Theorem seq3distr 10009

Description: The distributive property for series. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3distr.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seq3distr.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( C T ( x .+ y ) ) = ( ( C T x ) .+ ( C T y ) ) )
seq3distr.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seq3distr.4	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
seq3distr.5	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) = ( C T ( G ` x ) ) )
seq3distr.t	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x T y ) e. S )
seq3distr.c	|- ( ph -> C e. S )

Assertion

Ref	Expression
seq3distr	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, C, y   x, F, y   x, G, y   x, M, y   x, N, y   x, S, y   x, T, y   ph, x, y

Proof of Theorem seq3distr

Dummy variables b z a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3distr.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
2		seq3distr.4	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
3		seq3distr.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		seq3distr.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( C T ( x .+ y ) ) = ( ( C T x ) .+ ( C T y ) ) )
5		seq3distr.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. S )
6	5	adantr 271	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> C e. S )
7		seq3distr.t	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x T y ) e. S )
8	7	ralrimivva 2456	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S ( x T y ) e. S )
9		oveq1 5675	. . . . . . . . . 10 |- ( x = a -> ( x T y ) = ( a T y ) )
10	9	eleq1d 2157	. . . . . . . . 9 |- ( x = a -> ( ( x T y ) e. S <-> ( a T y ) e. S ) )
11		oveq2 5676	. . . . . . . . . 10 |- ( y = b -> ( a T y ) = ( a T b ) )
12	11	eleq1d 2157	. . . . . . . . 9 |- ( y = b -> ( ( a T y ) e. S <-> ( a T b ) e. S ) )
13	10, 12	cbvral2v 2601	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. S A. y e. S ( x T y ) e. S <-> A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S )
14	8, 13	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S )
15	14	adantr 271	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S )
16		oveq1 5675	. . . . . . . 8 |- ( a = C -> ( a T b ) = ( C T b ) )
17	16	eleq1d 2157	. . . . . . 7 |- ( a = C -> ( ( a T b ) e. S <-> ( C T b ) e. S ) )
18		oveq2 5676	. . . . . . . 8 |- ( b = ( x .+ y ) -> ( C T b ) = ( C T ( x .+ y ) ) )
19	18	eleq1d 2157	. . . . . . 7 |- ( b = ( x .+ y ) -> ( ( C T b ) e. S <-> ( C T ( x .+ y ) ) e. S ) )
20	17, 19	rspc2va 2738	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. S /\ ( x .+ y ) e. S ) /\ A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S ) -> ( C T ( x .+ y ) ) e. S )
21	6, 1, 15, 20	syl21anc 1174	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( C T ( x .+ y ) ) e. S )
22		oveq2 5676	. . . . . 6 |- ( z = ( x .+ y ) -> ( C T z ) = ( C T ( x .+ y ) ) )
23		eqid 2089	. . . . . 6 |- ( z e. S |-> ( C T z ) ) = ( z e. S |-> ( C T z ) )
24	22, 23	fvmptg 5395	. . . . 5 |- ( ( ( x .+ y ) e. S /\ ( C T ( x .+ y ) ) e. S ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( x .+ y ) ) = ( C T ( x .+ y ) ) )
25	1, 21, 24	syl2anc 404	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( x .+ y ) ) = ( C T ( x .+ y ) ) )
26		simprl 499	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> x e. S )
27		oveq2 5676	. . . . . . . . 9 |- ( b = x -> ( C T b ) = ( C T x ) )
28	27	eleq1d 2157	. . . . . . . 8 |- ( b = x -> ( ( C T b ) e. S <-> ( C T x ) e. S ) )
29	17, 28	rspc2va 2738	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. S /\ x e. S ) /\ A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S ) -> ( C T x ) e. S )
30	6, 26, 15, 29	syl21anc 1174	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( C T x ) e. S )
31		oveq2 5676	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( C T z ) = ( C T x ) )
32	31, 23	fvmptg 5395	. . . . . 6 |- ( ( x e. S /\ ( C T x ) e. S ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` x ) = ( C T x ) )
33	26, 30, 32	syl2anc 404	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` x ) = ( C T x ) )
34		simprr 500	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> y e. S )
35		oveq2 5676	. . . . . . . . 9 |- ( b = y -> ( C T b ) = ( C T y ) )
36	35	eleq1d 2157	. . . . . . . 8 |- ( b = y -> ( ( C T b ) e. S <-> ( C T y ) e. S ) )
37	17, 36	rspc2va 2738	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. S /\ y e. S ) /\ A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S ) -> ( C T y ) e. S )
38	6, 34, 15, 37	syl21anc 1174	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( C T y ) e. S )
39		oveq2 5676	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( C T z ) = ( C T y ) )
40	39, 23	fvmptg 5395	. . . . . 6 |- ( ( y e. S /\ ( C T y ) e. S ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` y ) = ( C T y ) )
41	34, 38, 40	syl2anc 404	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` y ) = ( C T y ) )
42	33, 41	oveq12d 5686	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` x ) .+ ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` y ) ) = ( ( C T x ) .+ ( C T y ) ) )
43	4, 25, 42	3eqtr4d 2131	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( x .+ y ) ) = ( ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` x ) .+ ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` y ) ) )
44	5	adantr 271	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> C e. S )
45	14	adantr 271	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S )
46		oveq2 5676	. . . . . . . 8 |- ( b = ( G ` x ) -> ( C T b ) = ( C T ( G ` x ) ) )
47	46	eleq1d 2157	. . . . . . 7 |- ( b = ( G ` x ) -> ( ( C T b ) e. S <-> ( C T ( G ` x ) ) e. S ) )
48	17, 47	rspc2va 2738	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. S /\ ( G ` x ) e. S ) /\ A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S ) -> ( C T ( G ` x ) ) e. S )
49	44, 2, 45, 48	syl21anc 1174	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( C T ( G ` x ) ) e. S )
50		oveq2 5676	. . . . . 6 |- ( z = ( G ` x ) -> ( C T z ) = ( C T ( G ` x ) ) )
51	50, 23	fvmptg 5395	. . . . 5 |- ( ( ( G ` x ) e. S /\ ( C T ( G ` x ) ) e. S ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( G ` x ) ) = ( C T ( G ` x ) ) )
52	2, 49, 51	syl2anc 404	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( G ` x ) ) = ( C T ( G ` x ) ) )
53		seq3distr.5	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) = ( C T ( G ` x ) ) )
54	52, 53	eqtr4d 2124	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( G ` x ) ) = ( F ` x ) )
55	53, 49	eqeltrd 2165	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
56	1, 2, 3, 43, 54, 55, 1	seq3homo 10007	. 2 |- ( ph -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) = ( seq M ( .+ , F ) ` N ) )
57		eqid 2089	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
58		eluzel2 9087	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
59	3, 58	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
60	57, 59, 2, 1	seqf 9943	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( .+ , G ) : ( ZZ>= ` M ) --> S )
61	60, 3	ffvelrnd 5451	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , G ) ` N ) e. S )
62	7, 5, 61	caovcld 5814	. . 3 |- ( ph -> ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) e. S )
63		oveq2 5676	. . . 4 |- ( z = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) -> ( C T z ) = ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )
64	63, 23	fvmptg 5395	. . 3 |- ( ( ( seq M ( .+ , G ) ` N ) e. S /\ ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) e. S ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) = ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )
65	61, 62, 64	syl2anc 404	. 2 |- ( ph -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) = ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )
66	56, 65	eqtr3d 2123	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1290   e. wcel 1439   A.wral 2360   |-> cmpt 3907   ` cfv 5030  (class class class)co 5668   ZZcz 8813   ZZ>=cuz 9082   seqcseq 9915

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3962  ax-sep 3965  ax-nul 3973  ax-pow 4017  ax-pr 4047  ax-un 4271  ax-setind 4368  ax-iinf 4418  ax-cnex 7499  ax-resscn 7500  ax-1cn 7501  ax-1re 7502  ax-icn 7503  ax-addcl 7504  ax-addrcl 7505  ax-mulcl 7506  ax-addcom 7508  ax-addass 7510  ax-distr 7512  ax-i2m1 7513  ax-0lt1 7514  ax-0id 7516  ax-rnegex 7517  ax-cnre 7519  ax-pre-ltirr 7520  ax-pre-ltwlin 7521  ax-pre-lttrn 7522  ax-pre-ltadd 7524

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2624  df-sbc 2844  df-csb 2937  df-dif 3004  df-un 3006  df-in 3008  df-ss 3015  df-nul 3290  df-pw 3437  df-sn 3458  df-pr 3459  df-op 3461  df-uni 3662  df-int 3697  df-iun 3740  df-br 3854  df-opab 3908  df-mpt 3909  df-tr 3945  df-id 4131  df-iord 4204  df-on 4206  df-ilim 4207  df-suc 4209  df-iom 4421  df-xp 4460  df-rel 4461  df-cnv 4462  df-co 4463  df-dm 4464  df-rn 4465  df-res 4466  df-ima 4467  df-iota 4995  df-fun 5032  df-fn 5033  df-f 5034  df-f1 5035  df-fo 5036  df-f1o 5037  df-fv 5038  df-riota 5624  df-ov 5671  df-oprab 5672  df-mpt2 5673  df-1st 5927  df-2nd 5928  df-recs 6086  df-frec 6172  df-pnf 7587  df-mnf 7588  df-xr 7589  df-ltxr 7590  df-le 7591  df-sub 7718  df-neg 7719  df-inn 8486  df-n0 8737  df-z 8814  df-uz 9083  df-iseq 9916  df-seq3 9917

This theorem is referenced by:  fsummulc2  10905