Theorem fprodcl2lem 12116

Description: Finite product closure lemma. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcllem.1	|- ( ph -> S C_ CC )
fprodcllem.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
fprodcllem.3	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodcllem.4	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. S )
fprodcl2lem.5	|- ( ph -> A =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
fprodcl2lem	|- ( ph -> prod_ k e. A B e. S )

Distinct variable groups:   A, k, x, y   x, B, y   S, k, x, y   ph, k, x, y

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fprodcl2lem

Dummy variables w z u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodcl2lem.5	. . 3 |- ( ph -> A =/= (/) )
2	1	neneqd 2421	. 2 |- ( ph -> -. A = (/) )
3		eqeq1 2236	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( w = (/) <-> (/) = (/) ) )
4		prodeq1 12064	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. (/) B )
5	4	eleq1d 2298	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( prod_ k e. w B e. S <-> prod_ k e. (/) B e. S ) )
6	3, 5	orbi12d 798	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( w = (/) \/ prod_ k e. w B e. S ) <-> ( (/) = (/) \/ prod_ k e. (/) B e. S ) ) )
7		eqeq1 2236	. . . . 5 |- ( w = y -> ( w = (/) <-> y = (/) ) )
8		prodeq1 12064	. . . . . 6 |- ( w = y -> prod_ k e. w B = prod_ k e. y B )
9	8	eleq1d 2298	. . . . 5 |- ( w = y -> ( prod_ k e. w B e. S <-> prod_ k e. y B e. S ) )
10	7, 9	orbi12d 798	. . . 4 |- ( w = y -> ( ( w = (/) \/ prod_ k e. w B e. S ) <-> ( y = (/) \/ prod_ k e. y B e. S ) ) )
11		eqeq1 2236	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w = (/) <-> ( y u. { z } ) = (/) ) )
12		prodeq1 12064	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. ( y u. { z } ) B )
13	12	eleq1d 2298	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( prod_ k e. w B e. S <-> prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) )
14	11, 13	orbi12d 798	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( w = (/) \/ prod_ k e. w B e. S ) <-> ( ( y u. { z } ) = (/) \/ prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) ) )
15		eqeq1 2236	. . . . 5 |- ( w = A -> ( w = (/) <-> A = (/) ) )
16		prodeq1 12064	. . . . . 6 |- ( w = A -> prod_ k e. w B = prod_ k e. A B )
17	16	eleq1d 2298	. . . . 5 |- ( w = A -> ( prod_ k e. w B e. S <-> prod_ k e. A B e. S ) )
18	15, 17	orbi12d 798	. . . 4 |- ( w = A -> ( ( w = (/) \/ prod_ k e. w B e. S ) <-> ( A = (/) \/ prod_ k e. A B e. S ) ) )
19		eqidd 2230	. . . . 5 |- ( ph -> (/) = (/) )
20	19	orcd 738	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) = (/) \/ prod_ k e. (/) B e. S ) )
21		nfcsb1v 3157	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
22		simplr 528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
23		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
24	23	eldifbd 3209	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
25		fprodcllem.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S C_ CC )
26	25	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> S C_ CC )
27		simplll 533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ph )
28		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> y C_ A )
29		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. y )
30	28, 29	sseldd 3225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. A )
31		fprodcllem.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. S )
32	27, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. S )
33	26, 32	sseldd 3225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
34	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> S C_ CC )
35		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ph )
36	23	eldifad 3208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
37	31	ralrimiva 2603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. k e. A B e. S )
38		nfv 1574	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ z B e. S
39	21	nfel1 2383	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k [_ z / k ]_ B e. S
40		csbeq1a 3133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
41	40	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = z -> ( B e. S <-> [_ z / k ]_ B e. S ) )
42	38, 39, 41	cbvral 2761	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. k e. A B e. S <-> A. z e. A [_ z / k ]_ B e. S )
43	37, 42	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. z e. A [_ z / k ]_ B e. S )
44	43	r19.21bi 2618	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> [_ z / k ]_ B e. S )
45	35, 36, 44	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B e. S )
46	34, 45	sseldd 3225	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
47	21, 22, 23, 24, 33, 46, 40	fprodunsn 12115	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
48	47	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
49		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> y = (/) )
50	49	prodeq1d 12075	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> prod_ k e. y B = prod_ k e. (/) B )
51		prod0 12096	. . . . . . . . . . . 12 |- prod_ k e. (/) B = 1
52	50, 51	eqtrdi 2278	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> prod_ k e. y B = 1 )
53	52	oveq1d 6016	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) = ( 1 x. [_ z / k ]_ B ) )
54	46	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
55	54	mulid2d 8165	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> ( 1 x. [_ z / k ]_ B ) = [_ z / k ]_ B )
56	53, 55	eqtrd 2262	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) = [_ z / k ]_ B )
57	45	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> [_ z / k ]_ B e. S )
58	56, 57	eqeltrd 2306	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) e. S )
59	48, 58	eqeltrd 2306	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S )
60	59	olcd 739	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> ( ( y u. { z } ) = (/) \/ prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) )
61	60	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y = (/) -> ( ( y u. { z } ) = (/) \/ prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) ) )
62	47	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
63		fprodcllem.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
64	63	ralrimivva 2612	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S ( x x. y ) e. S )
65		oveq1 6008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = u -> ( x x. y ) = ( u x. y ) )
66	65	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( ( x x. y ) e. S <-> ( u x. y ) e. S ) )
67		oveq2 6009	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = v -> ( u x. y ) = ( u x. v ) )
68	67	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = v -> ( ( u x. y ) e. S <-> ( u x. v ) e. S ) )
69	66, 68	cbvral2v 2778	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. S A. y e. S ( x x. y ) e. S <-> A. u e. S A. v e. S ( u x. v ) e. S )
70	64, 69	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. u e. S A. v e. S ( u x. v ) e. S )
71	70	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> A. u e. S A. v e. S ( u x. v ) e. S )
72		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> prod_ k e. y B e. S )
73	45	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> [_ z / k ]_ B e. S )
74		oveq1 6008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = prod_ k e. y B -> ( u x. v ) = ( prod_ k e. y B x. v ) )
75	74	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = prod_ k e. y B -> ( ( u x. v ) e. S <-> ( prod_ k e. y B x. v ) e. S ) )
76		oveq2 6009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = [_ z / k ]_ B -> ( prod_ k e. y B x. v ) = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
77	76	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = [_ z / k ]_ B -> ( ( prod_ k e. y B x. v ) e. S <-> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) e. S ) )
78	75, 77	rspc2v 2920	. . . . . . . . . 10 |- ( ( prod_ k e. y B e. S /\ [_ z / k ]_ B e. S ) -> ( A. u e. S A. v e. S ( u x. v ) e. S -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) e. S ) )
79	72, 73, 78	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> ( A. u e. S A. v e. S ( u x. v ) e. S -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) e. S ) )
80	71, 79	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) e. S )
81	62, 80	eqeltrd 2306	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S )
82	81	olcd 739	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> ( ( y u. { z } ) = (/) \/ prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) )
83	82	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. y B e. S -> ( ( y u. { z } ) = (/) \/ prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) ) )
84	61, 83	jaod 722	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( y = (/) \/ prod_ k e. y B e. S ) -> ( ( y u. { z } ) = (/) \/ prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) ) )
85		fprodcllem.3	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
86	6, 10, 14, 18, 20, 84, 85	findcard2sd 7054	. . 3 |- ( ph -> ( A = (/) \/ prod_ k e. A B e. S ) )
87	86	orcomd 734	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. A B e. S \/ A = (/) ) )
88	2, 87	ecased 1383	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   A.wral 2508   [_csb 3124   \ cdif 3194   u. cun 3195   C_ wss 3197   (/)c0 3491   {csn 3666  (class class class)co 6001   Fincfn 6887   CCcc 7997   1c1 8000   x. cmul 8004   prod_cprod 12061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117  ax-arch 8118  ax-caucvg 8119

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-frec 6537  df-1o 6562  df-oadd 6566  df-er 6680  df-en 6888  df-dom 6889  df-fin 6890  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-div 8820  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723  df-q 9815  df-rp 9850  df-fz 10205  df-fzo 10339  df-seqfrec 10670  df-exp 10761  df-ihash 10998  df-cj 11353  df-re 11354  df-im 11355  df-rsqrt 11509  df-abs 11510  df-clim 11790  df-proddc 12062

This theorem is referenced by:  fprodcllem  12117