Theorem ercpbl 13413

Description: Translate the function compatibility relation to a quotient set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.) (Revised by AV, 12-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ercpbl.r	|- ( ph -> .~ Er V )
ercpbl.v	|- ( ph -> V e. W )
ercpbl.f	|- F = ( x e. V |-> [ x ] .~ )
ercpbl.c	|- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( a .+ b ) e. V )
ercpbl.e	|- ( ph -> ( ( A .~ C /\ B .~ D ) -> ( A .+ B ) .~ ( C .+ D ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ercpbl	|- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> ( ( ( F ` A ) = ( F ` C ) /\ ( F ` B ) = ( F ` D ) ) -> ( F ` ( A .+ B ) ) = ( F ` ( C .+ D ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, .~   a, b, x, A   B, b, x   x, C   x, D   V, a, b, x   .+ , a, b, x   ph, a, b, x

Allowed substitution hints:   B( a)   C( a, b)   D( a, b)   .~ ( a, b)   F( x, a, b)   W( x, a, b)

Proof of Theorem ercpbl

Dummy variables c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ercpbl.e	. . 3 |- ( ph -> ( ( A .~ C /\ B .~ D ) -> ( A .+ B ) .~ ( C .+ D ) ) )
2	1	3ad2ant1 1044	. 2 |- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> ( ( A .~ C /\ B .~ D ) -> ( A .+ B ) .~ ( C .+ D ) ) )
3		ercpbl.r	. . . . 5 |- ( ph -> .~ Er V )
4	3	3ad2ant1 1044	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> .~ Er V )
5		ercpbl.v	. . . . 5 |- ( ph -> V e. W )
6	5	3ad2ant1 1044	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> V e. W )
7		ercpbl.f	. . . 4 |- F = ( x e. V |-> [ x ] .~ )
8		simp2l 1049	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> A e. V )
9		simp3l 1051	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> C e. V )
10	4, 6, 7, 8, 9	ercpbllemg 13412	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> ( ( F ` A ) = ( F ` C ) <-> A .~ C ) )
11		simp2r 1050	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> B e. V )
12		simp3r 1052	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> D e. V )
13	4, 6, 7, 11, 12	ercpbllemg 13412	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> ( ( F ` B ) = ( F ` D ) <-> B .~ D ) )
14	10, 13	anbi12d 473	. 2 |- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> ( ( ( F ` A ) = ( F ` C ) /\ ( F ` B ) = ( F ` D ) ) <-> ( A .~ C /\ B .~ D ) ) )
15		ercpbl.c	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) ) -> ( a .+ b ) e. V )
16	15	caovclg 6174	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) ) -> ( A .+ B ) e. V )
17	16	3adant3 1043	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> ( A .+ B ) e. V )
18		simprl 531	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> C e. V )
19		simprr 533	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> D e. V )
20	15	ralrimivva 2614	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. a e. V A. b e. V ( a .+ b ) e. V )
21		oveq1 6024	. . . . . . . . 9 |- ( a = c -> ( a .+ b ) = ( c .+ b ) )
22	21	eleq1d 2300	. . . . . . . 8 |- ( a = c -> ( ( a .+ b ) e. V <-> ( c .+ b ) e. V ) )
23		oveq2 6025	. . . . . . . . 9 |- ( b = d -> ( c .+ b ) = ( c .+ d ) )
24	23	eleq1d 2300	. . . . . . . 8 |- ( b = d -> ( ( c .+ b ) e. V <-> ( c .+ d ) e. V ) )
25	22, 24	cbvral2v 2780	. . . . . . 7 |- ( A. a e. V A. b e. V ( a .+ b ) e. V <-> A. c e. V A. d e. V ( c .+ d ) e. V )
26	20, 25	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> A. c e. V A. d e. V ( c .+ d ) e. V )
27	26	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> A. c e. V A. d e. V ( c .+ d ) e. V )
28		ovrspc2v 6043	. . . . 5 |- ( ( ( C e. V /\ D e. V ) /\ A. c e. V A. d e. V ( c .+ d ) e. V ) -> ( C .+ D ) e. V )
29	18, 19, 27, 28	syl21anc 1272	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> ( C .+ D ) e. V )
30	29	3adant2 1042	. . 3 |- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> ( C .+ D ) e. V )
31	4, 6, 7, 17, 30	ercpbllemg 13412	. 2 |- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> ( ( F ` ( A .+ B ) ) = ( F ` ( C .+ D ) ) <-> ( A .+ B ) .~ ( C .+ D ) ) )
32	2, 14, 31	3imtr4d 203	1 |- ( ( ph /\ ( A e. V /\ B e. V ) /\ ( C e. V /\ D e. V ) ) -> ( ( ( F ` A ) = ( F ` C ) /\ ( F ` B ) = ( F ` D ) ) -> ( F ` ( A .+ B ) ) = ( F ` ( C .+ D ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   Er wer 6698   [cec 6699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-ov 6020  df-er 6701  df-ec 6703

This theorem is referenced by:  qusaddvallemg  13415  qusaddflemg  13416  qusgrp2  13699  qusrng  13970  qusring2  14078