Theorem seq3val 10350

Description: Value of the sequence builder function. This helps expand the definition although there should be little need for it once we have proved seqf 10353, seq3-1 10352 and seq3p1 10354, as further development can be done in terms of those. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3val.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
seq3val.r	|- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
seq3val.f	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seq3val.pl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
seq3val	|- ( ph -> seq M ( .+ , F ) = ran R )

Distinct variable groups:   x, .+ , y, w, z   x, F, y, w, z   x, M, y, w, z   x, R, y, w, z   x, S, y, w, z   ph, x, y, w, z

Proof of Theorem seq3val

Dummy variables a b k c n u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-seqfrec 10338	. 2 |- seq M ( .+ , F ) = ran frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
2		seq3val.m	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ZZ )
3		fveq2 5467	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( F ` x ) = ( F ` M ) )
4	3	eleq1d 2226	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` M ) e. S ) )
5		seq3val.f	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
6	5	ralrimiva 2530	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` x ) e. S )
7		uzid 9447	. . . . . . . 8 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
8	2, 7	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
9	4, 6, 8	rspcdva 2821	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` M ) e. S )
10		ssv 3150	. . . . . . 7 |- S C_ _V
11	10	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> S C_ _V )
12		seq3val.pl	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
13	5, 12	iseqovex 10348	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ y e. S ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) e. S )
14		seq3val.r	. . . . . 6 |- R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. )
15	2, 9, 11, 13, 14	frecuzrdgrclt 10307	. . . . 5 |- ( ph -> R : om --> ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) )
16		ffn 5318	. . . . 5 |- ( R : om --> ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) -> R Fn om )
17	15, 16	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> R Fn om )
18		1st2nd2 6120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) -> u = <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. )
19	18	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ) -> u = <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. )
20	19	fveq2d 5471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` u ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. ) )
21		df-ov 5824	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1st ` u ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ( 2nd ` u ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. )
22	20, 21	eqtr4di 2208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` u ) = ( ( 1st ` u ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ( 2nd ` u ) ) )
23		xp1st 6110	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) -> ( 1st ` u ) e. ( ZZ>= ` M ) )
24	23	adantl 275	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ) -> ( 1st ` u ) e. ( ZZ>= ` M ) )
25		xp2nd 6111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) -> ( 2nd ` u ) e. S )
26	25	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ) -> ( 2nd ` u ) e. S )
27	26	elexd 2725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ) -> ( 2nd ` u ) e. _V )
28		peano2uz 9488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1st ` u ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( 1st ` u ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
29	24, 28	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ) -> ( ( 1st ` u ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
30	12	caovclg 5970	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( a .+ b ) e. S )
31	30	adantlr 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ) /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( a .+ b ) e. S )
32		fveq2 5467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( ( 1st ` u ) + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) )
33	32	eleq1d 2226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( ( 1st ` u ) + 1 ) -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) e. S ) )
34	6	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ) -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` x ) e. S )
35	33, 34, 29	rspcdva 2821	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ) -> ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) e. S )
36	31, 26, 35	caovcld 5971	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ) -> ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) e. S )
37		opelxpi 4617	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( 1st ` u ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) e. S ) -> <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) )
38	29, 36, 37	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ) -> <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) )
39		oveq1 5828	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( 1st ` u ) -> ( x + 1 ) = ( ( 1st ` u ) + 1 ) )
40		fvoveq1 5844	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( 1st ` u ) -> ( F ` ( x + 1 ) ) = ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) )
41	40	oveq2d 5837	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( 1st ` u ) -> ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) = ( y .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) )
42	39, 41	opeq12d 3749	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( 1st ` u ) -> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. = <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) >. )
43		oveq1 5828	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( 2nd ` u ) -> ( y .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) = ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) )
44	43	opeq2d 3748	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( 2nd ` u ) -> <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) >. = <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) >. )
45		eqid 2157	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. )
46	42, 44, 45	ovmpog 5952	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1st ` u ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( 2nd ` u ) e. _V /\ <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ) -> ( ( 1st ` u ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ( 2nd ` u ) ) = <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) >. )
47	24, 27, 38, 46	syl3anc 1220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ) -> ( ( 1st ` u ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ( 2nd ` u ) ) = <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) >. )
48	22, 47	eqtrd 2190	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` u ) = <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) >. )
49	48, 38	eqeltrd 2234	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` u ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) )
50	49	ralrimiva 2530	. . . . . 6 |- ( ph -> A. u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` u ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) )
51		opelxpi 4617	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( F ` M ) e. S ) -> <. M , ( F ` M ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) )
52	8, 9, 51	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ph -> <. M , ( F ` M ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) )
53	50, 52	jca 304	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` u ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) /\ <. M , ( F ` M ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ) )
54		frecfcl 6349	. . . . 5 |- ( ( A. u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` u ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) /\ <. M , ( F ` M ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ) -> frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) : om --> ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) )
55		ffn 5318	. . . . 5 |- (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) : om --> ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) -> frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) Fn om )
56	53, 54, 55	3syl 17	. . . 4 |- ( ph -> frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) Fn om )
57		fveq2 5467	. . . . . . . 8 |- ( c = (/) -> ( R ` c ) = ( R ` (/) ) )
58		fveq2 5467	. . . . . . . 8 |- ( c = (/) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` (/) ) )
59	57, 58	eqeq12d 2172	. . . . . . 7 |- ( c = (/) -> ( ( R ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) <-> ( R ` (/) ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` (/) ) ) )
60	59	imbi2d 229	. . . . . 6 |- ( c = (/) -> ( ( ph -> ( R ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) ) <-> ( ph -> ( R ` (/) ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` (/) ) ) ) )
61		fveq2 5467	. . . . . . . 8 |- ( c = k -> ( R ` c ) = ( R ` k ) )
62		fveq2 5467	. . . . . . . 8 |- ( c = k -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) )
63	61, 62	eqeq12d 2172	. . . . . . 7 |- ( c = k -> ( ( R ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) <-> ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) )
64	63	imbi2d 229	. . . . . 6 |- ( c = k -> ( ( ph -> ( R ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) ) <-> ( ph -> ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) ) )
65		fveq2 5467	. . . . . . . 8 |- ( c = suc k -> ( R ` c ) = ( R ` suc k ) )
66		fveq2 5467	. . . . . . . 8 |- ( c = suc k -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) )
67	65, 66	eqeq12d 2172	. . . . . . 7 |- ( c = suc k -> ( ( R ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) <-> ( R ` suc k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) ) )
68	67	imbi2d 229	. . . . . 6 |- ( c = suc k -> ( ( ph -> ( R ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) ) <-> ( ph -> ( R ` suc k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) ) ) )
69		fveq2 5467	. . . . . . . 8 |- ( c = n -> ( R ` c ) = ( R ` n ) )
70		fveq2 5467	. . . . . . . 8 |- ( c = n -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` n ) )
71	69, 70	eqeq12d 2172	. . . . . . 7 |- ( c = n -> ( ( R ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) <-> ( R ` n ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` n ) ) )
72	71	imbi2d 229	. . . . . 6 |- ( c = n -> ( ( ph -> ( R ` c ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` c ) ) <-> ( ph -> ( R ` n ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` n ) ) ) )
73	14	fveq1i 5468	. . . . . . . 8 |- ( R ` (/) ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` (/) )
74		frec0g 6341	. . . . . . . . 9 |- ( <. M , ( F ` M ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` (/) ) = <. M , ( F ` M ) >. )
75	52, 74	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` (/) ) = <. M , ( F ` M ) >. )
76	73, 75	syl5eq 2202	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( R ` (/) ) = <. M , ( F ` M ) >. )
77		frec0g 6341	. . . . . . . 8 |- ( <. M , ( F ` M ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` (/) ) = <. M , ( F ` M ) >. )
78	52, 77	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` (/) ) = <. M , ( F ` M ) >. )
79	76, 78	eqtr4d 2193	. . . . . 6 |- ( ph -> ( R ` (/) ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` (/) ) )
80	15	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> R : om --> ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) )
81		simpll 519	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> k e. om )
82	80, 81	ffvelrnd 5602	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( R ` k ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) )
83		xp1st 6110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R ` k ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) -> ( 1st ` ( R ` k ) ) e. ( ZZ>= ` M ) )
84	82, 83	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( 1st ` ( R ` k ) ) e. ( ZZ>= ` M ) )
85		xp2nd 6111	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( R ` k ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) -> ( 2nd ` ( R ` k ) ) e. S )
86	82, 85	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( 2nd ` ( R ` k ) ) e. S )
87	86	elexd 2725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( 2nd ` ( R ` k ) ) e. _V )
88	30	adantll 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( a .+ b ) e. S )
89	88	adantlr 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) /\ ( a e. S /\ b e. S ) ) -> ( a .+ b ) e. S )
90		fveq2 5467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) -> ( F ` a ) = ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) )
91	90	eleq1d 2226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) -> ( ( F ` a ) e. S <-> ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) e. S ) )
92		fveq2 5467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = a -> ( F ` x ) = ( F ` a ) )
93	92	eleq1d 2226	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = a -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` a ) e. S ) )
94	93	cbvralv 2680	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` x ) e. S <-> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` a ) e. S )
95	6, 94	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` a ) e. S )
96	95	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> A. a e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` a ) e. S )
97		peano2uz 9488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1st ` ( R ` k ) ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
98	84, 97	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
99	91, 96, 98	rspcdva 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) e. S )
100	89, 86, 99	caovcld 5971	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) e. S )
101		fvoveq1 5844	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = ( 1st ` ( R ` k ) ) -> ( F ` ( z + 1 ) ) = ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) )
102	101	oveq2d 5837	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = ( 1st ` ( R ` k ) ) -> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) = ( w .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) )
103		oveq1 5828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = ( 2nd ` ( R ` k ) ) -> ( w .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) = ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) )
104		eqid 2157	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) = ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) )
105	102, 103, 104	ovmpog 5952	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1st ` ( R ` k ) ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( 2nd ` ( R ` k ) ) e. S /\ ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) e. S ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) = ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) )
106	84, 86, 100, 105	syl3anc 1220	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) = ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) )
107	106	opeq2d 3748	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) >. = <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) >. )
108	106, 100	eqeltrd 2234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) e. S )
109		opelxpi 4617	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) e. S ) -> <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) )
110	98, 108, 109	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) )
111	107, 110	eqeltrrd 2235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) )
112		oveq1 5828	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( 1st ` ( R ` k ) ) -> ( x + 1 ) = ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) )
113		fvoveq1 5844	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( 1st ` ( R ` k ) ) -> ( F ` ( x + 1 ) ) = ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) )
114	113	oveq2d 5837	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( 1st ` ( R ` k ) ) -> ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) = ( y .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) )
115	112, 114	opeq12d 3749	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( 1st ` ( R ` k ) ) -> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. = <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) >. )
116		oveq1 5828	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( 2nd ` ( R ` k ) ) -> ( y .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) = ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) )
117	116	opeq2d 3748	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( 2nd ` ( R ` k ) ) -> <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) >. = <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) >. )
118	115, 117, 45	ovmpog 5952	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( 1st ` ( R ` k ) ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( 2nd ` ( R ` k ) ) e. _V /\ <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) = <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) >. )
119	84, 87, 111, 118	syl3anc 1220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) = <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) >. )
120	50	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> A. u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` u ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) )
121	52	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> <. M , ( F ` M ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) )
122		frecsuc 6351	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` u ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) /\ <. M , ( F ` M ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) /\ k e. om ) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) )
123	120, 121, 81, 122	syl3anc 1220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) )
124		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) )
125	124	fveq2d 5471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` ( R ` k ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) )
126	123, 125	eqtr4d 2193	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` ( R ` k ) ) )
127		1st2nd2 6120	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R ` k ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) -> ( R ` k ) = <. ( 1st ` ( R ` k ) ) , ( 2nd ` ( R ` k ) ) >. )
128	82, 127	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( R ` k ) = <. ( 1st ` ( R ` k ) ) , ( 2nd ` ( R ` k ) ) >. )
129	128	fveq2d 5471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` ( R ` k ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` <. ( 1st ` ( R ` k ) ) , ( 2nd ` ( R ` k ) ) >. ) )
130		df-ov 5824	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` <. ( 1st ` ( R ` k ) ) , ( 2nd ` ( R ` k ) ) >. )
131	129, 130	eqtr4di 2208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ` ( R ` k ) ) = ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) )
132	126, 131	eqtrd 2190	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) = ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) )
133	14	fveq1i 5468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R ` suc k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k )
134	19	fveq2d 5471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` u ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. ) )
135		df-ov 5824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 1st ` u ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ( 2nd ` u ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. )
136	134, 135	eqtr4di 2208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` u ) = ( ( 1st ` u ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ( 2nd ` u ) ) )
137		fvoveq1 5844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( z = ( 1st ` u ) -> ( F ` ( z + 1 ) ) = ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) )
138	137	oveq2d 5837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z = ( 1st ` u ) -> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) = ( w .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) )
139		oveq1 5828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( w = ( 2nd ` u ) -> ( w .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) = ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) )
140	138, 139, 104	ovmpog 5952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( 1st ` u ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( 2nd ` u ) e. S /\ ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) e. S ) -> ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) = ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) )
141	24, 26, 36, 140	syl3anc 1220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ) -> ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) = ( ( 2nd ` u ) .+ ( F ` ( ( 1st ` u ) + 1 ) ) ) )
142	141, 36	eqeltrd 2234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ) -> ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) e. S )
143		opelxpi 4617	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( 1st ` u ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) e. S ) -> <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) )
144	29, 142, 143	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ) -> <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) )
145		oveq1 5828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( x = ( 1st ` u ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) = ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) )
146	39, 145	opeq12d 3749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x = ( 1st ` u ) -> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. = <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. )
147		oveq2 5829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( y = ( 2nd ` u ) -> ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) = ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) )
148	147	opeq2d 3748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( y = ( 2nd ` u ) -> <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. = <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) >. )
149		eqid 2157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) = ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. )
150	146, 148, 149	ovmpog 5952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( 1st ` u ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( 2nd ` u ) e. _V /\ <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ) -> ( ( 1st ` u ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ( 2nd ` u ) ) = <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) >. )
151	24, 27, 144, 150	syl3anc 1220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ) -> ( ( 1st ` u ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ( 2nd ` u ) ) = <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) >. )
152	136, 151	eqtrd 2190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` u ) = <. ( ( 1st ` u ) + 1 ) , ( ( 1st ` u ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` u ) ) >. )
153	152, 144	eqeltrd 2234	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` u ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) )
154	153	ralrimiva 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` u ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) )
155	154	ad2antlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> A. u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` u ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) )
156		frecsuc 6351	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. u e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` u ) e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) /\ <. M , ( F ` M ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) /\ k e. om ) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) )
157	155, 121, 81, 156	syl3anc 1220	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) )
158	133, 157	syl5eq 2202	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( R ` suc k ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) )
159	14	fveq1i 5468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k )
160	159	fveq2i 5470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` ( R ` k ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) )
161	158, 160	eqtr4di 2208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( R ` suc k ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` ( R ` k ) ) )
162	128	fveq2d 5471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` ( R ` k ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` <. ( 1st ` ( R ` k ) ) , ( 2nd ` ( R ` k ) ) >. ) )
163	161, 162	eqtrd 2190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( R ` suc k ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` <. ( 1st ` ( R ` k ) ) , ( 2nd ` ( R ` k ) ) >. ) )
164		df-ov 5824	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) = ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ` <. ( 1st ` ( R ` k ) ) , ( 2nd ` ( R ` k ) ) >. )
165	163, 164	eqtr4di 2208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( R ` suc k ) = ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) )
166		oveq1 5828	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( 1st ` ( R ` k ) ) -> ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) = ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) )
167	112, 166	opeq12d 3749	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( 1st ` ( R ` k ) ) -> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. = <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. )
168		oveq2 5829	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( 2nd ` ( R ` k ) ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) = ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) )
169	168	opeq2d 3748	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( 2nd ` ( R ` k ) ) -> <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. = <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) >. )
170	167, 169, 149	ovmpog 5952	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1st ` ( R ` k ) ) e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( 2nd ` ( R ` k ) ) e. _V /\ <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) >. e. ( ( ZZ>= ` M ) X. S ) ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) = <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) >. )
171	84, 87, 110, 170	syl3anc 1220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( x ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) y ) >. ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) = <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) >. )
172	165, 171	eqtrd 2190	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( R ` suc k ) = <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 1st ` ( R ` k ) ) ( z e. ( ZZ>= ` M ) , w e. S |-> ( w .+ ( F ` ( z + 1 ) ) ) ) ( 2nd ` ( R ` k ) ) ) >. )
173	172, 107	eqtrd 2190	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( R ` suc k ) = <. ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) , ( ( 2nd ` ( R ` k ) ) .+ ( F ` ( ( 1st ` ( R ` k ) ) + 1 ) ) ) >. )
174	119, 132, 173	3eqtr4rd 2201	. . . . . . . 8 |- ( ( ( k e. om /\ ph ) /\ ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( R ` suc k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) )
175	174	exp31 362	. . . . . . 7 |- ( k e. om -> ( ph -> ( ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) -> ( R ` suc k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) ) ) )
176	175	a2d 26	. . . . . 6 |- ( k e. om -> ( ( ph -> ( R ` k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` k ) ) -> ( ph -> ( R ` suc k ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` suc k ) ) ) )
177	60, 64, 68, 72, 79, 176	finds 4558	. . . . 5 |- ( n e. om -> ( ph -> ( R ` n ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` n ) ) )
178	177	impcom 124	. . . 4 |- ( ( ph /\ n e. om ) -> ( R ` n ) = (frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) ` n ) )
179	17, 56, 178	eqfnfvd 5567	. . 3 |- ( ph -> R = frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) )
180	179	rneqd 4814	. 2 |- ( ph -> ran R = ran frec ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) , y e. _V |-> <. ( x + 1 ) , ( y .+ ( F ` ( x + 1 ) ) ) >. ) , <. M , ( F ` M ) >. ) )
181	1, 180	eqtr4id 2209	1 |- ( ph -> seq M ( .+ , F ) = ran R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   _Vcvv 2712   C_ wss 3102   (/)c0 3394   <.cop 3563   suc csuc 4325   omcom 4548   X. cxp 4583   ran crn 4586   Fn wfn 5164   -->wf 5165   ` cfv 5169  (class class class)co 5821   e. cmpo 5823   1stc1st 6083   2ndc2nd 6084  freccfrec 6334   1c1 7727   + caddc 7729   ZZcz 9161   ZZ>=cuz 9433   seqcseq 10337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-addcom 7826  ax-addass 7828  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-ltadd 7842

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-frec 6335  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-inn 8828  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-seqfrec 10338

This theorem is referenced by:  seq3-1  10352  seqf  10353  seq3p1  10354