Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frecuzrdgsuc Unicode version

Theorem frecuzrdgsuc 10306
 Description: Successor value of a recursive definition generator on upper integers. See comment in frec2uz0d 10291 for the description of as the mapping from to . (Contributed by Jim Kingdon, 28-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uz.1
frec2uz.2 frec
frecuzrdgrrn.a
frecuzrdgrrn.f
frecuzrdgrrn.2 frec
frecuzrdgtcl.3
Assertion
Ref Expression
frecuzrdgsuc
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem frecuzrdgsuc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frec2uz.1 . . . . . . 7
21adantr 274 . . . . . 6
3 frec2uz.2 . . . . . 6 frec
4 frecuzrdgrrn.a . . . . . . 7
54adantr 274 . . . . . 6
6 frecuzrdgrrn.f . . . . . . 7
76adantlr 469 . . . . . 6
8 frecuzrdgrrn.2 . . . . . 6 frec
9 peano2uz 9488 . . . . . . 7
109adantl 275 . . . . . 6
112, 3, 5, 7, 8, 10frecuzrdglem 10303 . . . . 5
12 frecuzrdgtcl.3 . . . . . 6
1312adantr 274 . . . . 5
1411, 13eleqtrrd 2237 . . . 4
151, 3, 4, 6, 8, 12frecuzrdgtcl 10304 . . . . . . 7
16 ffun 5321 . . . . . . 7
1715, 16syl 14 . . . . . 6
18 funopfv 5507 . . . . . 6
1917, 18syl 14 . . . . 5
2019adantr 274 . . . 4
2114, 20mpd 13 . . 3
221, 3frec2uzf1od 10298 . . . . . . . . 9
23 f1ocnvdm 5728 . . . . . . . . 9
2422, 23sylan 281 . . . . . . . 8
252, 3, 24frec2uzsucd 10293 . . . . . . 7
26 f1ocnvfv2 5725 . . . . . . . . 9
2722, 26sylan 281 . . . . . . . 8
2827oveq1d 5836 . . . . . . 7
2925, 28eqtrd 2190 . . . . . 6
30 peano2 4553 . . . . . . . 8
3124, 30syl 14 . . . . . . 7
32 f1ocnvfv 5726 . . . . . . 7
3322, 31, 32syl2an2r 585 . . . . . 6
3429, 33mpd 13 . . . . 5
3534fveq2d 5471 . . . 4
3635fveq2d 5471 . . 3
3721, 36eqtrd 2190 . 2
38 1st2nd2 6120 . . . . . . . . . . 11
3938adantl 275 . . . . . . . . . 10
4039fveq2d 5471 . . . . . . . . 9
41 df-ov 5824 . . . . . . . . . . 11
42 xp1st 6110 . . . . . . . . . . . . 13
4342adantl 275 . . . . . . . . . . . 12
44 xp2nd 6111 . . . . . . . . . . . . 13
4544adantl 275 . . . . . . . . . . . 12
46 peano2uz 9488 . . . . . . . . . . . . . 14
4743, 46syl 14 . . . . . . . . . . . . 13
48 oveq2 5829 . . . . . . . . . . . . . . 15
4948eleq1d 2226 . . . . . . . . . . . . . 14
50 oveq1 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5150eleq1d 2226 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5251ralbidv 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15
536ralrimivva 2539 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5453ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15
5552, 54, 43rspcdva 2821 . . . . . . . . . . . . . 14
5649, 55, 45rspcdva 2821 . . . . . . . . . . . . 13
57 opelxp 4615 . . . . . . . . . . . . 13
5847, 56, 57sylanbrc 414 . . . . . . . . . . . 12
59 oveq1 5828 . . . . . . . . . . . . . 14
6059, 50opeq12d 3749 . . . . . . . . . . . . 13
6148opeq2d 3748 . . . . . . . . . . . . 13
62 eqid 2157 . . . . . . . . . . . . 13
6360, 61, 62ovmpog 5952 . . . . . . . . . . . 12
6443, 45, 58, 63syl3anc 1220 . . . . . . . . . . 11
6541, 64eqtr3id 2204 . . . . . . . . . 10
6665, 58eqeltrd 2234 . . . . . . . . 9
6740, 66eqeltrd 2234 . . . . . . . 8
6867ralrimiva 2530 . . . . . . 7
69 uzid 9447 . . . . . . . . 9
702, 69syl 14 . . . . . . . 8
71 opelxp 4615 . . . . . . . 8
7270, 5, 71sylanbrc 414 . . . . . . 7
73 frecsuc 6351 . . . . . . 7 frec frec
7468, 72, 24, 73syl3anc 1220 . . . . . 6 frec frec
758fveq1i 5468 . . . . . 6 frec
768fveq1i 5468 . . . . . . 7 frec
7776fveq2i 5470 . . . . . 6 frec
7874, 75, 773eqtr4g 2215 . . . . 5
792, 3, 5, 7, 8, 24frec2uzrdg 10301 . . . . . . 7
8079fveq2d 5471 . . . . . 6
81 df-ov 5824 . . . . . 6
8280, 81eqtr4di 2208 . . . . 5
832, 3, 24frec2uzuzd 10294 . . . . . 6
842, 3, 5, 7, 8frecuzrdgrrn 10300 . . . . . . . 8
8524, 84mpdan 418 . . . . . . 7
86 xp2nd 6111 . . . . . . 7
8785, 86syl 14 . . . . . 6
8828, 10eqeltrd 2234 . . . . . . 7
897caovclg 5970 . . . . . . . 8
9089, 83, 87caovcld 5971 . . . . . . 7
91 opelxp 4615 . . . . . . 7
9288, 90, 91sylanbrc 414 . . . . . 6
93 oveq1 5828 . . . . . . . 8
94 oveq1 5828 . . . . . . . 8
9593, 94opeq12d 3749 . . . . . . 7
96 oveq2 5829 . . . . . . . 8
9796opeq2d 3748 . . . . . . 7
98 oveq1 5828 . . . . . . . . 9
99 oveq1 5828 . . . . . . . . 9
10098, 99opeq12d 3749 . . . . . . . 8
101 oveq2 5829 . . . . . . . . 9
102101opeq2d 3748 . . . . . . . 8
103100, 102cbvmpov 5898 . . . . . . 7
10495, 97, 103ovmpog 5952 . . . . . 6
10583, 87, 92, 104syl3anc 1220 . . . . 5
10678, 82, 1053eqtrd 2194 . . . 4
107106fveq2d 5471 . . 3
108 op2ndg 6096 . . . 4
10988, 90, 108syl2anc 409 . . 3
110107, 109eqtrd 2190 . 2
111 simpr 109 . . . . . . 7
1122, 3, 5, 7, 8, 111frecuzrdglem 10303 . . . . . 6
113112, 13eleqtrrd 2237 . . . . 5
114 funopfv 5507 . . . . . . 7
11517, 114syl 14 . . . . . 6
116115adantr 274 . . . . 5
117113, 116mpd 13 . . . 4
118117eqcomd 2163 . . 3
11927, 118oveq12d 5839 . 2
12037, 110, 1193eqtrd 2194 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1335   wcel 2128  wral 2435  cop 3563   cmpt 4025   csuc 4325  com 4548   cxp 4583  ccnv 4584   crn 4586   wfun 5163  wf 5165  wf1o 5168  cfv 5169  (class class class)co 5821   cmpo 5823  c1st 6083  c2nd 6084  freccfrec 6334  c1 7727   caddc 7729  cz 9161  cuz 9433 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-addcom 7826  ax-addass 7828  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-ltadd 7842 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-frec 6335  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-inn 8828  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator