Theorem brres 4915

Description: Binary relation on a restriction. (Contributed by NM, 12-Dec-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
opelres.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
brres	⊢ (𝐴(𝐶 ↾ 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷))

Proof of Theorem brres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelres.1	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
2	1	opelres 4914	. 2 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 ↾ 𝐷) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷))
3		df-br 4006	. 2 ⊢ (𝐴(𝐶 ↾ 𝐷)𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 ↾ 𝐷))
4		df-br 4006	. . 3 ⊢ (𝐴𝐶𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶)
5	4	anbi1i 458	. 2 ⊢ ((𝐴𝐶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷) ↔ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝐶 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷))
6	2, 3, 5	3bitr4i 212	1 ⊢ (𝐴(𝐶 ↾ 𝐷)𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐷))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739  ⟨cop 3597   class class class wbr 4005   ↾ cres 4630

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-res 4640

This theorem is referenced by:  dfres2  4961  dfima2  4974  poirr2  5023  cores  5134  resco  5135  rnco  5137  fnres  5334  fvres  5541  nfunsn  5551  1stconst  6224  2ndconst  6225