Theorem seq3distr 10898

Description: The distributive property for series. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3distr.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seq3distr.2	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( C T ( x .+ y ) ) = ( ( C T x ) .+ ( C T y ) ) )
seq3distr.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seq3distr.4	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
seq3distr.5	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) = ( C T ( G ` x ) ) )
seq3distr.t	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x T y ) e. S )
seq3distr.c	|- ( ph -> C e. S )

Assertion

Ref	Expression
seq3distr	|- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )

Distinct variable groups:   x, .+ , y   x, C, y   x, F, y   x, G, y   x, M, y   x, N, y   x, S, y   x, T, y   ph, x, y

Proof of Theorem seq3distr

Dummy variables b z a are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3distr.1	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
2		seq3distr.4	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
3		seq3distr.3	. . 3 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
4		seq3distr.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( C T ( x .+ y ) ) = ( ( C T x ) .+ ( C T y ) ) )
5		seq3distr.c	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. S )
6	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> C e. S )
7		seq3distr.t	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x T y ) e. S )
8	7	ralrimivva 2626	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S ( x T y ) e. S )
9		oveq1 6059	. . . . . . . . . 10 |- ( x = a -> ( x T y ) = ( a T y ) )
10	9	eleq1d 2303	. . . . . . . . 9 |- ( x = a -> ( ( x T y ) e. S <-> ( a T y ) e. S ) )
11		oveq2 6060	. . . . . . . . . 10 |- ( y = b -> ( a T y ) = ( a T b ) )
12	11	eleq1d 2303	. . . . . . . . 9 |- ( y = b -> ( ( a T y ) e. S <-> ( a T b ) e. S ) )
13	10, 12	cbvral2v 2793	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. S A. y e. S ( x T y ) e. S <-> A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S )
14	8, 13	sylib 122	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S )
15	14	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S )
16		oveq1 6059	. . . . . . . 8 |- ( a = C -> ( a T b ) = ( C T b ) )
17	16	eleq1d 2303	. . . . . . 7 |- ( a = C -> ( ( a T b ) e. S <-> ( C T b ) e. S ) )
18		oveq2 6060	. . . . . . . 8 |- ( b = ( x .+ y ) -> ( C T b ) = ( C T ( x .+ y ) ) )
19	18	eleq1d 2303	. . . . . . 7 |- ( b = ( x .+ y ) -> ( ( C T b ) e. S <-> ( C T ( x .+ y ) ) e. S ) )
20	17, 19	rspc2va 2937	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. S /\ ( x .+ y ) e. S ) /\ A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S ) -> ( C T ( x .+ y ) ) e. S )
21	6, 1, 15, 20	syl21anc 1273	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( C T ( x .+ y ) ) e. S )
22		oveq2 6060	. . . . . 6 |- ( z = ( x .+ y ) -> ( C T z ) = ( C T ( x .+ y ) ) )
23		eqid 2234	. . . . . 6 |- ( z e. S |-> ( C T z ) ) = ( z e. S |-> ( C T z ) )
24	22, 23	fvmptg 5755	. . . . 5 |- ( ( ( x .+ y ) e. S /\ ( C T ( x .+ y ) ) e. S ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( x .+ y ) ) = ( C T ( x .+ y ) ) )
25	1, 21, 24	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( x .+ y ) ) = ( C T ( x .+ y ) ) )
26		simprl 531	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> x e. S )
27		oveq2 6060	. . . . . . . . 9 |- ( b = x -> ( C T b ) = ( C T x ) )
28	27	eleq1d 2303	. . . . . . . 8 |- ( b = x -> ( ( C T b ) e. S <-> ( C T x ) e. S ) )
29	17, 28	rspc2va 2937	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. S /\ x e. S ) /\ A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S ) -> ( C T x ) e. S )
30	6, 26, 15, 29	syl21anc 1273	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( C T x ) e. S )
31		oveq2 6060	. . . . . . 7 |- ( z = x -> ( C T z ) = ( C T x ) )
32	31, 23	fvmptg 5755	. . . . . 6 |- ( ( x e. S /\ ( C T x ) e. S ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` x ) = ( C T x ) )
33	26, 30, 32	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` x ) = ( C T x ) )
34		simprr 533	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> y e. S )
35		oveq2 6060	. . . . . . . . 9 |- ( b = y -> ( C T b ) = ( C T y ) )
36	35	eleq1d 2303	. . . . . . . 8 |- ( b = y -> ( ( C T b ) e. S <-> ( C T y ) e. S ) )
37	17, 36	rspc2va 2937	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. S /\ y e. S ) /\ A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S ) -> ( C T y ) e. S )
38	6, 34, 15, 37	syl21anc 1273	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( C T y ) e. S )
39		oveq2 6060	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( C T z ) = ( C T y ) )
40	39, 23	fvmptg 5755	. . . . . 6 |- ( ( y e. S /\ ( C T y ) e. S ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` y ) = ( C T y ) )
41	34, 38, 40	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` y ) = ( C T y ) )
42	33, 41	oveq12d 6070	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` x ) .+ ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` y ) ) = ( ( C T x ) .+ ( C T y ) ) )
43	4, 25, 42	3eqtr4d 2277	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( x .+ y ) ) = ( ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` x ) .+ ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` y ) ) )
44	5	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> C e. S )
45	14	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S )
46		oveq2 6060	. . . . . . . 8 |- ( b = ( G ` x ) -> ( C T b ) = ( C T ( G ` x ) ) )
47	46	eleq1d 2303	. . . . . . 7 |- ( b = ( G ` x ) -> ( ( C T b ) e. S <-> ( C T ( G ` x ) ) e. S ) )
48	17, 47	rspc2va 2937	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. S /\ ( G ` x ) e. S ) /\ A. a e. S A. b e. S ( a T b ) e. S ) -> ( C T ( G ` x ) ) e. S )
49	44, 2, 45, 48	syl21anc 1273	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( C T ( G ` x ) ) e. S )
50		oveq2 6060	. . . . . 6 |- ( z = ( G ` x ) -> ( C T z ) = ( C T ( G ` x ) ) )
51	50, 23	fvmptg 5755	. . . . 5 |- ( ( ( G ` x ) e. S /\ ( C T ( G ` x ) ) e. S ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( G ` x ) ) = ( C T ( G ` x ) ) )
52	2, 49, 51	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( G ` x ) ) = ( C T ( G ` x ) ) )
53		seq3distr.5	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) = ( C T ( G ` x ) ) )
54	52, 53	eqtr4d 2270	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( G ` x ) ) = ( F ` x ) )
55	53, 49	eqeltrd 2311	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
56	1, 2, 3, 43, 54, 55, 1	seq3homo 10893	. 2 |- ( ph -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) = ( seq M ( .+ , F ) ` N ) )
57		eqid 2234	. . . . 5 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
58		eluzel2 9861	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
59	3, 58	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> M e. ZZ )
60	57, 59, 2, 1	seqf 10830	. . . 4 |- ( ph -> seq M ( .+ , G ) : ( ZZ>= ` M ) --> S )
61	60, 3	ffvelcdmd 5815	. . 3 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , G ) ` N ) e. S )
62	7, 5, 61	caovcld 6210	. . 3 |- ( ph -> ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) e. S )
63		oveq2 6060	. . . 4 |- ( z = ( seq M ( .+ , G ) ` N ) -> ( C T z ) = ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )
64	63, 23	fvmptg 5755	. . 3 |- ( ( ( seq M ( .+ , G ) ` N ) e. S /\ ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) e. S ) -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) = ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )
65	61, 62, 64	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( z e. S |-> ( C T z ) ) ` ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) = ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )
66	56, 65	eqtr3d 2269	1 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` N ) = ( C T ( seq M ( .+ , G ) ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   |-> cmpt 4173   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   ZZcz 9579   ZZ>=cuz 9856   seqcseq 10813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-frec 6624  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857  df-seqfrec 10814

This theorem is referenced by:  isermulc2  12029  fsummulc2  12138