Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-suploc Unicode version

Theorem axpre-suploc 7703
 Description: An inhabited, bounded-above, located set of reals has a supremum. Locatedness here means that given , either there is an element of the set greater than , or is an upper bound. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-suploc 7734. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jan-2024.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-suploc
Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem axpre-suploc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 519 . . 3
2 eleq1w 2198 . . . 4
32cbvexv 1890 . . 3
41, 3sylib 121 . 2
5 simplll 522 . . . 4
6 simpr 109 . . . 4
7 simplrl 524 . . . . 5
8 breq2 3928 . . . . . . . 8
98ralbidv 2435 . . . . . . 7
109cbvrexv 2653 . . . . . 6
11 breq1 3927 . . . . . . . 8
1211cbvralv 2652 . . . . . . 7
1312rexbii 2440 . . . . . 6
1410, 13bitri 183 . . . . 5
157, 14sylibr 133 . . . 4
16 simplrr 525 . . . . 5
17 breq1 3927 . . . . . . . 8
18 breq1 3927 . . . . . . . . . 10
1918rexbidv 2436 . . . . . . . . 9
2019orbi1d 780 . . . . . . . 8
2117, 20imbi12d 233 . . . . . . 7
22 breq2 3928 . . . . . . . 8
23 breq2 3928 . . . . . . . . . 10
2423ralbidv 2435 . . . . . . . . 9
2524orbi2d 779 . . . . . . . 8
2622, 25imbi12d 233 . . . . . . 7
2721, 26cbvral2v 2660 . . . . . 6
28 breq2 3928 . . . . . . . . . 10
2928cbvrexv 2653 . . . . . . . . 9
30 breq1 3927 . . . . . . . . . 10
3130cbvralv 2652 . . . . . . . . 9
3229, 31orbi12i 753 . . . . . . . 8
3332imbi2i 225 . . . . . . 7
34332ralbii 2441 . . . . . 6
3527, 34bitri 183 . . . . 5
3616, 35sylibr 133 . . . 4
37 eqid 2137 . . . 4
385, 6, 15, 36, 37axpre-suploclemres 7702 . . 3
3917notbid 656 . . . . . . . 8
4039ralbidv 2435 . . . . . . 7
418imbi1d 230 . . . . . . . 8
4241ralbidv 2435 . . . . . . 7
4340, 42anbi12d 464 . . . . . 6
4443cbvrexv 2653 . . . . 5
4522notbid 656 . . . . . . . 8
4645cbvralv 2652 . . . . . . 7
47 breq1 3927 . . . . . . . . . 10
4847rexbidv 2436 . . . . . . . . 9
4911, 48imbi12d 233 . . . . . . . 8
5049cbvralv 2652 . . . . . . 7
5146, 50anbi12i 455 . . . . . 6
5251rexbii 2440 . . . . 5
5344, 52bitri 183 . . . 4
54 breq2 3928 . . . . . . . . 9
5554cbvrexv 2653 . . . . . . . 8
5655imbi2i 225 . . . . . . 7
5756ralbii 2439 . . . . . 6
5857anbi2i 452 . . . . 5
5958rexbii 2440 . . . 4
6053, 59bitri 183 . . 3
6138, 60sylib 121 . 2
624, 61exlimddv 1870 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 103   wo 697  wex 1468   wcel 1480  wral 2414  wrex 2415  crab 2418   wss 3066  cop 3525   class class class wbr 3924  cnr 7098  c0r 7099  cr 7612   cltrr 7617 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-eprel 4206  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-1o 6306  df-2o 6307  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-pli 7106  df-mi 7107  df-lti 7108  df-plpq 7145  df-mpq 7146  df-enq 7148  df-nqqs 7149  df-plqqs 7150  df-mqqs 7151  df-1nqqs 7152  df-rq 7153  df-ltnqqs 7154  df-enq0 7225  df-nq0 7226  df-0nq0 7227  df-plq0 7228  df-mq0 7229  df-inp 7267  df-i1p 7268  df-iplp 7269  df-imp 7270  df-iltp 7271  df-enr 7527  df-nr 7528  df-plr 7529  df-mr 7530  df-ltr 7531  df-0r 7532  df-1r 7533  df-m1r 7534  df-r 7623  df-lt 7626 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator