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Theorem isoti 6966
Description: An isomorphism preserves tightness. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
isoti  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) )  <->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  ( u  =  v  <->  ( -.  u S v  /\  -.  v S u ) ) ) )
Distinct variable groups:    u, A, v   
u, B, v    u, F, v    u, R, v   
u, S, v

Proof of Theorem isoti
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isocnv 5776 . . . 4  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  `' F  Isom  S ,  R  ( B ,  A ) )
2 isotilem 6965 . . . 4  |-  ( `' F  Isom  S ,  R  ( B ,  A )  ->  ( A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  =  y  <->  ( -.  x S y  /\  -.  y S x ) ) ) )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  =  y  <->  ( -.  x S y  /\  -.  y S x ) ) ) )
4 isotilem 6965 . . 3  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  =  y  <->  ( -.  x S y  /\  -.  y S x ) )  ->  A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) ) )
53, 4impbid 128 . 2  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  =  y  <->  ( -.  x S y  /\  -.  y S x ) ) ) )
6 equequ1 1699 . . . 4  |-  ( x  =  u  ->  (
x  =  y  <->  u  =  y ) )
7 breq1 3982 . . . . . 6  |-  ( x  =  u  ->  (
x S y  <->  u S
y ) )
87notbid 657 . . . . 5  |-  ( x  =  u  ->  ( -.  x S y  <->  -.  u S y ) )
9 breq2 3983 . . . . . 6  |-  ( x  =  u  ->  (
y S x  <->  y S u ) )
109notbid 657 . . . . 5  |-  ( x  =  u  ->  ( -.  y S x  <->  -.  y S u ) )
118, 10anbi12d 465 . . . 4  |-  ( x  =  u  ->  (
( -.  x S y  /\  -.  y S x )  <->  ( -.  u S y  /\  -.  y S u ) ) )
126, 11bibi12d 234 . . 3  |-  ( x  =  u  ->  (
( x  =  y  <-> 
( -.  x S y  /\  -.  y S x ) )  <-> 
( u  =  y  <-> 
( -.  u S y  /\  -.  y S u ) ) ) )
13 equequ2 1700 . . . 4  |-  ( y  =  v  ->  (
u  =  y  <->  u  =  v ) )
14 breq2 3983 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  (
u S y  <->  u S
v ) )
1514notbid 657 . . . . 5  |-  ( y  =  v  ->  ( -.  u S y  <->  -.  u S v ) )
16 breq1 3982 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  (
y S u  <->  v S u ) )
1716notbid 657 . . . . 5  |-  ( y  =  v  ->  ( -.  y S u  <->  -.  v S u ) )
1815, 17anbi12d 465 . . . 4  |-  ( y  =  v  ->  (
( -.  u S y  /\  -.  y S u )  <->  ( -.  u S v  /\  -.  v S u ) ) )
1913, 18bibi12d 234 . . 3  |-  ( y  =  v  ->  (
( u  =  y  <-> 
( -.  u S y  /\  -.  y S u ) )  <-> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u S v  /\  -.  v S u ) ) ) )
2012, 19cbvral2v 2703 . 2  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  =  y  <->  ( -.  x S y  /\  -.  y S x ) )  <->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  ( u  =  v  <->  ( -.  u S v  /\  -.  v S u ) ) )
215, 20bitrdi 195 1  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) )  <->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  ( u  =  v  <->  ( -.  u S v  /\  -.  v S u ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wral 2442   class class class wbr 3979   `'ccnv 4600    Isom wiso 5186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4097  ax-pow 4150  ax-pr 4184
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2726  df-sbc 2950  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pw 3558  df-sn 3579  df-pr 3580  df-op 3582  df-uni 3787  df-br 3980  df-opab 4041  df-id 4268  df-xp 4607  df-rel 4608  df-cnv 4609  df-co 4610  df-dm 4611  df-rn 4612  df-res 4613  df-ima 4614  df-iota 5150  df-fun 5187  df-fn 5188  df-f 5189  df-f1 5190  df-fo 5191  df-f1o 5192  df-fv 5193  df-isom 5194
This theorem is referenced by:  supisoti  6969
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