Theorem ercpbl 13238

Description: Translate the function compatibility relation to a quotient set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.) (Revised by AV, 12-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ercpbl.r	|- ( ph -> .~ Er V )
ercpbl.v	|- ( ph -> V e. W )
ercpbl.f	|- F = ( x e. V |-> [ x ] .~ )
ercpbl.c	|- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( a .+ b ) e. V )
ercpbl.e	|- ( ph -> ( ( A .~ C /\ B .~ D ) -> ( A .+ B ) .~ ( C .+ D ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ercpbl	|- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> ( ( ( F ` A ) = ( F ` C ) /\ ( F ` B ) = ( F ` D ) ) -> ( F ` ( A .+ B ) ) = ( F ` ( C .+ D ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, .~   a, b, x, A   B, b, x   x, C   x, D   V, a, b, x   .+ , a, b, x   ph, a, b, x

Allowed substitution hints:   B( a)   C( a, b)   D( a, b)   .~ ( a, b)   F( x, a, b)   W( x, a, b)

Proof of Theorem ercpbl

Dummy variables c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ercpbl.e	. . 3 |- ( ph -> ( ( A .~ C /\ B .~ D ) -> ( A .+ B ) .~ ( C .+ D ) ) )
2	1	3ad2ant1 1021	. 2 |- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> ( ( A .~ C /\ B .~ D ) -> ( A .+ B ) .~ ( C .+ D ) ) )
3		ercpbl.r	. . . . 5 |- ( ph -> .~ Er V )
4	3	3ad2ant1 1021	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> .~ Er V )
5		ercpbl.v	. . . . 5 |- ( ph -> V e. W )
6	5	3ad2ant1 1021	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> V e. W )
7		ercpbl.f	. . . 4 |- F = ( x e. V |-> [ x ] .~ )
8		simp2l 1026	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> A e. V )
9		simp3l 1028	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> C e. V )
10	4, 6, 7, 8, 9	ercpbllemg 13237	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> ( ( F ` A ) = ( F ` C ) <-> A .~ C ) )
11		simp2r 1027	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> B e. V )
12		simp3r 1029	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> D e. V )
13	4, 6, 7, 11, 12	ercpbllemg 13237	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> ( ( F ` B ) = ( F ` D ) <-> B .~ D ) )
14	10, 13	anbi12d 473	. 2 |- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> ( ( ( F ` A ) = ( F ` C ) /\ ( F ` B ) = ( F ` D ) ) <-> ( A .~ C /\ B .~ D ) ) )
15		ercpbl.c	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( a .+ b ) e. V )
16	15	caovclg 6112	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( A .+ B ) e. V )
17	16	3adant3 1020	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> ( A .+ B ) e. V )
18		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> C e. V )
19		simprr 531	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> D e. V )
20	15	ralrimivva 2589	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. a e. V A. b e. V ( a .+ b ) e. V )
21		oveq1 5964	. . . . . . . . 9 |- ( a = c -> ( a .+ b ) = ( c .+ b ) )
22	21	eleq1d 2275	. . . . . . . 8 |- ( a = c -> ( ( a .+ b ) e. V <-> ( c .+ b ) e. V ) )
23		oveq2 5965	. . . . . . . . 9 |- ( b = d -> ( c .+ b ) = ( c .+ d ) )
24	23	eleq1d 2275	. . . . . . . 8 |- ( b = d -> ( ( c .+ b ) e. V <-> ( c .+ d ) e. V ) )
25	22, 24	cbvral2v 2752	. . . . . . 7 |- ( A. a e. V A. b e. V ( a .+ b ) e. V <-> A. c e. V A. d e. V ( c .+ d ) e. V )
26	20, 25	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> A. c e. V A. d e. V ( c .+ d ) e. V )
27	26	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> A. c e. V A. d e. V ( c .+ d ) e. V )
28		ovrspc2v 5983	. . . . 5 |- ( ( ( C e. V /\ D e. V ) /\ A. c e. V A. d e. V ( c .+ d ) e. V ) -> ( C .+ D ) e. V )
29	18, 19, 27, 28	syl21anc 1249	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> ( C .+ D ) e. V )
30	29	3adant2 1019	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> ( C .+ D ) e. V )
31	4, 6, 7, 17, 30	ercpbllemg 13237	. 2 |- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> ( ( F ` ( A .+ B ) ) = ( F ` ( C .+ D ) ) <-> ( A .+ B ) .~ ( C .+ D ) ) )
32	2, 14, 31	3imtr4d 203	1 |- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> ( ( ( F ` A ) = ( F ` C ) /\ ( F ` B ) = ( F ` D ) ) -> ( F ` ( A .+ B ) ) = ( F ` ( C .+ D ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2177   A.wral 2485   class class class wbr 4051   |-> cmpt 4113   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   Er wer 6630   [cec 6631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fv 5288  df-ov 5960  df-er 6633  df-ec 6635

This theorem is referenced by:  qusaddvallemg  13240  qusaddflemg  13241  qusgrp2  13524  qusrng  13795  qusring2  13903