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Theorem isoti 7031
Description: An isomorphism preserves tightness. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
isoti  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) )  <->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  ( u  =  v  <->  ( -.  u S v  /\  -.  v S u ) ) ) )
Distinct variable groups:    u, A, v   
u, B, v    u, F, v    u, R, v   
u, S, v

Proof of Theorem isoti
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isocnv 5829 . . . 4  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  `' F  Isom  S ,  R  ( B ,  A ) )
2 isotilem 7030 . . . 4  |-  ( `' F  Isom  S ,  R  ( B ,  A )  ->  ( A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  =  y  <->  ( -.  x S y  /\  -.  y S x ) ) ) )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  =  y  <->  ( -.  x S y  /\  -.  y S x ) ) ) )
4 isotilem 7030 . . 3  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  =  y  <->  ( -.  x S y  /\  -.  y S x ) )  ->  A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) ) )
53, 4impbid 129 . 2  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  =  y  <->  ( -.  x S y  /\  -.  y S x ) ) ) )
6 equequ1 1723 . . . 4  |-  ( x  =  u  ->  (
x  =  y  <->  u  =  y ) )
7 breq1 4021 . . . . . 6  |-  ( x  =  u  ->  (
x S y  <->  u S
y ) )
87notbid 668 . . . . 5  |-  ( x  =  u  ->  ( -.  x S y  <->  -.  u S y ) )
9 breq2 4022 . . . . . 6  |-  ( x  =  u  ->  (
y S x  <->  y S u ) )
109notbid 668 . . . . 5  |-  ( x  =  u  ->  ( -.  y S x  <->  -.  y S u ) )
118, 10anbi12d 473 . . . 4  |-  ( x  =  u  ->  (
( -.  x S y  /\  -.  y S x )  <->  ( -.  u S y  /\  -.  y S u ) ) )
126, 11bibi12d 235 . . 3  |-  ( x  =  u  ->  (
( x  =  y  <-> 
( -.  x S y  /\  -.  y S x ) )  <-> 
( u  =  y  <-> 
( -.  u S y  /\  -.  y S u ) ) ) )
13 equequ2 1724 . . . 4  |-  ( y  =  v  ->  (
u  =  y  <->  u  =  v ) )
14 breq2 4022 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  (
u S y  <->  u S
v ) )
1514notbid 668 . . . . 5  |-  ( y  =  v  ->  ( -.  u S y  <->  -.  u S v ) )
16 breq1 4021 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  (
y S u  <->  v S u ) )
1716notbid 668 . . . . 5  |-  ( y  =  v  ->  ( -.  y S u  <->  -.  v S u ) )
1815, 17anbi12d 473 . . . 4  |-  ( y  =  v  ->  (
( -.  u S y  /\  -.  y S u )  <->  ( -.  u S v  /\  -.  v S u ) ) )
1913, 18bibi12d 235 . . 3  |-  ( y  =  v  ->  (
( u  =  y  <-> 
( -.  u S y  /\  -.  y S u ) )  <-> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u S v  /\  -.  v S u ) ) ) )
2012, 19cbvral2v 2731 . 2  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  =  y  <->  ( -.  x S y  /\  -.  y S x ) )  <->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  ( u  =  v  <->  ( -.  u S v  /\  -.  v S u ) ) )
215, 20bitrdi 196 1  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) )  <->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  ( u  =  v  <->  ( -.  u S v  /\  -.  v S u ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105   A.wral 2468   class class class wbr 4018   `'ccnv 4640    Isom wiso 5233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-isom 5241
This theorem is referenced by:  supisoti  7034
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