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Theorem fiintim 7001

Description: If a class is closed under pairwise intersections, then it is closed under nonempty finite intersections. The converse would appear to require an additional condition, such as

and

not being equal, or

having decidable equality.

This theorem is applicable to a topology, which (among other axioms) is closed under finite intersections. Some texts use a pairwise intersection and some texts use a finite intersection, but most topology texts assume excluded middle (in which case the two intersection properties would be equivalent). (Contributed by NM, 22-Sep-2002.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Jan-2023.)

**Assertion**
Ref	Expression
fiintim	$/\$ $/\$

Distinct variable group:

Proof of Theorem fiintim Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6829	. . . . . 6
2		ensym 6849	. . . . . . . 8
3		breq1 4037	. . . . . . . . . . . . . . 15
4	3	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
5	4	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
6	5	albidv 1838	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
7		breq1 4037	. . . . . . . . . . . . . . 15
8	7	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
9	8	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
10	9	albidv 1838	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
11		breq1 4037	. . . . . . . . . . . . . . 15
12	11	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
13	12	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
14	13	albidv 1838	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
15		ensym 6849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
16		en0 6863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
17	15, 16	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
18	17	anim1i 340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
19	18	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
20	19	adantll 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
21		df-ne 2368	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22		pm3.24 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
23	22	pm2.21i 647	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
24	21, 23	sylan2b 287	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
25	20, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
26	25	ax-gen 1463	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
27	26	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
28		nfv 1542	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
29		nfa1 1555	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
30		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$
31		bren 6815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
32		ssel 3178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
33		f1of 5507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
34		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
35	34	sucid 4453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
36		ffvelcdm 5698	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
37	33, 35, 36	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
38	32, 37	impel 280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$
39	38	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
40	39	adantlll 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
41		imaeq2 5006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
42		ima0 5029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
43	41, 42	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
44		inteq 3878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
45		int0 3889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
46	44, 45	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
47	46	ineq1d 3364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
48		ssv 3206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
49		sseqin2 3383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
50	48, 49	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
51	47, 50	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
52	51	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
53	52	biimprd 158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
54	43, 53	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
55	54	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56		f1ofun 5509	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
57	56	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58		elelsuc 4445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
59	58	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60		f1odm 5511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
61	60	eleq2d 2266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
62	61	ad3antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	59, 62	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	57, 63	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66		funfvima 5797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$
67	64, 65, 66	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
68		ne0i 3458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
69	67, 68	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70		imassrn 5021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
71		dff1o2 5512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 $/\$ $/\$
72	71	simp3bi 1016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
73	70, 72	sseqtrid 3234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
74		sstr2 3191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
75	73, 74	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
76	75	anim1d 336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$
77		f1of1 5506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
78		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
79		sssucid 4451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
80		f1imaen2g 6861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 $/\$ $/\$ $/\$
81	79, 34, 80	mpanr12 439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$
82	77, 78, 81	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
83	82	ensymd 6851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
84	76, 83	jctird 317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$
85		vex 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
86	85	imaex 5025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
87		sseq1 3207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
88		neeq1 2380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
89	87, 88	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 $/\$ $/\$
90		breq2 4038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
91	89, 90	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
92		inteq 3878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
93	92	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
94	91, 93	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
95	86, 94	spcv 2858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
96	84, 95	sylan9 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
97		ineq1 3358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
98	97	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
99		ineq2 3359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
100	99	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
101	98, 100	rspc2v 2881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 $/\$
102	101	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
103	96, 102	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
104	103	com4r 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
105	104	exp5c 376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$
106	105	com14 88	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$
107	106	imp43 355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
108	107	adantlll 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
109	108	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
110	69, 109	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
111		0elnn 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $\/$
112	111	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
113	55, 110, 112	mpjaodan 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
114	40, 113	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
115	85, 34	fvex 5581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
116	115	intunsn 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
117		f1ofn 5508	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
118		fnsnfv 5623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$
119	117, 35, 118	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
120	119	uneq2d 3318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
121		df-suc 4407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
122	121	imaeq2i 5008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
123		imaundi 5083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
124	122, 123	eqtr2i 2218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
125	120, 124	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
126		f1ofo 5514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
127		foima 5488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
128	126, 127	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
129	125, 128	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
130	129	inteqd 3880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
131	116, 130	eqtr3id 2243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
132	131	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
133	132	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
134	114, 133	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
135	134	exp43 372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
136	135	exlimdv 1833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
137	31, 136	biimtrid 152	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
138	137	expimpd 363	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
139	30, 138	sylani 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140	139	com24 87	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
141	140	imp 124	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
142	28, 29, 141	alrimd 1624	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
143	142	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
144	6, 10, 14, 27, 143	finds2 4638	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
145		sp 1525	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
146	144, 145	syl6 33	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
147	146	exp4a 366	. . . . . . . . 9 $/\$
148	147	com24 87	. . . . . . . 8 $/\$
149	2, 148	syl5 32	. . . . . . 7 $/\$
150	149	rexlimiv 2608	. . . . . 6 $/\$
151	1, 150	sylbi 121	. . . . 5 $/\$
152	151	com13 80	. . . 4 $/\$
153	152	impd 254	. . 3 $/\$ $/\$
154	153	alrimiv 1888	. 2 $/\$ $/\$
155		ineq1 3358	. . . 4
156	155	eleq1d 2265	. . 3
157		ineq2 3359	. . . 4
158	157	eleq1d 2265	. . 3
159	156, 158	cbvral2v 2742	. 2
160		df-3an 982	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
161	160	imbi1i 238	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
162	161	albii 1484	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
163	154, 159, 162	3imtr4i 201	1 $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 709 $/\$ w3a 980

wal 1362

wceq 1364

wex 1506

wcel 2167

wne 2367

wral 2475

wrex 2476

cvv 2763

cun 3155

cin 3156

wss 3157

c0 3451

csn 3623

cint 3875 class class class wbr 4034

csuc 4401

com 4627

ccnv 4663

cdm 4664

crn 4665

cima 4667

wfun 5253

wfn 5254

wf 5255

wf1 5256

wfo 5257

wf1o 5258

cfv 5259

cen 6806

cfn 6808

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-sep 4152 ax-nul 4160 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-ral 2480 df-rex 2481 df-v 2765 df-sbc 2990 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3452 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-int 3876 df-br 4035 df-opab 4096 df-id 4329 df-suc 4407 df-iom 4628 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-f1 5264 df-fo 5265 df-f1o 5266 df-fv 5267 df-er 6601 df-en 6809 df-fin 6811

This theorem is referenced by: istopfin 14320

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