Theorem isoti 6902

Description: An isomorphism preserves tightness. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
isoti	|- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) <-> A. u e. B A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) ) )

Distinct variable groups:   u, A, v   u, B, v   u, F, v   u, R, v   u, S, v

Proof of Theorem isoti

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isocnv 5720	. . . 4 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> `' F Isom S , R ( B , A ) )
2		isotilem 6901	. . . 4 |- ( `' F Isom S , R ( B , A ) -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) -> A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) -> A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) ) )
4		isotilem 6901	. . 3 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) -> A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) ) )
5	3, 4	impbid 128	. 2 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) ) )
6		equequ1 1689	. . . 4 |- ( x = u -> ( x = y <-> u = y ) )
7		breq1 3940	. . . . . 6 |- ( x = u -> ( x S y <-> u S y ) )
8	7	notbid 657	. . . . 5 |- ( x = u -> ( -. x S y <-> -. u S y ) )
9		breq2 3941	. . . . . 6 |- ( x = u -> ( y S x <-> y S u ) )
10	9	notbid 657	. . . . 5 |- ( x = u -> ( -. y S x <-> -. y S u ) )
11	8, 10	anbi12d 465	. . . 4 |- ( x = u -> ( ( -. x S y /\ -. y S x ) <-> ( -. u S y /\ -. y S u ) ) )
12	6, 11	bibi12d 234	. . 3 |- ( x = u -> ( ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) <-> ( u = y <-> ( -. u S y /\ -. y S u ) ) ) )
13		equequ2 1690	. . . 4 |- ( y = v -> ( u = y <-> u = v ) )
14		breq2 3941	. . . . . 6 |- ( y = v -> ( u S y <-> u S v ) )
15	14	notbid 657	. . . . 5 |- ( y = v -> ( -. u S y <-> -. u S v ) )
16		breq1 3940	. . . . . 6 |- ( y = v -> ( y S u <-> v S u ) )
17	16	notbid 657	. . . . 5 |- ( y = v -> ( -. y S u <-> -. v S u ) )
18	15, 17	anbi12d 465	. . . 4 |- ( y = v -> ( ( -. u S y /\ -. y S u ) <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) )
19	13, 18	bibi12d 234	. . 3 |- ( y = v -> ( ( u = y <-> ( -. u S y /\ -. y S u ) ) <-> ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) ) )
20	12, 19	cbvral2v 2668	. 2 |- ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) <-> A. u e. B A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) )
21	5, 20	syl6bb 195	1 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) <-> A. u e. B A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   A.wral 2417   class class class wbr 3937   `'ccnv 4546   Isom wiso 5132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140

This theorem is referenced by:  supisoti  6905