Theorem seq3distr 10448

Description: The distributive property for series. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3distr.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seq3distr.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( C T ( x .+ y ) ) = ( ( C T x ) .+ ( C T y ) ) )
seq3distr.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seq3distr.4	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
seq3distr.5	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) = ( C T ( G ` x ) ) )
seq3distr.t	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x T y ) e. S )
seq3distr.c	|- ( ph -> C e. S )

Assertion

Ref	Expression
seq3distr	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, C, y   x, F, y   x, G, y   x, M, y   x, N, y   x, S, y   x, T, y   ph, x, y

Proof of Theorem seq3distr

Dummy variables b z a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3distr.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
2		seq3distr.4	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
3		seq3distr.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		seq3distr.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( C T ( x .+ y ) ) = ( ( C T x ) .+ ( C T y ) ) )
5		seq3distr.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. S )
6	5	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> C e. S )
7		seq3distr.t	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x T y ) e. S )
8	7	ralrimivva 2548	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S ( x T y ) e. S )
9		oveq1 5849	. . . . . . . . . 10 |- ( x = a -> ( x T y ) = ( a T y ) )
10	9	eleq1d 2235	. . . . . . . . 9 |- ( x = a -> ( ( x T y ) e. S <-> ( a T y ) e. S ) )
11		oveq2 5850	. . . . . . . . . 10 |- ( y = b -> ( a T y ) = ( a T b ) )
12	11	eleq1d 2235	. . . . . . . . 9 |- ( y = b -> ( ( a T y ) e. S <-> ( a T b ) e. S ) )
13	10, 12	cbvral2v 2705	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. S A. y e. S ( x T y ) e. S <-> A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S )
14	8, 13	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S )
15	14	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S )
16		oveq1 5849	. . . . . . . 8 |- ( a = C -> ( a T b ) = ( C T b ) )
17	16	eleq1d 2235	. . . . . . 7 |- ( a = C -> ( ( a T b ) e. S <-> ( C T b ) e. S ) )
18		oveq2 5850	. . . . . . . 8 |- ( b = ( x .+ y ) -> ( C T b ) = ( C T ( x .+ y ) ) )
19	18	eleq1d 2235	. . . . . . 7 |- ( b = ( x .+ y ) -> ( ( C T b ) e. S <-> ( C T ( x .+ y ) ) e. S ) )
20	17, 19	rspc2va 2844	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. S /\ ( x .+ y ) e. S ) /\ A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S ) -> ( C T ( x .+ y ) ) e. S )
21	6, 1, 15, 20	syl21anc 1227	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( C T ( x .+ y ) ) e. S )
22		oveq2 5850	. . . . . 6 |- ( z = ( x .+ y ) -> ( C T z ) = ( C T ( x .+ y ) ) )
23		eqid 2165	. . . . . 6 |- ( z e. S |-> ( C T z ) ) = ( z e. S |-> ( C T z ) )
24	22, 23	fvmptg 5562	. . . . 5 |- ( ( ( x .+ y ) e. S /\ ( C T ( x .+ y ) ) e. S ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( x .+ y ) ) = ( C T ( x .+ y ) ) )
25	1, 21, 24	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( x .+ y ) ) = ( C T ( x .+ y ) ) )
26		simprl 521	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> x e. S )
27		oveq2 5850	. . . . . . . . 9 |- ( b = x -> ( C T b ) = ( C T x ) )
28	27	eleq1d 2235	. . . . . . . 8 |- ( b = x -> ( ( C T b ) e. S <-> ( C T x ) e. S ) )
29	17, 28	rspc2va 2844	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. S /\ x e. S ) /\ A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S ) -> ( C T x ) e. S )
30	6, 26, 15, 29	syl21anc 1227	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( C T x ) e. S )
31		oveq2 5850	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( C T z ) = ( C T x ) )
32	31, 23	fvmptg 5562	. . . . . 6 |- ( ( x e. S /\ ( C T x ) e. S ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` x ) = ( C T x ) )
33	26, 30, 32	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` x ) = ( C T x ) )
34		simprr 522	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> y e. S )
35		oveq2 5850	. . . . . . . . 9 |- ( b = y -> ( C T b ) = ( C T y ) )
36	35	eleq1d 2235	. . . . . . . 8 |- ( b = y -> ( ( C T b ) e. S <-> ( C T y ) e. S ) )
37	17, 36	rspc2va 2844	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. S /\ y e. S ) /\ A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S ) -> ( C T y ) e. S )
38	6, 34, 15, 37	syl21anc 1227	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( C T y ) e. S )
39		oveq2 5850	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( C T z ) = ( C T y ) )
40	39, 23	fvmptg 5562	. . . . . 6 |- ( ( y e. S /\ ( C T y ) e. S ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` y ) = ( C T y ) )
41	34, 38, 40	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` y ) = ( C T y ) )
42	33, 41	oveq12d 5860	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` x ) .+ ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` y ) ) = ( ( C T x ) .+ ( C T y ) ) )
43	4, 25, 42	3eqtr4d 2208	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( x .+ y ) ) = ( ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` x ) .+ ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` y ) ) )
44	5	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> C e. S )
45	14	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S )
46		oveq2 5850	. . . . . . . 8 |- ( b = ( G ` x ) -> ( C T b ) = ( C T ( G ` x ) ) )
47	46	eleq1d 2235	. . . . . . 7 |- ( b = ( G ` x ) -> ( ( C T b ) e. S <-> ( C T ( G ` x ) ) e. S ) )
48	17, 47	rspc2va 2844	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. S /\ ( G ` x ) e. S ) /\ A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S ) -> ( C T ( G ` x ) ) e. S )
49	44, 2, 45, 48	syl21anc 1227	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( C T ( G ` x ) ) e. S )
50		oveq2 5850	. . . . . 6 |- ( z = ( G ` x ) -> ( C T z ) = ( C T ( G ` x ) ) )
51	50, 23	fvmptg 5562	. . . . 5 |- ( ( ( G ` x ) e. S /\ ( C T ( G ` x ) ) e. S ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( G ` x ) ) = ( C T ( G ` x ) ) )
52	2, 49, 51	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( G ` x ) ) = ( C T ( G ` x ) ) )
53		seq3distr.5	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) = ( C T ( G ` x ) ) )
54	52, 53	eqtr4d 2201	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( G ` x ) ) = ( F ` x ) )
55	53, 49	eqeltrd 2243	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
56	1, 2, 3, 43, 54, 55, 1	seq3homo 10445	. 2 |- ( ph -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) = ( seq M ( .+ , F ) ` N ) )
57		eqid 2165	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
58		eluzel2 9471	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
59	3, 58	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
60	57, 59, 2, 1	seqf 10396	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( .+ , G ) : ( ZZ>= ` M ) --> S )
61	60, 3	ffvelrnd 5621	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , G ) ` N ) e. S )
62	7, 5, 61	caovcld 5995	. . 3 |- ( ph -> ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) e. S )
63		oveq2 5850	. . . 4 |- ( z = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) -> ( C T z ) = ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )
64	63, 23	fvmptg 5562	. . 3 |- ( ( ( seq M ( .+ , G ) ` N ) e. S /\ ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) e. S ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) = ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )
65	61, 62, 64	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) = ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )
66	56, 65	eqtr3d 2200	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   A.wral 2444   |-> cmpt 4043   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   seqcseq 10380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-seqfrec 10381

This theorem is referenced by:  isermulc2  11281  fsummulc2  11389