Theorem cbvral2v 2755

Description: Change bound variables of double restricted universal quantification, using implicit substitution. (Contributed by NM, 10-Aug-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
cbvral2v.1	|- ( x = z -> ( ph <-> ch ) )
cbvral2v.2	|- ( y = w -> ( ch <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
cbvral2v	|- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. z e. A A. w e. B ps )

Distinct variable groups:   x, A   z, A   x, y, B   y, z, B   w, B   ph, z   ps, y   ch, x   ch, w

Allowed substitution hints:   ph( x, y, w)   ps( x, z, w)   ch( y, z)   A( y, w)

Proof of Theorem cbvral2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvral2v.1	. . . 4 |- ( x = z -> ( ph <-> ch ) )
2	1	ralbidv 2508	. . 3 |- ( x = z -> ( A. y e. B ph <-> A. y e. B ch ) )
3	2	cbvralv 2742	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. z e. A A. y e. B ch )
4		cbvral2v.2	. . . 4 |- ( y = w -> ( ch <-> ps ) )
5	4	cbvralv 2742	. . 3 |- ( A. y e. B ch <-> A. w e. B ps )
6	5	ralbii 2514	. 2 |- ( A. z e. A A. y e. B ch <-> A. z e. A A. w e. B ps )
7	3, 6	bitri 184	1 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. z e. A A. w e. B ps )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wral 2486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491

This theorem is referenced by:  cbvral3v  2757  fununi  5361  fiintim  7054  isoti  7135  nninfwlpoim  7307  cauappcvgprlemlim  7809  caucvgprlemnkj  7814  caucvgprlemcl  7824  caucvgprprlemcbv  7835  axcaucvglemcau  8046  axpre-suploc  8050  seqvalcd  10643  seqovcd  10649  seq3distr  10714  fprodcl2lem  12031  ennnfonelemr  12909  ctinf  12916  ercpbl  13278  grppropd  13464