ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-suploc Unicode version

Theorem axpre-suploc 7835
Description: An inhabited, bounded-above, located set of reals has a supremum.

Locatedness here means that given  x  <  y, either there is an element of the set greater than  x, or  y is an upper bound.

This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-suploc 7866. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jan-2024.) (New usage is discouraged.)

Assertion
Ref Expression
axpre-suploc  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\ 
E. x  x  e.  A )  /\  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y 
<RR  x  /\  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  <RR  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) ) )
Distinct variable group:    x, A, y, z

Proof of Theorem axpre-suploc
Dummy variables  a  b  c  d  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 520 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\ 
E. x  x  e.  A )  /\  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y 
<RR  x  /\  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  <RR  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y ) ) ) )  ->  E. x  x  e.  A )
2 eleq1w 2225 . . . 4  |-  ( x  =  d  ->  (
x  e.  A  <->  d  e.  A ) )
32cbvexv 1905 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  A  <->  E. d  d  e.  A
)
41, 3sylib 121 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\ 
E. x  x  e.  A )  /\  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y 
<RR  x  /\  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  <RR  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y ) ) ) )  ->  E. d  d  e.  A )
5 simplll 523 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  E. x  x  e.  A )  /\  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y 
<RR  x  /\  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  <RR  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y ) ) ) )  /\  d  e.  A )  ->  A  C_  RR )
6 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  E. x  x  e.  A )  /\  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y 
<RR  x  /\  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  <RR  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y ) ) ) )  /\  d  e.  A )  ->  d  e.  A )
7 simplrl 525 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  E. x  x  e.  A )  /\  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y 
<RR  x  /\  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  <RR  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y ) ) ) )  /\  d  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y 
<RR  x )
8 breq2 3981 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  (
b  <RR  a  <->  b  <RR  x ) )
98ralbidv 2464 . . . . . . 7  |-  ( a  =  x  ->  ( A. b  e.  A  b  <RR  a  <->  A. b  e.  A  b  <RR  x ) )
109cbvrexv 2691 . . . . . 6  |-  ( E. a  e.  RR  A. b  e.  A  b  <RR  a  <->  E. x  e.  RR  A. b  e.  A  b 
<RR  x )
11 breq1 3980 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  y  ->  (
b  <RR  x  <->  y  <RR  x ) )
1211cbvralv 2690 . . . . . . 7  |-  ( A. b  e.  A  b  <RR  x  <->  A. y  e.  A  y  <RR  x )
1312rexbii 2471 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  RR  A. b  e.  A  b  <RR  x  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y 
<RR  x )
1410, 13bitri 183 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  RR  A. b  e.  A  b  <RR  a  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y 
<RR  x )
157, 14sylibr 133 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  E. x  x  e.  A )  /\  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y 
<RR  x  /\  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  <RR  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y ) ) ) )  /\  d  e.  A )  ->  E. a  e.  RR  A. b  e.  A  b 
<RR  a )
16 simplrr 526 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  E. x  x  e.  A )  /\  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y 
<RR  x  /\  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  <RR  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y ) ) ) )  /\  d  e.  A )  ->  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  (
x  <RR  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y ) ) )
17 breq1 3980 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  (
a  <RR  b  <->  x  <RR  b ) )
18 breq1 3980 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  x  ->  (
a  <RR  c  <->  x  <RR  c ) )
1918rexbidv 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  x  ->  ( E. c  e.  A  a  <RR  c  <->  E. c  e.  A  x  <RR  c ) )
2019orbi1d 781 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  (
( E. c  e.  A  a  <RR  c  \/ 
A. c  e.  A  c  <RR  b )  <->  ( E. c  e.  A  x  <RR  c  \/  A. c  e.  A  c  <RR  b ) ) )
2117, 20imbi12d 233 . . . . . . 7  |-  ( a  =  x  ->  (
( a  <RR  b  -> 
( E. c  e.  A  a  <RR  c  \/ 
A. c  e.  A  c  <RR  b ) )  <-> 
( x  <RR  b  -> 
( E. c  e.  A  x  <RR  c  \/ 
A. c  e.  A  c  <RR  b ) ) ) )
22 breq2 3981 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  y  ->  (
x  <RR  b  <->  x  <RR  y ) )
23 breq2 3981 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  y  ->  (
c  <RR  b  <->  c  <RR  y ) )
2423ralbidv 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  y  ->  ( A. c  e.  A  c  <RR  b  <->  A. c  e.  A  c  <RR  y ) )
2524orbi2d 780 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  y  ->  (
( E. c  e.  A  x  <RR  c  \/ 
A. c  e.  A  c  <RR  b )  <->  ( E. c  e.  A  x  <RR  c  \/  A. c  e.  A  c  <RR  y ) ) )
2622, 25imbi12d 233 . . . . . . 7  |-  ( b  =  y  ->  (
( x  <RR  b  -> 
( E. c  e.  A  x  <RR  c  \/ 
A. c  e.  A  c  <RR  b ) )  <-> 
( x  <RR  y  -> 
( E. c  e.  A  x  <RR  c  \/ 
A. c  e.  A  c  <RR  y ) ) ) )
2721, 26cbvral2v 2701 . . . . . 6  |-  ( A. a  e.  RR  A. b  e.  RR  ( a  <RR  b  ->  ( E. c  e.  A  a  <RR  c  \/  A. c  e.  A  c  <RR  b ) )  <->  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  (
x  <RR  y  ->  ( E. c  e.  A  x  <RR  c  \/  A. c  e.  A  c  <RR  y ) ) )
28 breq2 3981 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  z  ->  (
x  <RR  c  <->  x  <RR  z ) )
2928cbvrexv 2691 . . . . . . . . 9  |-  ( E. c  e.  A  x 
<RR  c  <->  E. z  e.  A  x  <RR  z )
30 breq1 3980 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  z  ->  (
c  <RR  y  <->  z  <RR  y ) )
3130cbvralv 2690 . . . . . . . . 9  |-  ( A. c  e.  A  c  <RR  y  <->  A. z  e.  A  z  <RR  y )
3229, 31orbi12i 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. c  e.  A  x  <RR  c  \/  A. c  e.  A  c  <RR  y )  <->  ( E. z  e.  A  x  <RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y ) )
3332imbi2i 225 . . . . . . 7  |-  ( ( x  <RR  y  ->  ( E. c  e.  A  x  <RR  c  \/  A. c  e.  A  c  <RR  y ) )  <->  ( x  <RR  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y ) ) )
34332ralbii 2472 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  <RR  y  ->  ( E. c  e.  A  x  <RR  c  \/  A. c  e.  A  c  <RR  y ) )  <->  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  (
x  <RR  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y ) ) )
3527, 34bitri 183 . . . . 5  |-  ( A. a  e.  RR  A. b  e.  RR  ( a  <RR  b  ->  ( E. c  e.  A  a  <RR  c  \/  A. c  e.  A  c  <RR  b ) )  <->  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  (
x  <RR  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y ) ) )
3616, 35sylibr 133 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  E. x  x  e.  A )  /\  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y 
<RR  x  /\  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  <RR  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y ) ) ) )  /\  d  e.  A )  ->  A. a  e.  RR  A. b  e.  RR  (
a  <RR  b  ->  ( E. c  e.  A  a  <RR  c  \/  A. c  e.  A  c  <RR  b ) ) )
37 eqid 2164 . . . 4  |-  { w  e.  R.  |  <. w ,  0R >.  e.  A }  =  { w  e.  R.  |  <. w ,  0R >.  e.  A }
385, 6, 15, 36, 37axpre-suploclemres 7834 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  E. x  x  e.  A )  /\  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y 
<RR  x  /\  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  <RR  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y ) ) ) )  /\  d  e.  A )  ->  E. a  e.  RR  ( A. b  e.  A  -.  a  <RR  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <RR  a  ->  E. c  e.  A  b  <RR  c ) ) )
3917notbid 657 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  ( -.  a  <RR  b  <->  -.  x  <RR  b ) )
4039ralbidv 2464 . . . . . . 7  |-  ( a  =  x  ->  ( A. b  e.  A  -.  a  <RR  b  <->  A. b  e.  A  -.  x  <RR  b ) )
418imbi1d 230 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  (
( b  <RR  a  ->  E. c  e.  A  b  <RR  c )  <->  ( b  <RR  x  ->  E. c  e.  A  b  <RR  c ) ) )
4241ralbidv 2464 . . . . . . 7  |-  ( a  =  x  ->  ( A. b  e.  RR  ( b  <RR  a  ->  E. c  e.  A  b  <RR  c )  <->  A. b  e.  RR  ( b  <RR  x  ->  E. c  e.  A  b  <RR  c ) ) )
4340, 42anbi12d 465 . . . . . 6  |-  ( a  =  x  ->  (
( A. b  e.  A  -.  a  <RR  b  /\  A. b  e.  RR  ( b  <RR  a  ->  E. c  e.  A  b  <RR  c ) )  <-> 
( A. b  e.  A  -.  x  <RR  b  /\  A. b  e.  RR  ( b  <RR  x  ->  E. c  e.  A  b  <RR  c ) ) ) )
4443cbvrexv 2691 . . . . 5  |-  ( E. a  e.  RR  ( A. b  e.  A  -.  a  <RR  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <RR  a  ->  E. c  e.  A  b  <RR  c ) )  <->  E. x  e.  RR  ( A. b  e.  A  -.  x  <RR  b  /\  A. b  e.  RR  ( b  <RR  x  ->  E. c  e.  A  b  <RR  c ) ) )
4522notbid 657 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  y  ->  ( -.  x  <RR  b  <->  -.  x  <RR  y ) )
4645cbvralv 2690 . . . . . . 7  |-  ( A. b  e.  A  -.  x  <RR  b  <->  A. y  e.  A  -.  x  <RR  y )
47 breq1 3980 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  y  ->  (
b  <RR  c  <->  y  <RR  c ) )
4847rexbidv 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  y  ->  ( E. c  e.  A  b  <RR  c  <->  E. c  e.  A  y  <RR  c ) )
4911, 48imbi12d 233 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  y  ->  (
( b  <RR  x  ->  E. c  e.  A  b  <RR  c )  <->  ( y  <RR  x  ->  E. c  e.  A  y  <RR  c ) ) )
5049cbvralv 2690 . . . . . . 7  |-  ( A. b  e.  RR  (
b  <RR  x  ->  E. c  e.  A  b  <RR  c )  <->  A. y  e.  RR  ( y  <RR  x  ->  E. c  e.  A  y  <RR  c ) )
5146, 50anbi12i 456 . . . . . 6  |-  ( ( A. b  e.  A  -.  x  <RR  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <RR  x  ->  E. c  e.  A  b  <RR  c ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <RR  x  ->  E. c  e.  A  y  <RR  c ) ) )
5251rexbii 2471 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  RR  ( A. b  e.  A  -.  x  <RR  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <RR  x  ->  E. c  e.  A  b  <RR  c ) )  <->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  <RR  x  ->  E. c  e.  A  y  <RR  c ) ) )
5344, 52bitri 183 . . . 4  |-  ( E. a  e.  RR  ( A. b  e.  A  -.  a  <RR  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <RR  a  ->  E. c  e.  A  b  <RR  c ) )  <->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  <RR  x  ->  E. c  e.  A  y  <RR  c ) ) )
54 breq2 3981 . . . . . . . . 9  |-  ( c  =  z  ->  (
y  <RR  c  <->  y  <RR  z ) )
5554cbvrexv 2691 . . . . . . . 8  |-  ( E. c  e.  A  y 
<RR  c  <->  E. z  e.  A  y  <RR  z )
5655imbi2i 225 . . . . . . 7  |-  ( ( y  <RR  x  ->  E. c  e.  A  y  <RR  c )  <->  ( y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) )
5756ralbii 2470 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  RR  (
y  <RR  x  ->  E. c  e.  A  y  <RR  c )  <->  A. y  e.  RR  ( y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) )
5857anbi2i 453 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <RR  x  ->  E. c  e.  A  y  <RR  c ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) ) )
5958rexbii 2471 . . . 4  |-  ( E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <RR  x  ->  E. c  e.  A  y  <RR  c ) )  <->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) ) )
6053, 59bitri 183 . . 3  |-  ( E. a  e.  RR  ( A. b  e.  A  -.  a  <RR  b  /\  A. b  e.  RR  (
b  <RR  a  ->  E. c  e.  A  b  <RR  c ) )  <->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) ) )
6138, 60sylib 121 . 2  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  E. x  x  e.  A )  /\  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y 
<RR  x  /\  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  <RR  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y ) ) ) )  /\  d  e.  A )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) ) )
624, 61exlimddv 1885 1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\ 
E. x  x  e.  A )  /\  ( E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y 
<RR  x  /\  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  <RR  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 698   E.wex 1479    e. wcel 2135   A.wral 2442   E.wrex 2443   {crab 2446    C_ wss 3112   <.cop 3574   class class class wbr 3977   R.cnr 7230   0Rc0r 7231   RRcr 7744    <RR cltrr 7749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4092  ax-sep 4095  ax-nul 4103  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-un 4406  ax-setind 4509  ax-iinf 4560
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2724  df-sbc 2948  df-csb 3042  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-nul 3406  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-int 3820  df-iun 3863  df-br 3978  df-opab 4039  df-mpt 4040  df-tr 4076  df-eprel 4262  df-id 4266  df-po 4269  df-iso 4270  df-iord 4339  df-on 4341  df-suc 4344  df-iom 4563  df-xp 4605  df-rel 4606  df-cnv 4607  df-co 4608  df-dm 4609  df-rn 4610  df-res 4611  df-ima 4612  df-iota 5148  df-fun 5185  df-fn 5186  df-f 5187  df-f1 5188  df-fo 5189  df-f1o 5190  df-fv 5191  df-ov 5840  df-oprab 5841  df-mpo 5842  df-1st 6101  df-2nd 6102  df-recs 6265  df-irdg 6330  df-1o 6376  df-2o 6377  df-oadd 6380  df-omul 6381  df-er 6493  df-ec 6495  df-qs 6499  df-ni 7237  df-pli 7238  df-mi 7239  df-lti 7240  df-plpq 7277  df-mpq 7278  df-enq 7280  df-nqqs 7281  df-plqqs 7282  df-mqqs 7283  df-1nqqs 7284  df-rq 7285  df-ltnqqs 7286  df-enq0 7357  df-nq0 7358  df-0nq0 7359  df-plq0 7360  df-mq0 7361  df-inp 7399  df-i1p 7400  df-iplp 7401  df-imp 7402  df-iltp 7403  df-enr 7659  df-nr 7660  df-plr 7661  df-mr 7662  df-ltr 7663  df-0r 7664  df-1r 7665  df-m1r 7666  df-r 7755  df-lt 7758
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator