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Theorem fiintim 6923

Description: If a class is closed under pairwise intersections, then it is closed under nonempty finite intersections. The converse would appear to require an additional condition, such as

and

not being equal, or

having decidable equality.

This theorem is applicable to a topology, which (among other axioms) is closed under finite intersections. Some texts use a pairwise intersection and some texts use a finite intersection, but most topology texts assume excluded middle (in which case the two intersection properties would be equivalent). (Contributed by NM, 22-Sep-2002.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Jan-2023.)

**Assertion**
Ref	Expression
fiintim	$/\$ $/\$

Distinct variable group:

Proof of Theorem fiintim Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6756	. . . . . 6
2		ensym 6776	. . . . . . . 8
3		breq1 4004	. . . . . . . . . . . . . . 15
4	3	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	4	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6	5	albidv 1824	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7		breq1 4004	. . . . . . . . . . . . . . 15
8	7	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	8	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	9	albidv 1824	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11		breq1 4004	. . . . . . . . . . . . . . 15
12	11	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13	12	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14	13	albidv 1824	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15		ensym 6776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
16		en0 6790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17	15, 16	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
18	17	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
19	18	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
20	19	adantll 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
21		df-ne 2348	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22		pm3.24 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
23	22	pm2.21i 646	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
24	21, 23	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
25	20, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
26	25	ax-gen 1449	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
27	26	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
28		nfv 1528	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
29		nfa1 1541	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
30		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
31		bren 6742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
32		ssel 3149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
33		f1of 5458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
34		vex 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
35	34	sucid 4415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
36		ffvelcdm 5646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
37	33, 35, 36	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
38	32, 37	impel 280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
39	38	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	39	adantlll 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41		imaeq2 4963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
42		ima0 4984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
43	41, 42	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
44		inteq 3846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
45		int0 3857	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
46	44, 45	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
47	46	ineq1d 3335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
48		ssv 3177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
49		sseqin2 3354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
50	48, 49	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
51	47, 50	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
52	51	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
53	52	biimprd 158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
54	43, 53	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
55	54	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56		f1ofun 5460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
57	56	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58		elelsuc 4407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
59	58	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60		f1odm 5462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
61	60	eleq2d 2247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
62	61	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	59, 62	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	57, 63	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66		funfvima 5744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
67	64, 65, 66	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		ne0i 3429	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
69	67, 68	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		imassrn 4978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
71		dff1o2 5463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 $/\$ $/\$
72	71	simp3bi 1014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
73	70, 72	sseqtrid 3205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
74		sstr2 3162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
75	73, 74	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
76	75	anim1d 336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
77		f1of1 5457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
78		vex 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
79		sssucid 4413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
80		f1imaen2g 6788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$ $/\$ $/\$
81	79, 34, 80	mpanr12 439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$
82	77, 78, 81	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
83	82	ensymd 6778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
84	76, 83	jctird 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$
85		vex 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
86	85	imaex 4980	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
87		sseq1 3178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
88		neeq1 2360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
89	87, 88	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$
90		breq2 4005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
91	89, 90	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92		inteq 3846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
93	92	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
94	91, 93	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	86, 94	spcv 2831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	84, 95	sylan9 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97		ineq1 3329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
98	97	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
99		ineq2 3330	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
100	99	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
101	98, 100	rspc2v 2854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
102	101	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
103	96, 102	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	103	com4r 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	104	exp5c 376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
106	105	com14 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
107	106	imp43 355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	107	adantlll 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	108	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	69, 109	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111		0elnn 4616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $\/$
112	111	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
113	55, 110, 112	mpjaodan 798	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	40, 113	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	85, 34	fvex 5532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
116	115	intunsn 3881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
117		f1ofn 5459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
118		fnsnfv 5572	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
119	117, 35, 118	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
120	119	uneq2d 3289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
121		df-suc 4369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
122	121	imaeq2i 4965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
123		imaundi 5038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
124	122, 123	eqtr2i 2199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
125	120, 124	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
126		f1ofo 5465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
127		foima 5440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
128	126, 127	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
129	125, 128	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
130	129	inteqd 3848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
131	116, 130	eqtr3id 2224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
132	131	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
133	132	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134	114, 133	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	134	exp43 372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
136	135	exlimdv 1819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
137	31, 136	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
138	137	expimpd 363	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
139	30, 138	sylani 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	139	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	140	imp 124	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	28, 29, 141	alrimd 1610	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143	142	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	6, 10, 14, 27, 143	finds2 4598	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
145		sp 1511	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	144, 145	syl6 33	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
147	146	exp4a 366	. . . . . . . . 9 $/\$
148	147	com24 87	. . . . . . . 8 $/\$
149	2, 148	syl5 32	. . . . . . 7 $/\$
150	149	rexlimiv 2588	. . . . . 6 $/\$
151	1, 150	sylbi 121	. . . . 5 $/\$
152	151	com13 80	. . . 4 $/\$
153	152	impd 254	. . 3 $/\$ $/\$
154	153	alrimiv 1874	. 2 $/\$ $/\$
155		ineq1 3329	. . . 4
156	155	eleq1d 2246	. . 3
157		ineq2 3330	. . . 4
158	157	eleq1d 2246	. . 3
159	156, 158	cbvral2v 2716	. 2
160		df-3an 980	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
161	160	imbi1i 238	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
162	161	albii 1470	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
163	154, 159, 162	3imtr4i 201	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 708 $/\$ w3a 978

wal 1351

wceq 1353

wex 1492

wcel 2148

wne 2347

wral 2455

wrex 2456

cvv 2737

cun 3127

cin 3128

wss 3129

c0 3422

csn 3592

cint 3843 class class class wbr 4001

csuc 4363

com 4587

ccnv 4623

cdm 4624

crn 4625

cima 4627

wfun 5207

wfn 5208

wf 5209

wf1 5210

wfo 5211

wf1o 5212

cfv 5213

cen 6733

cfn 6735

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4119 ax-nul 4127 ax-pow 4172 ax-pr 4207 ax-un 4431 ax-iinf 4585

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-ral 2460 df-rex 2461 df-v 2739 df-sbc 2963 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3809 df-int 3844 df-br 4002 df-opab 4063 df-id 4291 df-suc 4369 df-iom 4588 df-xp 4630 df-rel 4631 df-cnv 4632 df-co 4633 df-dm 4634 df-rn 4635 df-res 4636 df-ima 4637 df-iota 5175 df-fun 5215 df-fn 5216 df-f 5217 df-f1 5218 df-fo 5219 df-f1o 5220 df-fv 5221 df-er 6530 df-en 6736 df-fin 6738

This theorem is referenced by: istopfin 13280

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