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Theorem isoti 6887
Description: An isomorphism preserves tightness. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
isoti  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) )  <->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  ( u  =  v  <->  ( -.  u S v  /\  -.  v S u ) ) ) )
Distinct variable groups:    u, A, v   
u, B, v    u, F, v    u, R, v   
u, S, v

Proof of Theorem isoti
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isocnv 5705 . . . 4  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  `' F  Isom  S ,  R  ( B ,  A ) )
2 isotilem 6886 . . . 4  |-  ( `' F  Isom  S ,  R  ( B ,  A )  ->  ( A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  =  y  <->  ( -.  x S y  /\  -.  y S x ) ) ) )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  =  y  <->  ( -.  x S y  /\  -.  y S x ) ) ) )
4 isotilem 6886 . . 3  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  =  y  <->  ( -.  x S y  /\  -.  y S x ) )  ->  A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) ) )
53, 4impbid 128 . 2  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  =  y  <->  ( -.  x S y  /\  -.  y S x ) ) ) )
6 equequ1 1688 . . . 4  |-  ( x  =  u  ->  (
x  =  y  <->  u  =  y ) )
7 breq1 3927 . . . . . 6  |-  ( x  =  u  ->  (
x S y  <->  u S
y ) )
87notbid 656 . . . . 5  |-  ( x  =  u  ->  ( -.  x S y  <->  -.  u S y ) )
9 breq2 3928 . . . . . 6  |-  ( x  =  u  ->  (
y S x  <->  y S u ) )
109notbid 656 . . . . 5  |-  ( x  =  u  ->  ( -.  y S x  <->  -.  y S u ) )
118, 10anbi12d 464 . . . 4  |-  ( x  =  u  ->  (
( -.  x S y  /\  -.  y S x )  <->  ( -.  u S y  /\  -.  y S u ) ) )
126, 11bibi12d 234 . . 3  |-  ( x  =  u  ->  (
( x  =  y  <-> 
( -.  x S y  /\  -.  y S x ) )  <-> 
( u  =  y  <-> 
( -.  u S y  /\  -.  y S u ) ) ) )
13 equequ2 1689 . . . 4  |-  ( y  =  v  ->  (
u  =  y  <->  u  =  v ) )
14 breq2 3928 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  (
u S y  <->  u S
v ) )
1514notbid 656 . . . . 5  |-  ( y  =  v  ->  ( -.  u S y  <->  -.  u S v ) )
16 breq1 3927 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  (
y S u  <->  v S u ) )
1716notbid 656 . . . . 5  |-  ( y  =  v  ->  ( -.  y S u  <->  -.  v S u ) )
1815, 17anbi12d 464 . . . 4  |-  ( y  =  v  ->  (
( -.  u S y  /\  -.  y S u )  <->  ( -.  u S v  /\  -.  v S u ) ) )
1913, 18bibi12d 234 . . 3  |-  ( y  =  v  ->  (
( u  =  y  <-> 
( -.  u S y  /\  -.  y S u ) )  <-> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u S v  /\  -.  v S u ) ) ) )
2012, 19cbvral2v 2660 . 2  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  =  y  <->  ( -.  x S y  /\  -.  y S x ) )  <->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  ( u  =  v  <->  ( -.  u S v  /\  -.  v S u ) ) )
215, 20syl6bb 195 1  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) )  <->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  ( u  =  v  <->  ( -.  u S v  /\  -.  v S u ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104   A.wral 2414   class class class wbr 3924   `'ccnv 4533    Isom wiso 5119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127
This theorem is referenced by:  supisoti  6890
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