Theorem seq3caopr 10712

Description: The sum of two infinite series (generalized to an arbitrary commutative and associative operation). (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3caopr.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seq3caopr.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
seq3caopr.3	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
seq3caopr.4	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seq3caopr.5	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. S )
seq3caopr.6	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. S )
seq3caopr.7	|- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) .+ ( G ` k ) ) )

Assertion

Ref	Expression
seq3caopr	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   .+ , k, x, y, z   k, F   k, G   k, H   k, M   k, N   S, k, x, y, z   ph, k, x, y, z

Allowed substitution hints:   F( x, y, z)   G( x, y, z)   H( x, y, z)   M( x, y, z)   N( x, y, z)

Proof of Theorem seq3caopr

Dummy variables a b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3caopr.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
2	1	caovclg 6157	. 2 |- ( ( ph /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( a .+ b ) e. S )
3		simpl 109	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( c e. S /\ d e. S ) ) ) -> ph )
4		simprrl 539	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( c e. S /\ d e. S ) ) ) -> c e. S )
5		simprlr 538	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( c e. S /\ d e. S ) ) ) -> b e. S )
6		seq3caopr.2	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) = ( y .+ x ) )
7	6	caovcomg 6160	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( c e. S /\ b e. S ) ) -> ( c .+ b ) = ( b .+ c ) )
8	3, 4, 5, 7	syl12anc 1269	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( c e. S /\ d e. S ) ) ) -> ( c .+ b ) = ( b .+ c ) )
9	8	oveq1d 6015	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( c e. S /\ d e. S ) ) ) -> ( ( c .+ b ) .+ d ) = ( ( b .+ c ) .+ d ) )
10		simprrr 540	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( c e. S /\ d e. S ) ) ) -> d e. S )
11		seq3caopr.3	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S /\ z e. S ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
12	11	caovassg 6163	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( c e. S /\ b e. S /\ d e. S ) ) -> ( ( c .+ b ) .+ d ) = ( c .+ ( b .+ d ) ) )
13	3, 4, 5, 10, 12	syl13anc 1273	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( c e. S /\ d e. S ) ) ) -> ( ( c .+ b ) .+ d ) = ( c .+ ( b .+ d ) ) )
14	11	caovassg 6163	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( b e. S /\ c e. S /\ d e. S ) ) -> ( ( b .+ c ) .+ d ) = ( b .+ ( c .+ d ) ) )
15	3, 5, 4, 10, 14	syl13anc 1273	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( c e. S /\ d e. S ) ) ) -> ( ( b .+ c ) .+ d ) = ( b .+ ( c .+ d ) ) )
16	9, 13, 15	3eqtr3d 2270	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( c e. S /\ d e. S ) ) ) -> ( c .+ ( b .+ d ) ) = ( b .+ ( c .+ d ) ) )
17	16	oveq2d 6016	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( c e. S /\ d e. S ) ) ) -> ( a .+ ( c .+ ( b .+ d ) ) ) = ( a .+ ( b .+ ( c .+ d ) ) ) )
18		simprll 537	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( c e. S /\ d e. S ) ) ) -> a e. S )
19	1	caovclg 6157	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( b e. S /\ d e. S ) ) -> ( b .+ d ) e. S )
20	3, 5, 10, 19	syl12anc 1269	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( c e. S /\ d e. S ) ) ) -> ( b .+ d ) e. S )
21	11	caovassg 6163	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. S /\ c e. S /\ ( b .+ d ) e. S ) ) -> ( ( a .+ c ) .+ ( b .+ d ) ) = ( a .+ ( c .+ ( b .+ d ) ) ) )
22	3, 18, 4, 20, 21	syl13anc 1273	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( c e. S /\ d e. S ) ) ) -> ( ( a .+ c ) .+ ( b .+ d ) ) = ( a .+ ( c .+ ( b .+ d ) ) ) )
23	1	caovclg 6157	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( c e. S /\ d e. S ) ) -> ( c .+ d ) e. S )
24	23	adantrl 478	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( c e. S /\ d e. S ) ) ) -> ( c .+ d ) e. S )
25	11	caovassg 6163	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. S /\ b e. S /\ ( c .+ d ) e. S ) ) -> ( ( a .+ b ) .+ ( c .+ d ) ) = ( a .+ ( b .+ ( c .+ d ) ) ) )
26	3, 18, 5, 24, 25	syl13anc 1273	. . 3 |- ( ( ph /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( c e. S /\ d e. S ) ) ) -> ( ( a .+ b ) .+ ( c .+ d ) ) = ( a .+ ( b .+ ( c .+ d ) ) ) )
27	17, 22, 26	3eqtr4d 2272	. 2 |- ( ( ph /\ ( ( a e. S /\ b e. S ) /\ ( c e. S /\ d e. S ) ) ) -> ( ( a .+ c ) .+ ( b .+ d ) ) = ( ( a .+ b ) .+ ( c .+ d ) ) )
28		seq3caopr.4	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
29		seq3caopr.5	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` k ) e. S )
30		seq3caopr.6	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` k ) e. S )
31		seq3caopr.7	. 2 |- ( ( ph /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` k ) = ( ( F ` k ) .+ ( G ` k ) ) )
32	2, 2, 27, 28, 29, 30, 31	seq3caopr2 10710	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , H ) ` N ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` N ) .+ ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   ZZ>=cuz 9718   seqcseq 10664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-seqfrec 10665

This theorem is referenced by:  ser3add  10739  prod3fmul  12047