Theorem fprodcl2lem 11604

Description: Finite product closure lemma. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcllem.1	|- ( ph -> S C_ CC )
fprodcllem.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
fprodcllem.3	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodcllem.4	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. S )
fprodcl2lem.5	|- ( ph -> A =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
fprodcl2lem	|- ( ph -> prod_ k e. A B e. S )

Distinct variable groups:   A, k, x, y   x, B, y   S, k, x, y   ph, k, x, y

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fprodcl2lem

Dummy variables w z u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodcl2lem.5	. . 3 |- ( ph -> A =/= (/) )
2	1	neneqd 2368	. 2 |- ( ph -> -. A = (/) )
3		eqeq1 2184	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( w = (/) <-> (/) = (/) ) )
4		prodeq1 11552	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. (/) B )
5	4	eleq1d 2246	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( prod_ k e. w B e. S <-> prod_ k e. (/) B e. S ) )
6	3, 5	orbi12d 793	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( w = (/) \/ prod_ k e. w B e. S ) <-> ( (/) = (/) \/ prod_ k e. (/) B e. S ) ) )
7		eqeq1 2184	. . . . 5 |- ( w = y -> ( w = (/) <-> y = (/) ) )
8		prodeq1 11552	. . . . . 6 |- ( w = y -> prod_ k e. w B = prod_ k e. y B )
9	8	eleq1d 2246	. . . . 5 |- ( w = y -> ( prod_ k e. w B e. S <-> prod_ k e. y B e. S ) )
10	7, 9	orbi12d 793	. . . 4 |- ( w = y -> ( ( w = (/) \/ prod_ k e. w B e. S ) <-> ( y = (/) \/ prod_ k e. y B e. S ) ) )
11		eqeq1 2184	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w = (/) <-> ( y u. { z } ) = (/) ) )
12		prodeq1 11552	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. ( y u. { z } ) B )
13	12	eleq1d 2246	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( prod_ k e. w B e. S <-> prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) )
14	11, 13	orbi12d 793	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( w = (/) \/ prod_ k e. w B e. S ) <-> ( ( y u. { z } ) = (/) \/ prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) ) )
15		eqeq1 2184	. . . . 5 |- ( w = A -> ( w = (/) <-> A = (/) ) )
16		prodeq1 11552	. . . . . 6 |- ( w = A -> prod_ k e. w B = prod_ k e. A B )
17	16	eleq1d 2246	. . . . 5 |- ( w = A -> ( prod_ k e. w B e. S <-> prod_ k e. A B e. S ) )
18	15, 17	orbi12d 793	. . . 4 |- ( w = A -> ( ( w = (/) \/ prod_ k e. w B e. S ) <-> ( A = (/) \/ prod_ k e. A B e. S ) ) )
19		eqidd 2178	. . . . 5 |- ( ph -> (/) = (/) )
20	19	orcd 733	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) = (/) \/ prod_ k e. (/) B e. S ) )
21		nfcsb1v 3090	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
22		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
23		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
24	23	eldifbd 3141	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
25		fprodcllem.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S C_ CC )
26	25	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> S C_ CC )
27		simplll 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ph )
28		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> y C_ A )
29		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. y )
30	28, 29	sseldd 3156	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. A )
31		fprodcllem.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. S )
32	27, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. S )
33	26, 32	sseldd 3156	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
34	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> S C_ CC )
35		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ph )
36	23	eldifad 3140	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
37	31	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. k e. A B e. S )
38		nfv 1528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ z B e. S
39	21	nfel1 2330	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k [_ z / k ]_ B e. S
40		csbeq1a 3066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
41	40	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = z -> ( B e. S <-> [_ z / k ]_ B e. S ) )
42	38, 39, 41	cbvral 2699	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. k e. A B e. S <-> A. z e. A [_ z / k ]_ B e. S )
43	37, 42	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. z e. A [_ z / k ]_ B e. S )
44	43	r19.21bi 2565	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> [_ z / k ]_ B e. S )
45	35, 36, 44	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B e. S )
46	34, 45	sseldd 3156	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
47	21, 22, 23, 24, 33, 46, 40	fprodunsn 11603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
48	47	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
49		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> y = (/) )
50	49	prodeq1d 11563	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> prod_ k e. y B = prod_ k e. (/) B )
51		prod0 11584	. . . . . . . . . . . 12 |- prod_ k e. (/) B = 1
52	50, 51	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> prod_ k e. y B = 1 )
53	52	oveq1d 5885	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) = ( 1 x. [_ z / k ]_ B ) )
54	46	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
55	54	mulid2d 7970	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> ( 1 x. [_ z / k ]_ B ) = [_ z / k ]_ B )
56	53, 55	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) = [_ z / k ]_ B )
57	45	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> [_ z / k ]_ B e. S )
58	56, 57	eqeltrd 2254	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) e. S )
59	48, 58	eqeltrd 2254	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S )
60	59	olcd 734	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> ( ( y u. { z } ) = (/) \/ prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) )
61	60	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y = (/) -> ( ( y u. { z } ) = (/) \/ prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) ) )
62	47	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
63		fprodcllem.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
64	63	ralrimivva 2559	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S ( x x. y ) e. S )
65		oveq1 5877	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = u -> ( x x. y ) = ( u x. y ) )
66	65	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( ( x x. y ) e. S <-> ( u x. y ) e. S ) )
67		oveq2 5878	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = v -> ( u x. y ) = ( u x. v ) )
68	67	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = v -> ( ( u x. y ) e. S <-> ( u x. v ) e. S ) )
69	66, 68	cbvral2v 2716	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. S A. y e. S ( x x. y ) e. S <-> A. u e. S A. v e. S ( u x. v ) e. S )
70	64, 69	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. u e. S A. v e. S ( u x. v ) e. S )
71	70	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> A. u e. S A. v e. S ( u x. v ) e. S )
72		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> prod_ k e. y B e. S )
73	45	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> [_ z / k ]_ B e. S )
74		oveq1 5877	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = prod_ k e. y B -> ( u x. v ) = ( prod_ k e. y B x. v ) )
75	74	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = prod_ k e. y B -> ( ( u x. v ) e. S <-> ( prod_ k e. y B x. v ) e. S ) )
76		oveq2 5878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = [_ z / k ]_ B -> ( prod_ k e. y B x. v ) = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
77	76	eleq1d 2246	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = [_ z / k ]_ B -> ( ( prod_ k e. y B x. v ) e. S <-> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) e. S ) )
78	75, 77	rspc2v 2854	. . . . . . . . . 10 |- ( ( prod_ k e. y B e. S /\ [_ z / k ]_ B e. S ) -> ( A. u e. S A. v e. S ( u x. v ) e. S -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) e. S ) )
79	72, 73, 78	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> ( A. u e. S A. v e. S ( u x. v ) e. S -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) e. S ) )
80	71, 79	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) e. S )
81	62, 80	eqeltrd 2254	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S )
82	81	olcd 734	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> ( ( y u. { z } ) = (/) \/ prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) )
83	82	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. y B e. S -> ( ( y u. { z } ) = (/) \/ prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) ) )
84	61, 83	jaod 717	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( y = (/) \/ prod_ k e. y B e. S ) -> ( ( y u. { z } ) = (/) \/ prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) ) )
85		fprodcllem.3	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
86	6, 10, 14, 18, 20, 84, 85	findcard2sd 6887	. . 3 |- ( ph -> ( A = (/) \/ prod_ k e. A B e. S ) )
87	86	orcomd 729	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. A B e. S \/ A = (/) ) )
88	2, 87	ecased 1349	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   A.wral 2455   [_csb 3057   \ cdif 3126   u. cun 3127   C_ wss 3129   (/)c0 3422   {csn 3592  (class class class)co 5870   Fincfn 6735   CCcc 7804   1c1 7807   x. cmul 7811   prod_cprod 11549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4116  ax-sep 4119  ax-nul 4127  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-setind 4534  ax-iinf 4585  ax-cnex 7897  ax-resscn 7898  ax-1cn 7899  ax-1re 7900  ax-icn 7901  ax-addcl 7902  ax-addrcl 7903  ax-mulcl 7904  ax-mulrcl 7905  ax-addcom 7906  ax-mulcom 7907  ax-addass 7908  ax-mulass 7909  ax-distr 7910  ax-i2m1 7911  ax-0lt1 7912  ax-1rid 7913  ax-0id 7914  ax-rnegex 7915  ax-precex 7916  ax-cnre 7917  ax-pre-ltirr 7918  ax-pre-ltwlin 7919  ax-pre-lttrn 7920  ax-pre-apti 7921  ax-pre-ltadd 7922  ax-pre-mulgt0 7923  ax-pre-mulext 7924  ax-arch 7925  ax-caucvg 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-int 3844  df-iun 3887  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-tr 4100  df-id 4291  df-po 4294  df-iso 4295  df-iord 4364  df-on 4366  df-ilim 4367  df-suc 4369  df-iom 4588  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-rn 4635  df-res 4636  df-ima 4637  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fn 5216  df-f 5217  df-f1 5218  df-fo 5219  df-f1o 5220  df-fv 5221  df-isom 5222  df-riota 5826  df-ov 5873  df-oprab 5874  df-mpo 5875  df-1st 6136  df-2nd 6137  df-recs 6301  df-irdg 6366  df-frec 6387  df-1o 6412  df-oadd 6416  df-er 6530  df-en 6736  df-dom 6737  df-fin 6738  df-pnf 7988  df-mnf 7989  df-xr 7990  df-ltxr 7991  df-le 7992  df-sub 8124  df-neg 8125  df-reap 8526  df-ap 8533  df-div 8624  df-inn 8914  df-2 8972  df-3 8973  df-4 8974  df-n0 9171  df-z 9248  df-uz 9523  df-q 9614  df-rp 9648  df-fz 10003  df-fzo 10136  df-seqfrec 10439  df-exp 10513  df-ihash 10747  df-cj 10842  df-re 10843  df-im 10844  df-rsqrt 10998  df-abs 10999  df-clim 11278  df-proddc 11550

This theorem is referenced by:  fprodcllem  11605