Theorem brres 5025

Description: Binary relation on a restriction. (Contributed by NM, 12-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
opelres.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brres	⊢ (𝐴(𝐶 ↾ 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelres.1	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
2	1	opelres 5024	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 ↾ 𝐷) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷))
3		df-br 4094	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 ↾ 𝐷)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 ↾ 𝐷))
4		df-br 4094	. . 3 ⊢ (𝐴𝐶𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶)
5	4	anbi1i 458	. 2 ⊢ ((𝐴𝐶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷))
6	2, 3, 5	3bitr4i 212	1 ⊢ (𝐴(𝐶 ↾ 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803  ⟨cop 3676   class class class wbr 4093   ↾ cres 4733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-res 4743

This theorem is referenced by:  dfres2  5071  dfima2  5084  poirr2  5136  cores  5247  resco  5248  rnco  5250  fnres  5456  fvres  5672  nfunsn  5685  1stconst  6395  2ndconst  6396