Theorem cbvral2v 2778

Description: Change bound variables of double restricted universal quantification, using implicit substitution. (Contributed by NM, 10-Aug-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
cbvral2v.1	|- ( x = z -> ( ph <-> ch ) )
cbvral2v.2	|- ( y = w -> ( ch <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
cbvral2v	|- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. z e. A A. w e. B ps )

Distinct variable groups:   x, A   z, A   x, y, B   y, z, B   w, B   ph, z   ps, y   ch, x   ch, w

Allowed substitution hints:   ph( x, y, w)   ps( x, z, w)   ch( y, z)   A( y, w)

Proof of Theorem cbvral2v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvral2v.1	. . . 4 |- ( x = z -> ( ph <-> ch ) )
2	1	ralbidv 2530	. . 3 |- ( x = z -> ( A. y e. B ph <-> A. y e. B ch ) )
3	2	cbvralv 2765	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. z e. A A. y e. B ch )
4		cbvral2v.2	. . . 4 |- ( y = w -> ( ch <-> ps ) )
5	4	cbvralv 2765	. . 3 |- ( A. y e. B ch <-> A. w e. B ps )
6	5	ralbii 2536	. 2 |- ( A. z e. A A. y e. B ch <-> A. z e. A A. w e. B ps )
7	3, 6	bitri 184	1 |- ( A. x e. A A. y e. B ph <-> A. z e. A A. w e. B ps )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   A.wral 2508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513

This theorem is referenced by:  cbvral3v  2780  fununi  5395  fiintim  7116  isoti  7197  nninfwlpoim  7369  cauappcvgprlemlim  7871  caucvgprlemnkj  7876  caucvgprlemcl  7886  caucvgprprlemcbv  7897  axcaucvglemcau  8108  axpre-suploc  8112  seqvalcd  10713  seqovcd  10719  seq3distr  10784  fprodcl2lem  12156  ennnfonelemr  13034  ctinf  13041  ercpbl  13404  grppropd  13590