Theorem seq3distr 10947

Description: The distributive property for series. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3distr.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seq3distr.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( C T ( x .+ y ) ) = ( ( C T x ) .+ ( C T y ) ) )
seq3distr.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seq3distr.4	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
seq3distr.5	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) = ( C T ( G ` x ) ) )
seq3distr.t	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x T y ) e. S )
seq3distr.c	|- ( ph -> C e. S )

Assertion

Ref	Expression
seq3distr	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, C, y   x, F, y   x, G, y   x, M, y   x, N, y   x, S, y   x, T, y   ph, x, y

Proof of Theorem seq3distr

Dummy variables b z a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3distr.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
2		seq3distr.4	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
3		seq3distr.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		seq3distr.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( C T ( x .+ y ) ) = ( ( C T x ) .+ ( C T y ) ) )
5		seq3distr.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. S )
6	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> C e. S )
7		seq3distr.t	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x T y ) e. S )
8	7	ralrimivva 2632	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S ( x T y ) e. S )
9		oveq1 6082	. . . . . . . . . 10 |- ( x = a -> ( x T y ) = ( a T y ) )
10	9	eleq1d 2307	. . . . . . . . 9 |- ( x = a -> ( ( x T y ) e. S <-> ( a T y ) e. S ) )
11		oveq2 6083	. . . . . . . . . 10 |- ( y = b -> ( a T y ) = ( a T b ) )
12	11	eleq1d 2307	. . . . . . . . 9 |- ( y = b -> ( ( a T y ) e. S <-> ( a T b ) e. S ) )
13	10, 12	cbvral2v 2799	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. S A. y e. S ( x T y ) e. S <-> A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S )
14	8, 13	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S )
15	14	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S )
16		oveq1 6082	. . . . . . . 8 |- ( a = C -> ( a T b ) = ( C T b ) )
17	16	eleq1d 2307	. . . . . . 7 |- ( a = C -> ( ( a T b ) e. S <-> ( C T b ) e. S ) )
18		oveq2 6083	. . . . . . . 8 |- ( b = ( x .+ y ) -> ( C T b ) = ( C T ( x .+ y ) ) )
19	18	eleq1d 2307	. . . . . . 7 |- ( b = ( x .+ y ) -> ( ( C T b ) e. S <-> ( C T ( x .+ y ) ) e. S ) )
20	17, 19	rspc2va 2944	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. S /\ ( x .+ y ) e. S ) /\ A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S ) -> ( C T ( x .+ y ) ) e. S )
21	6, 1, 15, 20	syl21anc 1277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( C T ( x .+ y ) ) e. S )
22		oveq2 6083	. . . . . 6 |- ( z = ( x .+ y ) -> ( C T z ) = ( C T ( x .+ y ) ) )
23		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( z e. S |-> ( C T z ) ) = ( z e. S |-> ( C T z ) )
24	22, 23	fvmptg 5775	. . . . 5 |- ( ( ( x .+ y ) e. S /\ ( C T ( x .+ y ) ) e. S ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( x .+ y ) ) = ( C T ( x .+ y ) ) )
25	1, 21, 24	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( x .+ y ) ) = ( C T ( x .+ y ) ) )
26		simprl 535	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> x e. S )
27		oveq2 6083	. . . . . . . . 9 |- ( b = x -> ( C T b ) = ( C T x ) )
28	27	eleq1d 2307	. . . . . . . 8 |- ( b = x -> ( ( C T b ) e. S <-> ( C T x ) e. S ) )
29	17, 28	rspc2va 2944	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. S /\ x e. S ) /\ A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S ) -> ( C T x ) e. S )
30	6, 26, 15, 29	syl21anc 1277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( C T x ) e. S )
31		oveq2 6083	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( C T z ) = ( C T x ) )
32	31, 23	fvmptg 5775	. . . . . 6 |- ( ( x e. S /\ ( C T x ) e. S ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` x ) = ( C T x ) )
33	26, 30, 32	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` x ) = ( C T x ) )
34		simprr 537	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> y e. S )
35		oveq2 6083	. . . . . . . . 9 |- ( b = y -> ( C T b ) = ( C T y ) )
36	35	eleq1d 2307	. . . . . . . 8 |- ( b = y -> ( ( C T b ) e. S <-> ( C T y ) e. S ) )
37	17, 36	rspc2va 2944	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. S /\ y e. S ) /\ A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S ) -> ( C T y ) e. S )
38	6, 34, 15, 37	syl21anc 1277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( C T y ) e. S )
39		oveq2 6083	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( C T z ) = ( C T y ) )
40	39, 23	fvmptg 5775	. . . . . 6 |- ( ( y e. S /\ ( C T y ) e. S ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` y ) = ( C T y ) )
41	34, 38, 40	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` y ) = ( C T y ) )
42	33, 41	oveq12d 6093	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` x ) .+ ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` y ) ) = ( ( C T x ) .+ ( C T y ) ) )
43	4, 25, 42	3eqtr4d 2281	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( x .+ y ) ) = ( ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` x ) .+ ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` y ) ) )
44	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> C e. S )
45	14	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S )
46		oveq2 6083	. . . . . . . 8 |- ( b = ( G ` x ) -> ( C T b ) = ( C T ( G ` x ) ) )
47	46	eleq1d 2307	. . . . . . 7 |- ( b = ( G ` x ) -> ( ( C T b ) e. S <-> ( C T ( G ` x ) ) e. S ) )
48	17, 47	rspc2va 2944	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. S /\ ( G ` x ) e. S ) /\ A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S ) -> ( C T ( G ` x ) ) e. S )
49	44, 2, 45, 48	syl21anc 1277	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( C T ( G ` x ) ) e. S )
50		oveq2 6083	. . . . . 6 |- ( z = ( G ` x ) -> ( C T z ) = ( C T ( G ` x ) ) )
51	50, 23	fvmptg 5775	. . . . 5 |- ( ( ( G ` x ) e. S /\ ( C T ( G ` x ) ) e. S ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( G ` x ) ) = ( C T ( G ` x ) ) )
52	2, 49, 51	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( G ` x ) ) = ( C T ( G ` x ) ) )
53		seq3distr.5	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) = ( C T ( G ` x ) ) )
54	52, 53	eqtr4d 2274	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( G ` x ) ) = ( F ` x ) )
55	53, 49	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
56	1, 2, 3, 43, 54, 55, 1	seq3homo 10942	. 2 |- ( ph -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) = ( seq M ( .+ , F ) ` N ) )
57		eqid 2238	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
58		eluzel2 9905	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
59	3, 58	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
60	57, 59, 2, 1	seqf 10879	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( .+ , G ) : ( ZZ>= ` M ) --> S )
61	60, 3	ffvelcdmd 5835	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , G ) ` N ) e. S )
62	7, 5, 61	caovcld 6233	. . 3 |- ( ph -> ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) e. S )
63		oveq2 6083	. . . 4 |- ( z = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) -> ( C T z ) = ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )
64	63, 23	fvmptg 5775	. . 3 |- ( ( ( seq M ( .+ , G ) ` N ) e. S /\ ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) e. S ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) = ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )
65	61, 62, 64	syl2anc 415	. 2 |- ( ph -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) = ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )
66	56, 65	eqtr3d 2273	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   |-> cmpt 4187   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   seqcseq 10862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-seqfrec 10863

This theorem is referenced by:  isermulc2  12084  fsummulc2  12193