Theorem seq3distr 10469

Description: The distributive property for series. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3distr.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seq3distr.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( C T ( x .+ y ) ) = ( ( C T x ) .+ ( C T y ) ) )
seq3distr.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seq3distr.4	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
seq3distr.5	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) = ( C T ( G ` x ) ) )
seq3distr.t	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x T y ) e. S )
seq3distr.c	|- ( ph -> C e. S )

Assertion

Ref	Expression
seq3distr	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, C, y   x, F, y   x, G, y   x, M, y   x, N, y   x, S, y   x, T, y   ph, x, y

Proof of Theorem seq3distr

Dummy variables b z a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3distr.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
2		seq3distr.4	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
3		seq3distr.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		seq3distr.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( C T ( x .+ y ) ) = ( ( C T x ) .+ ( C T y ) ) )
5		seq3distr.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. S )
6	5	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> C e. S )
7		seq3distr.t	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x T y ) e. S )
8	7	ralrimivva 2552	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S ( x T y ) e. S )
9		oveq1 5860	. . . . . . . . . 10 |- ( x = a -> ( x T y ) = ( a T y ) )
10	9	eleq1d 2239	. . . . . . . . 9 |- ( x = a -> ( ( x T y ) e. S <-> ( a T y ) e. S ) )
11		oveq2 5861	. . . . . . . . . 10 |- ( y = b -> ( a T y ) = ( a T b ) )
12	11	eleq1d 2239	. . . . . . . . 9 |- ( y = b -> ( ( a T y ) e. S <-> ( a T b ) e. S ) )
13	10, 12	cbvral2v 2709	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. S A. y e. S ( x T y ) e. S <-> A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S )
14	8, 13	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S )
15	14	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S )
16		oveq1 5860	. . . . . . . 8 |- ( a = C -> ( a T b ) = ( C T b ) )
17	16	eleq1d 2239	. . . . . . 7 |- ( a = C -> ( ( a T b ) e. S <-> ( C T b ) e. S ) )
18		oveq2 5861	. . . . . . . 8 |- ( b = ( x .+ y ) -> ( C T b ) = ( C T ( x .+ y ) ) )
19	18	eleq1d 2239	. . . . . . 7 |- ( b = ( x .+ y ) -> ( ( C T b ) e. S <-> ( C T ( x .+ y ) ) e. S ) )
20	17, 19	rspc2va 2848	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. S /\ ( x .+ y ) e. S ) /\ A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S ) -> ( C T ( x .+ y ) ) e. S )
21	6, 1, 15, 20	syl21anc 1232	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( C T ( x .+ y ) ) e. S )
22		oveq2 5861	. . . . . 6 |- ( z = ( x .+ y ) -> ( C T z ) = ( C T ( x .+ y ) ) )
23		eqid 2170	. . . . . 6 |- ( z e. S |-> ( C T z ) ) = ( z e. S |-> ( C T z ) )
24	22, 23	fvmptg 5572	. . . . 5 |- ( ( ( x .+ y ) e. S /\ ( C T ( x .+ y ) ) e. S ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( x .+ y ) ) = ( C T ( x .+ y ) ) )
25	1, 21, 24	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( x .+ y ) ) = ( C T ( x .+ y ) ) )
26		simprl 526	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> x e. S )
27		oveq2 5861	. . . . . . . . 9 |- ( b = x -> ( C T b ) = ( C T x ) )
28	27	eleq1d 2239	. . . . . . . 8 |- ( b = x -> ( ( C T b ) e. S <-> ( C T x ) e. S ) )
29	17, 28	rspc2va 2848	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. S /\ x e. S ) /\ A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S ) -> ( C T x ) e. S )
30	6, 26, 15, 29	syl21anc 1232	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( C T x ) e. S )
31		oveq2 5861	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( C T z ) = ( C T x ) )
32	31, 23	fvmptg 5572	. . . . . 6 |- ( ( x e. S /\ ( C T x ) e. S ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` x ) = ( C T x ) )
33	26, 30, 32	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` x ) = ( C T x ) )
34		simprr 527	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> y e. S )
35		oveq2 5861	. . . . . . . . 9 |- ( b = y -> ( C T b ) = ( C T y ) )
36	35	eleq1d 2239	. . . . . . . 8 |- ( b = y -> ( ( C T b ) e. S <-> ( C T y ) e. S ) )
37	17, 36	rspc2va 2848	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. S /\ y e. S ) /\ A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S ) -> ( C T y ) e. S )
38	6, 34, 15, 37	syl21anc 1232	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( C T y ) e. S )
39		oveq2 5861	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( C T z ) = ( C T y ) )
40	39, 23	fvmptg 5572	. . . . . 6 |- ( ( y e. S /\ ( C T y ) e. S ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` y ) = ( C T y ) )
41	34, 38, 40	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` y ) = ( C T y ) )
42	33, 41	oveq12d 5871	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` x ) .+ ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` y ) ) = ( ( C T x ) .+ ( C T y ) ) )
43	4, 25, 42	3eqtr4d 2213	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( x .+ y ) ) = ( ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` x ) .+ ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` y ) ) )
44	5	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> C e. S )
45	14	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S )
46		oveq2 5861	. . . . . . . 8 |- ( b = ( G ` x ) -> ( C T b ) = ( C T ( G ` x ) ) )
47	46	eleq1d 2239	. . . . . . 7 |- ( b = ( G ` x ) -> ( ( C T b ) e. S <-> ( C T ( G ` x ) ) e. S ) )
48	17, 47	rspc2va 2848	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. S /\ ( G ` x ) e. S ) /\ A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S ) -> ( C T ( G ` x ) ) e. S )
49	44, 2, 45, 48	syl21anc 1232	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( C T ( G ` x ) ) e. S )
50		oveq2 5861	. . . . . 6 |- ( z = ( G ` x ) -> ( C T z ) = ( C T ( G ` x ) ) )
51	50, 23	fvmptg 5572	. . . . 5 |- ( ( ( G ` x ) e. S /\ ( C T ( G ` x ) ) e. S ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( G ` x ) ) = ( C T ( G ` x ) ) )
52	2, 49, 51	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( G ` x ) ) = ( C T ( G ` x ) ) )
53		seq3distr.5	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) = ( C T ( G ` x ) ) )
54	52, 53	eqtr4d 2206	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( G ` x ) ) = ( F ` x ) )
55	53, 49	eqeltrd 2247	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
56	1, 2, 3, 43, 54, 55, 1	seq3homo 10466	. 2 |- ( ph -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) = ( seq M ( .+ , F ) ` N ) )
57		eqid 2170	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
58		eluzel2 9492	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
59	3, 58	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
60	57, 59, 2, 1	seqf 10417	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( .+ , G ) : ( ZZ>= ` M ) --> S )
61	60, 3	ffvelrnd 5632	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , G ) ` N ) e. S )
62	7, 5, 61	caovcld 6006	. . 3 |- ( ph -> ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) e. S )
63		oveq2 5861	. . . 4 |- ( z = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) -> ( C T z ) = ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )
64	63, 23	fvmptg 5572	. . 3 |- ( ( ( seq M ( .+ , G ) ` N ) e. S /\ ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) e. S ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) = ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )
65	61, 62, 64	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) = ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )
66	56, 65	eqtr3d 2205	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   |-> cmpt 4050   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   seqcseq 10401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-seqfrec 10402

This theorem is referenced by:  isermulc2  11303  fsummulc2  11411