x <-> Ind om ) )
5		sseq1 3045	. . . . . . 7 |- ( x = om -> ( x C_ y <-> om C_ y ) )
6	5	imbi2d 228	. . . . . 6 |- ( x = om -> ( (Ind y -> x C_ y ) <-> (Ind y -> om C_ y ) ) )
7	6	albidv 1752	. . . . 5 |- ( x = om -> ( A. y (Ind y -> x C_ y ) <-> A. y (Ind y -> om C_ y ) ) )
8	4, 7	anbi12d 457	. . . 4 |- ( x = om -> ( (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) <-> (Ind om /\ A. y (Ind y -> om C_ y ) ) ) )
9	8	spcegv 2707	. . 3 |- ( om e. _V -> ( (Ind om /\ A. y (Ind y -> om C_ y ) ) -> E. x (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) ) )
10	3, 9	mpd 13	. 2 |- ( om e. _V -> E. x (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) )
11		vex 2622	. . . . . 6 |- x e. _V
12		bj-om 11489	. . . . . 6 |- ( x e. _V -> ( x = om <-> (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) ) )
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . 5 |- ( x = om <-> (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) )
14	13	biimpri 131	. . . 4 |- ( (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) -> x = om )
15	14	eximi 1536	. . 3 |- ( E. x (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) -> E. x x = om )
16		isset 2625	. . 3 |- ( om e. _V <-> E. x x = om )
17	15, 16	sylibr 132	. 2 |- ( E. x (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) -> om e. _V )
18	10, 17	impbii 124	1 |- ( om e. _V <-> E. x (Ind x /\ A. y (Ind y -> x C_ y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wal 1287   = wceq 1289   E.wex 1426   e. wcel 1438   _Vcvv 2619   C_ wss 2997   omcom 4395  Ind wind 11478

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-nul 3957  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-bd0 11361  ax-bdor 11364  ax-bdex 11367  ax-bdeq 11368  ax-bdel 11369  ax-bdsb 11370  ax-bdsep 11432

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-sn 3447  df-pr 3448  df-uni 3649  df-int 3684  df-suc 4189  df-iom 4396  df-bdc 11389  df-bj-ind 11479

This theorem is referenced by:  bj-omex  11494