Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seq3val Unicode version

Theorem seq3val 10350
 Description: Value of the sequence builder function. This helps expand the definition although there should be little need for it once we have proved seqf 10353, seq3-1 10352 and seq3p1 10354, as further development can be done in terms of those. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
seq3val.m
seq3val.r frec
seq3val.f
seq3val.pl
Assertion
Ref Expression
seq3val
Distinct variable groups:   , ,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,

Proof of Theorem seq3val
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-seqfrec 10338 . 2 frec
2 seq3val.m . . . . . 6
3 fveq2 5467 . . . . . . . 8
43eleq1d 2226 . . . . . . 7
5 seq3val.f . . . . . . . 8
65ralrimiva 2530 . . . . . . 7
7 uzid 9447 . . . . . . . 8
82, 7syl 14 . . . . . . 7
94, 6, 8rspcdva 2821 . . . . . 6
10 ssv 3150 . . . . . . 7
1110a1i 9 . . . . . 6
12 seq3val.pl . . . . . . 7
135, 12iseqovex 10348 . . . . . 6
14 seq3val.r . . . . . 6 frec
152, 9, 11, 13, 14frecuzrdgrclt 10307 . . . . 5
16 ffn 5318 . . . . 5
1715, 16syl 14 . . . 4
18 1st2nd2 6120 . . . . . . . . . . . 12
1918adantl 275 . . . . . . . . . . 11
2019fveq2d 5471 . . . . . . . . . 10
21 df-ov 5824 . . . . . . . . . 10
2220, 21eqtr4di 2208 . . . . . . . . 9
23 xp1st 6110 . . . . . . . . . . 11
2423adantl 275 . . . . . . . . . 10
25 xp2nd 6111 . . . . . . . . . . . 12
2625adantl 275 . . . . . . . . . . 11
2726elexd 2725 . . . . . . . . . 10
28 peano2uz 9488 . . . . . . . . . . . 12
2924, 28syl 14 . . . . . . . . . . 11
3012caovclg 5970 . . . . . . . . . . . . 13
3130adantlr 469 . . . . . . . . . . . 12
32 fveq2 5467 . . . . . . . . . . . . . 14
3332eleq1d 2226 . . . . . . . . . . . . 13
346adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13
3533, 34, 29rspcdva 2821 . . . . . . . . . . . 12
3631, 26, 35caovcld 5971 . . . . . . . . . . 11
37 opelxpi 4617 . . . . . . . . . . 11
3829, 36, 37syl2anc 409 . . . . . . . . . 10
39 oveq1 5828 . . . . . . . . . . . 12
40 fvoveq1 5844 . . . . . . . . . . . . 13
4140oveq2d 5837 . . . . . . . . . . . 12
4239, 41opeq12d 3749 . . . . . . . . . . 11
43 oveq1 5828 . . . . . . . . . . . 12
4443opeq2d 3748 . . . . . . . . . . 11
45 eqid 2157 . . . . . . . . . . 11
4642, 44, 45ovmpog 5952 . . . . . . . . . 10
4724, 27, 38, 46syl3anc 1220 . . . . . . . . 9
4822, 47eqtrd 2190 . . . . . . . 8
4948, 38eqeltrd 2234 . . . . . . 7
5049ralrimiva 2530 . . . . . 6
51 opelxpi 4617 . . . . . . 7
528, 9, 51syl2anc 409 . . . . . 6
5350, 52jca 304 . . . . 5
54 frecfcl 6349 . . . . 5 frec
55 ffn 5318 . . . . 5 frec frec
5653, 54, 553syl 17 . . . 4 frec
57 fveq2 5467 . . . . . . . 8
58 fveq2 5467 . . . . . . . 8 frec frec
5957, 58eqeq12d 2172 . . . . . . 7 frec frec
6059imbi2d 229 . . . . . 6 frec frec
61 fveq2 5467 . . . . . . . 8
62 fveq2 5467 . . . . . . . 8 frec frec
6361, 62eqeq12d 2172 . . . . . . 7 frec frec
6463imbi2d 229 . . . . . 6 frec frec
65 fveq2 5467 . . . . . . . 8
66 fveq2 5467 . . . . . . . 8 frec frec
6765, 66eqeq12d 2172 . . . . . . 7 frec frec
6867imbi2d 229 . . . . . 6 frec frec
69 fveq2 5467 . . . . . . . 8
70 fveq2 5467 . . . . . . . 8 frec frec
7169, 70eqeq12d 2172 . . . . . . 7 frec frec
7271imbi2d 229 . . . . . 6 frec frec
7314fveq1i 5468 . . . . . . . 8 frec
74 frec0g 6341 . . . . . . . . 9 frec
7552, 74syl 14 . . . . . . . 8 frec
7673, 75syl5eq 2202 . . . . . . 7
77 frec0g 6341 . . . . . . . 8 frec
7852, 77syl 14 . . . . . . 7 frec
7976, 78eqtr4d 2193 . . . . . 6 frec
8015ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . 12 frec
81 simpll 519 . . . . . . . . . . . 12 frec
8280, 81ffvelrnd 5602 . . . . . . . . . . 11 frec
83 xp1st 6110 . . . . . . . . . . 11
8482, 83syl 14 . . . . . . . . . 10 frec
85 xp2nd 6111 . . . . . . . . . . . 12
8682, 85syl 14 . . . . . . . . . . 11 frec
8786elexd 2725 . . . . . . . . . 10 frec
8830adantll 468 . . . . . . . . . . . . . . 15
8988adantlr 469 . . . . . . . . . . . . . 14 frec
90 fveq2 5467 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9190eleq1d 2226 . . . . . . . . . . . . . . 15
92 fveq2 5467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9392eleq1d 2226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9493cbvralv 2680 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
956, 94sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9695ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 frec
97 peano2uz 9488 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9884, 97syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 frec
9991, 96, 98rspcdva 2821 . . . . . . . . . . . . . 14 frec
10089, 86, 99caovcld 5971 . . . . . . . . . . . . 13 frec
101 fvoveq1 5844 . . . . . . . . . . . . . . 15
102101oveq2d 5837 . . . . . . . . . . . . . 14
103 oveq1 5828 . . . . . . . . . . . . . 14
104 eqid 2157 . . . . . . . . . . . . . 14
105102, 103, 104ovmpog 5952 . . . . . . . . . . . . 13
10684, 86, 100, 105syl3anc 1220 . . . . . . . . . . . 12 frec
107106opeq2d 3748 . . . . . . . . . . 11 frec
108106, 100eqeltrd 2234 . . . . . . . . . . . 12 frec
109 opelxpi 4617 . . . . . . . . . . . 12
11098, 108, 109syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 frec
111107, 110eqeltrrd 2235 . . . . . . . . . 10 frec
112 oveq1 5828 . . . . . . . . . . . 12
113 fvoveq1 5844 . . . . . . . . . . . . 13
114113oveq2d 5837 . . . . . . . . . . . 12
115112, 114opeq12d 3749 . . . . . . . . . . 11
116 oveq1 5828 . . . . . . . . . . . 12
117116opeq2d 3748 . . . . . . . . . . 11
118115, 117, 45ovmpog 5952 . . . . . . . . . 10
11984, 87, 111, 118syl3anc 1220 . . . . . . . . 9 frec
12050ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . 12 frec
12152ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . 12 frec
122 frecsuc 6351 . . . . . . . . . . . 12 frec frec
123120, 121, 81, 122syl3anc 1220 . . . . . . . . . . 11 frec frec frec
124 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 frec frec
125124fveq2d 5471 . . . . . . . . . . 11 frec frec
126123, 125eqtr4d 2193 . . . . . . . . . 10 frec frec
127 1st2nd2 6120 . . . . . . . . . . . . 13
12882, 127syl 14 . . . . . . . . . . . 12 frec
129128fveq2d 5471 . . . . . . . . . . 11 frec
130 df-ov 5824 . . . . . . . . . . 11
131129, 130eqtr4di 2208 . . . . . . . . . 10 frec
132126, 131eqtrd 2190 . . . . . . . . 9 frec frec
13314fveq1i 5468 . . . . . . . . . . . . . . 15 frec
13419fveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
135 df-ov 5824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
136134, 135eqtr4di 2208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
137 fvoveq1 5844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
138137oveq2d 5837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
139 oveq1 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
140138, 139, 104ovmpog 5952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
14124, 26, 36, 140syl3anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
142141, 36eqeltrd 2234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
143 opelxpi 4617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
14429, 142, 143syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
145 oveq1 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
14639, 145opeq12d 3749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
147 oveq2 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
148147opeq2d 3748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
149 eqid 2157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
150146, 148, 149ovmpog 5952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
15124, 27, 144, 150syl3anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
152136, 151eqtrd 2190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
153152, 144eqeltrd 2234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
154153ralrimiva 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
155154ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 frec
156 frecsuc 6351 . . . . . . . . . . . . . . . 16 frec frec
157155, 121, 81, 156syl3anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . 15 frec frec frec
158133, 157syl5eq 2202 . . . . . . . . . . . . . 14 frec frec
15914fveq1i 5468 . . . . . . . . . . . . . . 15 frec
160159fveq2i 5470 . . . . . . . . . . . . . 14 frec
161158, 160eqtr4di 2208 . . . . . . . . . . . . 13 frec
162128fveq2d 5471 . . . . . . . . . . . . 13 frec
163161, 162eqtrd 2190 . . . . . . . . . . . 12 frec
164 df-ov 5824 . . . . . . . . . . . 12
165163, 164eqtr4di 2208 . . . . . . . . . . 11 frec
166 oveq1 5828 . . . . . . . . . . . . . 14
167112, 166opeq12d 3749 . . . . . . . . . . . . 13
168 oveq2 5829 . . . . . . . . . . . . . 14
169168opeq2d 3748 . . . . . . . . . . . . 13
170167, 169, 149ovmpog 5952 . . . . . . . . . . . 12
17184, 87, 110, 170syl3anc 1220 . . . . . . . . . . 11 frec
172165, 171eqtrd 2190 . . . . . . . . . 10 frec
173172, 107eqtrd 2190 . . . . . . . . 9 frec
174119, 132, 1733eqtr4rd 2201 . . . . . . . 8 frec frec
175174exp31 362 . . . . . . 7 frec frec
176175a2d 26 . . . . . 6 frec frec
17760, 64, 68, 72, 79, 176finds 4558 . . . . 5 frec
178177impcom 124 . . . 4 frec
17917, 56, 178eqfnfvd 5567 . . 3 frec
180179rneqd 4814 . 2 frec
1811, 180eqtr4id 2209 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1335   wcel 2128  wral 2435  cvv 2712   wss 3102  c0 3394  cop 3563   csuc 4325  com 4548   cxp 4583   crn 4586   wfn 5164  wf 5165  cfv 5169  (class class class)co 5821   cmpo 5823  c1st 6083  c2nd 6084  freccfrec 6334  c1 7727   caddc 7729  cz 9161  cuz 9433   cseq 10337 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-addcom 7826  ax-addass 7828  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-ltadd 7842 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-frec 6335  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-inn 8828  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-seqfrec 10338 This theorem is referenced by:  seq3-1  10352  seqf  10353  seq3p1  10354
 Copyright terms: Public domain W3C validator