Theorem isoti 6702

Description: An isomorphism preserves tightness. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
isoti	|- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) <-> A. u e. B A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) ) )

Distinct variable groups:   u, A, v   u, B, v   u, F, v   u, R, v   u, S, v

Proof of Theorem isoti

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isocnv 5590	. . . 4 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> `' F Isom S , R ( B , A ) )
2		isotilem 6701	. . . 4 |- ( `' F Isom S , R ( B , A ) -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) -> A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) -> A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) ) )
4		isotilem 6701	. . 3 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) -> A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) ) )
5	3, 4	impbid 127	. 2 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) ) )
6		equequ1 1645	. . . 4 |- ( x = u -> ( x = y <-> u = y ) )
7		breq1 3848	. . . . . 6 |- ( x = u -> ( x S y <-> u S y ) )
8	7	notbid 627	. . . . 5 |- ( x = u -> ( -. x S y <-> -. u S y ) )
9		breq2 3849	. . . . . 6 |- ( x = u -> ( y S x <-> y S u ) )
10	9	notbid 627	. . . . 5 |- ( x = u -> ( -. y S x <-> -. y S u ) )
11	8, 10	anbi12d 457	. . . 4 |- ( x = u -> ( ( -. x S y /\ -. y S x ) <-> ( -. u S y /\ -. y S u ) ) )
12	6, 11	bibi12d 233	. . 3 |- ( x = u -> ( ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) <-> ( u = y <-> ( -. u S y /\ -. y S u ) ) ) )
13		equequ2 1646	. . . 4 |- ( y = v -> ( u = y <-> u = v ) )
14		breq2 3849	. . . . . 6 |- ( y = v -> ( u S y <-> u S v ) )
15	14	notbid 627	. . . . 5 |- ( y = v -> ( -. u S y <-> -. u S v ) )
16		breq1 3848	. . . . . 6 |- ( y = v -> ( y S u <-> v S u ) )
17	16	notbid 627	. . . . 5 |- ( y = v -> ( -. y S u <-> -. v S u ) )
18	15, 17	anbi12d 457	. . . 4 |- ( y = v -> ( ( -. u S y /\ -. y S u ) <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) )
19	13, 18	bibi12d 233	. . 3 |- ( y = v -> ( ( u = y <-> ( -. u S y /\ -. y S u ) ) <-> ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) ) )
20	12, 19	cbvral2v 2598	. 2 |- ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) <-> A. u e. B A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) )
21	5, 20	syl6bb 194	1 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) <-> A. u e. B A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   A.wral 2359   class class class wbr 3845   `'ccnv 4437   Isom wiso 5016

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2841  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024

This theorem is referenced by:  supisoti  6705