Theorem fprodcl2lem 12291

Description: Finite product closure lemma. (Contributed by Scott Fenton, 14-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 17-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcllem.1	|- ( ph -> S C_ CC )
fprodcllem.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
fprodcllem.3	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodcllem.4	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. S )
fprodcl2lem.5	|- ( ph -> A =/= (/) )

Assertion

Ref	Expression
fprodcl2lem	|- ( ph -> prod_ k e. A B e. S )

Distinct variable groups:   A, k, x, y   x, B, y   S, k, x, y   ph, k, x, y

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fprodcl2lem

Dummy variables w z u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodcl2lem.5	. . 3 |- ( ph -> A =/= (/) )
2	1	neneqd 2433	. 2 |- ( ph -> -. A = (/) )
3		eqeq1 2239	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( w = (/) <-> (/) = (/) ) )
4		prodeq1 12239	. . . . . 6 |- ( w = (/) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. (/) B )
5	4	eleq1d 2301	. . . . 5 |- ( w = (/) -> ( prod_ k e. w B e. S <-> prod_ k e. (/) B e. S ) )
6	3, 5	orbi12d 801	. . . 4 |- ( w = (/) -> ( ( w = (/) \/ prod_ k e. w B e. S ) <-> ( (/) = (/) \/ prod_ k e. (/) B e. S ) ) )
7		eqeq1 2239	. . . . 5 |- ( w = y -> ( w = (/) <-> y = (/) ) )
8		prodeq1 12239	. . . . . 6 |- ( w = y -> prod_ k e. w B = prod_ k e. y B )
9	8	eleq1d 2301	. . . . 5 |- ( w = y -> ( prod_ k e. w B e. S <-> prod_ k e. y B e. S ) )
10	7, 9	orbi12d 801	. . . 4 |- ( w = y -> ( ( w = (/) \/ prod_ k e. w B e. S ) <-> ( y = (/) \/ prod_ k e. y B e. S ) ) )
11		eqeq1 2239	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( w = (/) <-> ( y u. { z } ) = (/) ) )
12		prodeq1 12239	. . . . . 6 |- ( w = ( y u. { z } ) -> prod_ k e. w B = prod_ k e. ( y u. { z } ) B )
13	12	eleq1d 2301	. . . . 5 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( prod_ k e. w B e. S <-> prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) )
14	11, 13	orbi12d 801	. . . 4 |- ( w = ( y u. { z } ) -> ( ( w = (/) \/ prod_ k e. w B e. S ) <-> ( ( y u. { z } ) = (/) \/ prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) ) )
15		eqeq1 2239	. . . . 5 |- ( w = A -> ( w = (/) <-> A = (/) ) )
16		prodeq1 12239	. . . . . 6 |- ( w = A -> prod_ k e. w B = prod_ k e. A B )
17	16	eleq1d 2301	. . . . 5 |- ( w = A -> ( prod_ k e. w B e. S <-> prod_ k e. A B e. S ) )
18	15, 17	orbi12d 801	. . . 4 |- ( w = A -> ( ( w = (/) \/ prod_ k e. w B e. S ) <-> ( A = (/) \/ prod_ k e. A B e. S ) ) )
19		eqidd 2233	. . . . 5 |- ( ph -> (/) = (/) )
20	19	orcd 741	. . . 4 |- ( ph -> ( (/) = (/) \/ prod_ k e. (/) B e. S ) )
21		nfcsb1v 3171	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ z / k ]_ B
22		simplr 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin )
23		simprr 533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. ( A \ y ) )
24	23	eldifbd 3223	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> -. z e. y )
25		fprodcllem.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S C_ CC )
26	25	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> S C_ CC )
27		simplll 535	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ph )
28		simplrl 537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> y C_ A )
29		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. y )
30	28, 29	sseldd 3239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. A )
31		fprodcllem.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. S )
32	27, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. S )
33	26, 32	sseldd 3239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC )
34	25	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> S C_ CC )
35		simpll 527	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ph )
36	23	eldifad 3222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> z e. A )
37	31	ralrimiva 2615	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> A. k e. A B e. S )
38		nfv 1577	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ z B e. S
39	21	nfel1 2395	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ k [_ z / k ]_ B e. S
40		csbeq1a 3147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = z -> B = [_ z / k ]_ B )
41	40	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = z -> ( B e. S <-> [_ z / k ]_ B e. S ) )
42	38, 39, 41	cbvral 2774	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. k e. A B e. S <-> A. z e. A [_ z / k ]_ B e. S )
43	37, 42	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. z e. A [_ z / k ]_ B e. S )
44	43	r19.21bi 2630	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> [_ z / k ]_ B e. S )
45	35, 36, 44	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B e. S )
46	34, 45	sseldd 3239	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
47	21, 22, 23, 24, 33, 46, 40	fprodunsn 12290	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
48	47	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
49		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> y = (/) )
50	49	prodeq1d 12250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> prod_ k e. y B = prod_ k e. (/) B )
51		prod0 12271	. . . . . . . . . . . 12 |- prod_ k e. (/) B = 1
52	50, 51	eqtrdi 2281	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> prod_ k e. y B = 1 )
53	52	oveq1d 6065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) = ( 1 x. [_ z / k ]_ B ) )
54	46	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> [_ z / k ]_ B e. CC )
55	54	mullidd 8292	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> ( 1 x. [_ z / k ]_ B ) = [_ z / k ]_ B )
56	53, 55	eqtrd 2265	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) = [_ z / k ]_ B )
57	45	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> [_ z / k ]_ B e. S )
58	56, 57	eqeltrd 2309	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) e. S )
59	48, 58	eqeltrd 2309	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S )
60	59	olcd 742	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ y = (/) ) -> ( ( y u. { z } ) = (/) \/ prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) )
61	60	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( y = (/) -> ( ( y u. { z } ) = (/) \/ prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) ) )
62	47	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
63		fprodcllem.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x x. y ) e. S )
64	63	ralrimivva 2624	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S ( x x. y ) e. S )
65		oveq1 6057	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = u -> ( x x. y ) = ( u x. y ) )
66	65	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( ( x x. y ) e. S <-> ( u x. y ) e. S ) )
67		oveq2 6058	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = v -> ( u x. y ) = ( u x. v ) )
68	67	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = v -> ( ( u x. y ) e. S <-> ( u x. v ) e. S ) )
69	66, 68	cbvral2v 2791	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. S A. y e. S ( x x. y ) e. S <-> A. u e. S A. v e. S ( u x. v ) e. S )
70	64, 69	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. u e. S A. v e. S ( u x. v ) e. S )
71	70	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> A. u e. S A. v e. S ( u x. v ) e. S )
72		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> prod_ k e. y B e. S )
73	45	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> [_ z / k ]_ B e. S )
74		oveq1 6057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = prod_ k e. y B -> ( u x. v ) = ( prod_ k e. y B x. v ) )
75	74	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = prod_ k e. y B -> ( ( u x. v ) e. S <-> ( prod_ k e. y B x. v ) e. S ) )
76		oveq2 6058	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v = [_ z / k ]_ B -> ( prod_ k e. y B x. v ) = ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) )
77	76	eleq1d 2301	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = [_ z / k ]_ B -> ( ( prod_ k e. y B x. v ) e. S <-> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) e. S ) )
78	75, 77	rspc2v 2934	. . . . . . . . . 10 |- ( ( prod_ k e. y B e. S /\ [_ z / k ]_ B e. S ) -> ( A. u e. S A. v e. S ( u x. v ) e. S -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) e. S ) )
79	72, 73, 78	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> ( A. u e. S A. v e. S ( u x. v ) e. S -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) e. S ) )
80	71, 79	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> ( prod_ k e. y B x. [_ z / k ]_ B ) e. S )
81	62, 80	eqeltrd 2309	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S )
82	81	olcd 742	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) /\ prod_ k e. y B e. S ) -> ( ( y u. { z } ) = (/) \/ prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) )
83	82	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. y B e. S -> ( ( y u. { z } ) = (/) \/ prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) ) )
84	61, 83	jaod 725	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ y e. Fin ) /\ ( y C_ A /\ z e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( y = (/) \/ prod_ k e. y B e. S ) -> ( ( y u. { z } ) = (/) \/ prod_ k e. ( y u. { z } ) B e. S ) ) )
85		fprodcllem.3	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
86	6, 10, 14, 18, 20, 84, 85	findcard2sd 7149	. . 3 |- ( ph -> ( A = (/) \/ prod_ k e. A B e. S ) )
87	86	orcomd 737	. 2 |- ( ph -> ( prod_ k e. A B e. S \/ A = (/) ) )
88	2, 87	ecased 1386	1 |- ( ph -> prod_ k e. A B e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   A.wral 2520   [_csb 3138   \ cdif 3208   u. cun 3209   C_ wss 3211   (/)c0 3508   {csn 3689  (class class class)co 6050   Fincfn 6975   CCcc 8125   1c1 8128   x. cmul 8132   prod_cprod 12236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246  ax-caucvg 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-isom 5361  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-frec 6622  df-1o 6647  df-oadd 6651  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-4 9298  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-ihash 11139  df-cj 11527  df-re 11528  df-im 11529  df-rsqrt 11683  df-abs 11684  df-clim 11964  df-proddc 12237

This theorem is referenced by:  fprodcllem  12292