Theorem cbvral2v 2742

Description: Change bound variables of double restricted universal quantification, using implicit substitution. (Contributed by NM, 10-Aug-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
cbvral2v.1	|- ( x = z -> ( ph <-> ch ) )
cbvral2v.2	|- ( y = w -> ( ch <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
cbvral2v	|- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. z e. A A. w e. B ps )

Distinct variable groups:   x, A   z, A   x, y, B   y, z, B   w, B   ph, z   ps, y   ch, x   ch, w

Allowed substitution hints:   ph( x, y, w)   ps( x, z, w)   ch( y, z)   A( y, w)

Proof of Theorem cbvral2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvral2v.1	. . . 4 |- ( x = z -> ( ph <-> ch ) )
2	1	ralbidv 2497	. . 3 |- ( x = z -> ( A. y e. B ph <-> A. y e. B ch ) )
3	2	cbvralv 2729	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. z e. A A. y e. B ch )
4		cbvral2v.2	. . . 4 |- ( y = w -> ( ch <-> ps ) )
5	4	cbvralv 2729	. . 3 |- ( A. y e. B ch <-> A. w e. B ps )
6	5	ralbii 2503	. 2 |- ( A. z e. A A. y e. B ch <-> A. z e. A A. w e. B ps )
7	3, 6	bitri 184	1 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. z e. A A. w e. B ps )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wral 2475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480

This theorem is referenced by:  cbvral3v  2744  fununi  5326  fiintim  6992  isoti  7073  nninfwlpoim  7244  cauappcvgprlemlim  7728  caucvgprlemnkj  7733  caucvgprlemcl  7743  caucvgprprlemcbv  7754  axcaucvglemcau  7965  axpre-suploc  7969  seqvalcd  10553  seqovcd  10559  seq3distr  10624  fprodcl2lem  11770  ennnfonelemr  12640  ctinf  12647  ercpbl  12974  grppropd  13149