Theorem fprodcl2lem 12165

Description: Finite product closure lemma. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcllem.1	|- ( ph -> S C_ CC )
fprodcllem.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
fprodcllem.3	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodcllem.4	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. S )
fprodcl2lem.5	|- ( ph -> A =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
fprodcl2lem	|- ( ph -> prod_ k e. A B e. S )

Distinct variable groups:   A, k, x, y   x, B, y   S, k, x, y   ph, k, x, y

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fprodcl2lem

Dummy variables w z u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodcl2lem.5	. . 3 |- ( ph -> A =/= (/) )
2	1	neneqd 2423	. 2 |- ( ph -> -. A = (/) )
3		eqeq1 2238	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( w = (/) <-> (/) = (/) ) )
4		prodeq1 12113	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. (/) B )
5	4	eleq1d 2300	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( prod_ k e. w B e. S <-> prod_ k e. (/) B e. S ) )
6	3, 5	orbi12d 800	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( w = (/) \/ prod_ k e. w B e. S ) <-> ( (/) = (/) \/ prod_ k e. (/) B e. S ) ) )
7		eqeq1 2238	. . . . 5 |- ( w = y -> ( w = (/) <-> y = (/) ) )
8		prodeq1 12113	. . . . . 6 |- ( w = y -> prod_ k e. w B = prod_ k e. y B )
9	8	eleq1d 2300	. . . . 5 |- ( w = y -> ( prod_ k e. w B e. S <-> prod_ k e. y B e. S ) )
10	7, 9	orbi12d 800	. . . 4 |- ( w = y -> ( ( w = (/) \/ prod_ k e. w B e. S ) <-> ( y = (/) \/ prod_ k e. y B e. S ) ) )
11		eqeq1 2238	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w = (/) <-> ( y u. { z } ) = (/) ) )
12		prodeq1 12113	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. ( y u. { z } ) B )
13	12	eleq1d 2300	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( prod_ k e. w B e. S <-> prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) )
14	11, 13	orbi12d 800	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( w = (/) \/ prod_ k e. w B e. S ) <-> ( ( y u. { z } ) = (/) \/ prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) ) )
15		eqeq1 2238	. . . . 5 |- ( w = A -> ( w = (/) <-> A = (/) ) )
16		prodeq1 12113	. . . . . 6 |- ( w = A -> prod_ k e. w B = prod_ k e. A B )
17	16	eleq1d 2300	. . . . 5 |- ( w = A -> ( prod_ k e. w B e. S <-> prod_ k e. A B e. S ) )
18	15, 17	orbi12d 800	. . . 4 |- ( w = A -> ( ( w = (/) \/ prod_ k e. w B e. S ) <-> ( A = (/) \/ prod_ k e. A B e. S ) ) )
19		eqidd 2232	. . . . 5 |- ( ph -> (/) = (/) )
20	19	orcd 740	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) = (/) \/ prod_ k e. (/) B e. S ) )
21		nfcsb1v 3160	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
22		simplr 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
23		simprr 533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
24	23	eldifbd 3212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
25		fprodcllem.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S C_ CC )
26	25	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> S C_ CC )
27		simplll 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ph )
28		simplrl 537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> y C_ A )
29		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. y )
30	28, 29	sseldd 3228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. A )
31		fprodcllem.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. S )
32	27, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. S )
33	26, 32	sseldd 3228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
34	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> S C_ CC )
35		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ph )
36	23	eldifad 3211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
37	31	ralrimiva 2605	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. k e. A B e. S )
38		nfv 1576	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ z B e. S
39	21	nfel1 2385	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k [_ z / k ]_ B e. S
40		csbeq1a 3136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
41	40	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = z -> ( B e. S <-> [_ z / k ]_ B e. S ) )
42	38, 39, 41	cbvral 2763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. k e. A B e. S <-> A. z e. A [_ z / k ]_ B e. S )
43	37, 42	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. z e. A [_ z / k ]_ B e. S )
44	43	r19.21bi 2620	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> [_ z / k ]_ B e. S )
45	35, 36, 44	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B e. S )
46	34, 45	sseldd 3228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
47	21, 22, 23, 24, 33, 46, 40	fprodunsn 12164	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
48	47	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
49		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> y = (/) )
50	49	prodeq1d 12124	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> prod_ k e. y B = prod_ k e. (/) B )
51		prod0 12145	. . . . . . . . . . . 12 |- prod_ k e. (/) B = 1
52	50, 51	eqtrdi 2280	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> prod_ k e. y B = 1 )
53	52	oveq1d 6032	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) = ( 1 x. [_ z / k ]_ B ) )
54	46	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
55	54	mulid2d 8197	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> ( 1 x. [_ z / k ]_ B ) = [_ z / k ]_ B )
56	53, 55	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) = [_ z / k ]_ B )
57	45	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> [_ z / k ]_ B e. S )
58	56, 57	eqeltrd 2308	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) e. S )
59	48, 58	eqeltrd 2308	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S )
60	59	olcd 741	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> ( ( y u. { z } ) = (/) \/ prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) )
61	60	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y = (/) -> ( ( y u. { z } ) = (/) \/ prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) ) )
62	47	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
63		fprodcllem.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
64	63	ralrimivva 2614	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S ( x x. y ) e. S )
65		oveq1 6024	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = u -> ( x x. y ) = ( u x. y ) )
66	65	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( ( x x. y ) e. S <-> ( u x. y ) e. S ) )
67		oveq2 6025	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = v -> ( u x. y ) = ( u x. v ) )
68	67	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = v -> ( ( u x. y ) e. S <-> ( u x. v ) e. S ) )
69	66, 68	cbvral2v 2780	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. S A. y e. S ( x x. y ) e. S <-> A. u e. S A. v e. S ( u x. v ) e. S )
70	64, 69	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. u e. S A. v e. S ( u x. v ) e. S )
71	70	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> A. u e. S A. v e. S ( u x. v ) e. S )
72		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> prod_ k e. y B e. S )
73	45	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> [_ z / k ]_ B e. S )
74		oveq1 6024	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = prod_ k e. y B -> ( u x. v ) = ( prod_ k e. y B x. v ) )
75	74	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = prod_ k e. y B -> ( ( u x. v ) e. S <-> ( prod_ k e. y B x. v ) e. S ) )
76		oveq2 6025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = [_ z / k ]_ B -> ( prod_ k e. y B x. v ) = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
77	76	eleq1d 2300	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = [_ z / k ]_ B -> ( ( prod_ k e. y B x. v ) e. S <-> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) e. S ) )
78	75, 77	rspc2v 2923	. . . . . . . . . 10 |- ( ( prod_ k e. y B e. S /\ [_ z / k ]_ B e. S ) -> ( A. u e. S A. v e. S ( u x. v ) e. S -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) e. S ) )
79	72, 73, 78	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> ( A. u e. S A. v e. S ( u x. v ) e. S -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) e. S ) )
80	71, 79	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) e. S )
81	62, 80	eqeltrd 2308	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S )
82	81	olcd 741	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> ( ( y u. { z } ) = (/) \/ prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) )
83	82	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. y B e. S -> ( ( y u. { z } ) = (/) \/ prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) ) )
84	61, 83	jaod 724	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( y = (/) \/ prod_ k e. y B e. S ) -> ( ( y u. { z } ) = (/) \/ prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) ) )
85		fprodcllem.3	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
86	6, 10, 14, 18, 20, 84, 85	findcard2sd 7080	. . 3 |- ( ph -> ( A = (/) \/ prod_ k e. A B e. S ) )
87	86	orcomd 736	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. A B e. S \/ A = (/) ) )
88	2, 87	ecased 1385	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 715   = wceq 1397   e. wcel 2202   =/= wne 2402   A.wral 2510   [_csb 3127   \ cdif 3197   u. cun 3198   C_ wss 3200   (/)c0 3494   {csn 3669  (class class class)co 6017   Fincfn 6908   CCcc 8029   1c1 8032   x. cmul 8036   prod_cprod 12110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-frec 6556  df-1o 6581  df-oadd 6585  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-ihash 11037  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-clim 11839  df-proddc 12111

This theorem is referenced by:  fprodcllem  12166