Theorem fprodcl2lem 11787

Description: Finite product closure lemma. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcllem.1	|- ( ph -> S C_ CC )
fprodcllem.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
fprodcllem.3	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodcllem.4	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. S )
fprodcl2lem.5	|- ( ph -> A =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
fprodcl2lem	|- ( ph -> prod_ k e. A B e. S )

Distinct variable groups:   A, k, x, y   x, B, y   S, k, x, y   ph, k, x, y

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fprodcl2lem

Dummy variables w z u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodcl2lem.5	. . 3 |- ( ph -> A =/= (/) )
2	1	neneqd 2388	. 2 |- ( ph -> -. A = (/) )
3		eqeq1 2203	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( w = (/) <-> (/) = (/) ) )
4		prodeq1 11735	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. (/) B )
5	4	eleq1d 2265	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( prod_ k e. w B e. S <-> prod_ k e. (/) B e. S ) )
6	3, 5	orbi12d 794	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( w = (/) \/ prod_ k e. w B e. S ) <-> ( (/) = (/) \/ prod_ k e. (/) B e. S ) ) )
7		eqeq1 2203	. . . . 5 |- ( w = y -> ( w = (/) <-> y = (/) ) )
8		prodeq1 11735	. . . . . 6 |- ( w = y -> prod_ k e. w B = prod_ k e. y B )
9	8	eleq1d 2265	. . . . 5 |- ( w = y -> ( prod_ k e. w B e. S <-> prod_ k e. y B e. S ) )
10	7, 9	orbi12d 794	. . . 4 |- ( w = y -> ( ( w = (/) \/ prod_ k e. w B e. S ) <-> ( y = (/) \/ prod_ k e. y B e. S ) ) )
11		eqeq1 2203	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w = (/) <-> ( y u. { z } ) = (/) ) )
12		prodeq1 11735	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. ( y u. { z } ) B )
13	12	eleq1d 2265	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( prod_ k e. w B e. S <-> prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) )
14	11, 13	orbi12d 794	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( w = (/) \/ prod_ k e. w B e. S ) <-> ( ( y u. { z } ) = (/) \/ prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) ) )
15		eqeq1 2203	. . . . 5 |- ( w = A -> ( w = (/) <-> A = (/) ) )
16		prodeq1 11735	. . . . . 6 |- ( w = A -> prod_ k e. w B = prod_ k e. A B )
17	16	eleq1d 2265	. . . . 5 |- ( w = A -> ( prod_ k e. w B e. S <-> prod_ k e. A B e. S ) )
18	15, 17	orbi12d 794	. . . 4 |- ( w = A -> ( ( w = (/) \/ prod_ k e. w B e. S ) <-> ( A = (/) \/ prod_ k e. A B e. S ) ) )
19		eqidd 2197	. . . . 5 |- ( ph -> (/) = (/) )
20	19	orcd 734	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) = (/) \/ prod_ k e. (/) B e. S ) )
21		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
22		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
23		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
24	23	eldifbd 3169	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
25		fprodcllem.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S C_ CC )
26	25	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> S C_ CC )
27		simplll 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ph )
28		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> y C_ A )
29		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. y )
30	28, 29	sseldd 3185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. A )
31		fprodcllem.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. S )
32	27, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. S )
33	26, 32	sseldd 3185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
34	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> S C_ CC )
35		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ph )
36	23	eldifad 3168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
37	31	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. k e. A B e. S )
38		nfv 1542	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ z B e. S
39	21	nfel1 2350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k [_ z / k ]_ B e. S
40		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
41	40	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = z -> ( B e. S <-> [_ z / k ]_ B e. S ) )
42	38, 39, 41	cbvral 2725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. k e. A B e. S <-> A. z e. A [_ z / k ]_ B e. S )
43	37, 42	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. z e. A [_ z / k ]_ B e. S )
44	43	r19.21bi 2585	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> [_ z / k ]_ B e. S )
45	35, 36, 44	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B e. S )
46	34, 45	sseldd 3185	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
47	21, 22, 23, 24, 33, 46, 40	fprodunsn 11786	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
48	47	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
49		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> y = (/) )
50	49	prodeq1d 11746	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> prod_ k e. y B = prod_ k e. (/) B )
51		prod0 11767	. . . . . . . . . . . 12 |- prod_ k e. (/) B = 1
52	50, 51	eqtrdi 2245	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> prod_ k e. y B = 1 )
53	52	oveq1d 5940	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) = ( 1 x. [_ z / k ]_ B ) )
54	46	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
55	54	mulid2d 8062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> ( 1 x. [_ z / k ]_ B ) = [_ z / k ]_ B )
56	53, 55	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) = [_ z / k ]_ B )
57	45	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> [_ z / k ]_ B e. S )
58	56, 57	eqeltrd 2273	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) e. S )
59	48, 58	eqeltrd 2273	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S )
60	59	olcd 735	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> ( ( y u. { z } ) = (/) \/ prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) )
61	60	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y = (/) -> ( ( y u. { z } ) = (/) \/ prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) ) )
62	47	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
63		fprodcllem.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
64	63	ralrimivva 2579	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S ( x x. y ) e. S )
65		oveq1 5932	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = u -> ( x x. y ) = ( u x. y ) )
66	65	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( ( x x. y ) e. S <-> ( u x. y ) e. S ) )
67		oveq2 5933	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = v -> ( u x. y ) = ( u x. v ) )
68	67	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = v -> ( ( u x. y ) e. S <-> ( u x. v ) e. S ) )
69	66, 68	cbvral2v 2742	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. S A. y e. S ( x x. y ) e. S <-> A. u e. S A. v e. S ( u x. v ) e. S )
70	64, 69	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. u e. S A. v e. S ( u x. v ) e. S )
71	70	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> A. u e. S A. v e. S ( u x. v ) e. S )
72		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> prod_ k e. y B e. S )
73	45	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> [_ z / k ]_ B e. S )
74		oveq1 5932	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = prod_ k e. y B -> ( u x. v ) = ( prod_ k e. y B x. v ) )
75	74	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = prod_ k e. y B -> ( ( u x. v ) e. S <-> ( prod_ k e. y B x. v ) e. S ) )
76		oveq2 5933	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = [_ z / k ]_ B -> ( prod_ k e. y B x. v ) = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
77	76	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = [_ z / k ]_ B -> ( ( prod_ k e. y B x. v ) e. S <-> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) e. S ) )
78	75, 77	rspc2v 2881	. . . . . . . . . 10 |- ( ( prod_ k e. y B e. S /\ [_ z / k ]_ B e. S ) -> ( A. u e. S A. v e. S ( u x. v ) e. S -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) e. S ) )
79	72, 73, 78	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> ( A. u e. S A. v e. S ( u x. v ) e. S -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) e. S ) )
80	71, 79	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) e. S )
81	62, 80	eqeltrd 2273	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S )
82	81	olcd 735	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> ( ( y u. { z } ) = (/) \/ prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) )
83	82	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. y B e. S -> ( ( y u. { z } ) = (/) \/ prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) ) )
84	61, 83	jaod 718	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( y = (/) \/ prod_ k e. y B e. S ) -> ( ( y u. { z } ) = (/) \/ prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) ) )
85		fprodcllem.3	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
86	6, 10, 14, 18, 20, 84, 85	findcard2sd 6962	. . 3 |- ( ph -> ( A = (/) \/ prod_ k e. A B e. S ) )
87	86	orcomd 730	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. A B e. S \/ A = (/) ) )
88	2, 87	ecased 1360	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   =/= wne 2367   A.wral 2475   [_csb 3084   \ cdif 3154   u. cun 3155   C_ wss 3157   (/)c0 3451   {csn 3623  (class class class)co 5925   Fincfn 6808   CCcc 7894   1c1 7897   x. cmul 7901   prod_cprod 11732

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461  df-proddc 11733

This theorem is referenced by:  fprodcllem  11788