Theorem cbvral2v 2660

Description: Change bound variables of double restricted universal quantification, using implicit substitution. (Contributed by NM, 10-Aug-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
cbvral2v.1	|- ( x = z -> ( ph <-> ch ) )
cbvral2v.2	|- ( y = w -> ( ch <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
cbvral2v	|- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. z e. A A. w e. B ps )

Distinct variable groups:   x, A   z, A   x, y, B   y, z, B   w, B   ph, z   ps, y   ch, x   ch, w

Allowed substitution hints:   ph( x, y, w)   ps( x, z, w)   ch( y, z)   A( y, w)

Proof of Theorem cbvral2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvral2v.1	. . . 4 |- ( x = z -> ( ph <-> ch ) )
2	1	ralbidv 2435	. . 3 |- ( x = z -> ( A. y e. B ph <-> A. y e. B ch ) )
3	2	cbvralv 2652	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. z e. A A. y e. B ch )
4		cbvral2v.2	. . . 4 |- ( y = w -> ( ch <-> ps ) )
5	4	cbvralv 2652	. . 3 |- ( A. y e. B ch <-> A. w e. B ps )
6	5	ralbii 2439	. 2 |- ( A. z e. A A. y e. B ch <-> A. z e. A A. w e. B ps )
7	3, 6	bitri 183	1 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. z e. A A. w e. B ps )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   A.wral 2414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419

This theorem is referenced by:  cbvral3v  2662  fununi  5186  fiintim  6810  isoti  6887  cauappcvgprlemlim  7462  caucvgprlemnkj  7467  caucvgprlemcl  7477  caucvgprprlemcbv  7488  axcaucvglemcau  7699  axpre-suploc  7703  seqvalcd  10225  seqovcd  10229  seq3distr  10279  ennnfonelemr  11925  ctinf  11932