Theorem cbvral2v 2739

Description: Change bound variables of double restricted universal quantification, using implicit substitution. (Contributed by NM, 10-Aug-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
cbvral2v.1	|- ( x = z -> ( ph <-> ch ) )
cbvral2v.2	|- ( y = w -> ( ch <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
cbvral2v	|- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. z e. A A. w e. B ps )

Distinct variable groups:   x, A   z, A   x, y, B   y, z, B   w, B   ph, z   ps, y   ch, x   ch, w

Allowed substitution hints:   ph( x, y, w)   ps( x, z, w)   ch( y, z)   A( y, w)

Proof of Theorem cbvral2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvral2v.1	. . . 4 |- ( x = z -> ( ph <-> ch ) )
2	1	ralbidv 2494	. . 3 |- ( x = z -> ( A. y e. B ph <-> A. y e. B ch ) )
3	2	cbvralv 2726	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. z e. A A. y e. B ch )
4		cbvral2v.2	. . . 4 |- ( y = w -> ( ch <-> ps ) )
5	4	cbvralv 2726	. . 3 |- ( A. y e. B ch <-> A. w e. B ps )
6	5	ralbii 2500	. 2 |- ( A. z e. A A. y e. B ch <-> A. z e. A A. w e. B ps )
7	3, 6	bitri 184	1 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. z e. A A. w e. B ps )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wral 2472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477

This theorem is referenced by:  cbvral3v  2741  fununi  5322  fiintim  6985  isoti  7066  nninfwlpoim  7237  cauappcvgprlemlim  7721  caucvgprlemnkj  7726  caucvgprlemcl  7736  caucvgprprlemcbv  7747  axcaucvglemcau  7958  axpre-suploc  7962  seqvalcd  10532  seqovcd  10538  seq3distr  10603  fprodcl2lem  11748  ennnfonelemr  12580  ctinf  12587  ercpbl  12914  grppropd  13089