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Theorem fiintim 6992

Description: If a class is closed under pairwise intersections, then it is closed under nonempty finite intersections. The converse would appear to require an additional condition, such as

and

not being equal, or

having decidable equality.

This theorem is applicable to a topology, which (among other axioms) is closed under finite intersections. Some texts use a pairwise intersection and some texts use a finite intersection, but most topology texts assume excluded middle (in which case the two intersection properties would be equivalent). (Contributed by NM, 22-Sep-2002.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Jan-2023.)

**Assertion**
Ref	Expression
fiintim	$/\$ $/\$

Distinct variable group:

Proof of Theorem fiintim Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6820	. . . . . 6
2		ensym 6840	. . . . . . . 8
3		breq1 4036	. . . . . . . . . . . . . . 15
4	3	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	4	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6	5	albidv 1838	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7		breq1 4036	. . . . . . . . . . . . . . 15
8	7	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	8	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	9	albidv 1838	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11		breq1 4036	. . . . . . . . . . . . . . 15
12	11	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13	12	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14	13	albidv 1838	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15		ensym 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
16		en0 6854	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17	15, 16	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
18	17	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
19	18	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
20	19	adantll 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
21		df-ne 2368	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22		pm3.24 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
23	22	pm2.21i 647	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
24	21, 23	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
25	20, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
26	25	ax-gen 1463	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
27	26	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
28		nfv 1542	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
29		nfa1 1555	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
30		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
31		bren 6806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
32		ssel 3177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
33		f1of 5504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
34		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
35	34	sucid 4452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
36		ffvelcdm 5695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
37	33, 35, 36	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
38	32, 37	impel 280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
39	38	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	39	adantlll 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41		imaeq2 5005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
42		ima0 5028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
43	41, 42	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
44		inteq 3877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
45		int0 3888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
46	44, 45	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
47	46	ineq1d 3363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
48		ssv 3205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
49		sseqin2 3382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
50	48, 49	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
51	47, 50	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
52	51	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
53	52	biimprd 158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
54	43, 53	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
55	54	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56		f1ofun 5506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
57	56	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58		elelsuc 4444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
59	58	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60		f1odm 5508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
61	60	eleq2d 2266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
62	61	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	59, 62	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	57, 63	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66		funfvima 5794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
67	64, 65, 66	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		ne0i 3457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
69	67, 68	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		imassrn 5020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
71		dff1o2 5509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 $/\$ $/\$
72	71	simp3bi 1016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
73	70, 72	sseqtrid 3233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
74		sstr2 3190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
75	73, 74	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
76	75	anim1d 336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
77		f1of1 5503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
78		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
79		sssucid 4450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
80		f1imaen2g 6852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$ $/\$ $/\$
81	79, 34, 80	mpanr12 439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$
82	77, 78, 81	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
83	82	ensymd 6842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
84	76, 83	jctird 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$
85		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
86	85	imaex 5024	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
87		sseq1 3206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
88		neeq1 2380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
89	87, 88	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$
90		breq2 4037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
91	89, 90	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92		inteq 3877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
93	92	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
94	91, 93	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	86, 94	spcv 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	84, 95	sylan9 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97		ineq1 3357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
98	97	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
99		ineq2 3358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
100	99	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
101	98, 100	rspc2v 2881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
102	101	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
103	96, 102	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	103	com4r 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	104	exp5c 376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
106	105	com14 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
107	106	imp43 355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	107	adantlll 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	108	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	69, 109	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111		0elnn 4655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $\/$
112	111	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
113	55, 110, 112	mpjaodan 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	40, 113	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	85, 34	fvex 5578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
116	115	intunsn 3912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
117		f1ofn 5505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
118		fnsnfv 5620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
119	117, 35, 118	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
120	119	uneq2d 3317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
121		df-suc 4406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
122	121	imaeq2i 5007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
123		imaundi 5082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
124	122, 123	eqtr2i 2218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
125	120, 124	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
126		f1ofo 5511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
127		foima 5485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
128	126, 127	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
129	125, 128	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
130	129	inteqd 3879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
131	116, 130	eqtr3id 2243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
132	131	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
133	132	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134	114, 133	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	134	exp43 372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
136	135	exlimdv 1833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
137	31, 136	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
138	137	expimpd 363	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
139	30, 138	sylani 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	139	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	140	imp 124	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	28, 29, 141	alrimd 1624	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143	142	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	6, 10, 14, 27, 143	finds2 4637	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
145		sp 1525	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	144, 145	syl6 33	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
147	146	exp4a 366	. . . . . . . . 9 $/\$
148	147	com24 87	. . . . . . . 8 $/\$
149	2, 148	syl5 32	. . . . . . 7 $/\$
150	149	rexlimiv 2608	. . . . . 6 $/\$
151	1, 150	sylbi 121	. . . . 5 $/\$
152	151	com13 80	. . . 4 $/\$
153	152	impd 254	. . 3 $/\$ $/\$
154	153	alrimiv 1888	. 2 $/\$ $/\$
155		ineq1 3357	. . . 4
156	155	eleq1d 2265	. . 3
157		ineq2 3358	. . . 4
158	157	eleq1d 2265	. . 3
159	156, 158	cbvral2v 2742	. 2
160		df-3an 982	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
161	160	imbi1i 238	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
162	161	albii 1484	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
163	154, 159, 162	3imtr4i 201	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 709 $/\$ w3a 980

wal 1362

wceq 1364

wex 1506

wcel 2167

wne 2367

wral 2475

wrex 2476

cvv 2763

cun 3155

cin 3156

wss 3157

c0 3450

csn 3622

cint 3874 class class class wbr 4033

csuc 4400

com 4626

ccnv 4662

cdm 4663

crn 4664

cima 4666

wfun 5252

wfn 5253

wf 5254

wf1 5255

wfo 5256

wf1o 5257

cfv 5258

cen 6797

cfn 6799

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-sep 4151 ax-nul 4159 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-ral 2480 df-rex 2481 df-v 2765 df-sbc 2990 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3451 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-int 3875 df-br 4034 df-opab 4095 df-id 4328 df-suc 4406 df-iom 4627 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-f1 5263 df-fo 5264 df-f1o 5265 df-fv 5266 df-er 6592 df-en 6800 df-fin 6802

This theorem is referenced by: istopfin 14236

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