Theorem seqf 10265

Description: Range of the recursive sequence builder. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqf.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
seqf.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
seqf.3	|- ( ( ph /\ x e. Z ) -> ( F ` x ) e. S )
seqf.4	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
seqf	|- ( ph -> seq M ( .+ , F ) : Z --> S )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, F, y   x, M, y   x, S, y   x, Z   ph, x, y

Allowed substitution hint:   Z( y)

Proof of Theorem seqf

Dummy variables a b s t w z u v c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqf.2	. . 3 |- ( ph -> M e. ZZ )
2		fveq2 5429	. . . . 5 |- ( x = M -> ( F ` x ) = ( F ` M ) )
3	2	eleq1d 2209	. . . 4 |- ( x = M -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` M ) e. S ) )
4		seqf.3	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. Z ) -> ( F ` x ) e. S )
5	4	ralrimiva 2508	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. Z ( F ` x ) e. S )
6		uzid 9364	. . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
7	1, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
8		seqf.1	. . . . 5 |- Z = ( ZZ>= ` M )
9	7, 8	eleqtrrdi 2234	. . . 4 |- ( ph -> M e. Z )
10	3, 5, 9	rspcdva 2798	. . 3 |- ( ph -> ( F ` M ) e. S )
11		ssv 3124	. . . 4 |- S C_ _V
12	11	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> S C_ _V )
13		simprl 521	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) -> x e. ( ZZ>= ` M ) )
14		simprr 522	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) -> y e. S )
15		seqf.4	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
16	15	caovclg 5931	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( a .+ b ) e. S )
17	16	adantlr 469	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( a .+ b ) e. S )
18		fveq2 5429	. . . . . . . 8 |- ( c = ( x + 1 ) -> ( F ` c ) = ( F ` ( x + 1 ) ) )
19	18	eleq1d 2209	. . . . . . 7 |- ( c = ( x + 1 ) -> ( ( F ` c ) e. S <-> ( F ` ( x + 1 ) ) e. S ) )
20		fveq2 5429	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = c -> ( F ` x ) = ( F ` c ) )
21	20	eleq1d 2209	. . . . . . . . . 10 |- ( x = c -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` c ) e. S ) )
22	21	cbvralv 2657	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. Z ( F ` x ) e. S <-> A. c e. Z ( F ` c ) e. S )
23	5, 22	sylib 121	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. c e. Z ( F ` c ) e. S )
24	23	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) -> A. c e. Z ( F ` c ) e. S )
25		peano2uz 9405	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( x + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
26	25, 8	eleqtrrdi 2234	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> ( x + 1 ) e. Z )
27	13, 26	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) -> ( x + 1 ) e. Z )
28	19, 24, 27	rspcdva 2798	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) -> ( F ` ( x + 1 ) ) e. S )
29	17, 14, 28	caovcld 5932	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) -> ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) e. S )
30		fvoveq1 5805	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( F ` ( z + 1 ) ) = ( F ` ( x + 1 ) ) )
31	30	oveq2d 5798	. . . . . 6 |- ( z = x -> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) = ( w .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
32		oveq1 5789	. . . . . 6 |- ( w = y -> ( w .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) = ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
33		eqid 2140	. . . . . 6 |- ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) = ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) )
34	31, 32, 33	ovmpog 5913	. . . . 5 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S /\ ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) e. S ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) = ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
35	13, 14, 29, 34	syl3anc 1217	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) = ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) )
36	35, 29	eqeltrd 2217	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) e. S )
37		iseqvalcbv 10261	. . 3 |- frec ( ( s e. ( ZZ>= ` M ) , t e. _V |-> <. ( s + 1 ) , ( s ( u e. ( ZZ>= ` M ) , v e. S |-> ( v .+ ( F ` ( u + 1 ) ) ) ) t ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
38	8	eleq2i 2207	. . . . 5 |- ( x e. Z <-> x e. ( ZZ>= ` M ) )
39	38, 4	sylan2br 286	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
40	1, 37, 39, 15	seq3val 10262	. . 3 |- ( ph -> seq M ( .+ , F ) = ran frec ( ( s e. ( ZZ>= ` M ) , t e. _V |-> <. ( s + 1 ) , ( s ( u e. ( ZZ>= ` M ) , v e. S |-> ( v .+ ( F ` ( u + 1 ) ) ) ) t ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) )
41	1, 10, 12, 36, 37, 40	frecuzrdgtclt 10225	. 2 |- ( ph -> seq M ( .+ , F ) : ( ZZ>= ` M ) --> S )
42	8	a1i 9	. . 3 |- ( ph -> Z = ( ZZ>= ` M ) )
43	42	feq2d 5268	. 2 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) : Z --> S <-> seq M ( .+ , F ) : ( ZZ>= ` M ) --> S ) )
44	41, 43	mpbird 166	1 |- ( ph -> seq M ( .+ , F ) : Z --> S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   _Vcvv 2689   C_ wss 3076   <.cop 3535   -->wf 5127   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   e. cmpo 5784  freccfrec 6295   1c1 7645   + caddc 7647   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350   seqcseq 10249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-seqfrec 10250

This theorem is referenced by:  seq3p1  10266  seq3feq2  10274  seq3feq  10276  serf  10278  serfre  10279  seq3split  10283  seq3caopr2  10286  seq3f1olemqsumkj  10302  seq3homo  10314  seq3z  10315  seqfeq3  10316  seq3distr  10317  ser3ge0  10321  exp3vallem  10325  exp3val  10326  facnn  10505  fac0  10506  bcval5  10541  seq3coll  10617  seq3shft  10642  resqrexlemf  10811  prodf  11339  algrf  11762