Theorem isoti 7205

Description: An isomorphism preserves tightness. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
isoti	|- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) <-> A. u e. B A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) ) )

Distinct variable groups:   u, A, v   u, B, v   u, F, v   u, R, v   u, S, v

Proof of Theorem isoti

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isocnv 5951	. . . 4 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> `' F Isom S , R ( B , A ) )
2		isotilem 7204	. . . 4 |- ( `' F Isom S , R ( B , A ) -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) -> A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) -> A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) ) )
4		isotilem 7204	. . 3 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) -> A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) ) )
5	3, 4	impbid 129	. 2 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) ) )
6		equequ1 1760	. . . 4 |- ( x = u -> ( x = y <-> u = y ) )
7		breq1 4091	. . . . . 6 |- ( x = u -> ( x S y <-> u S y ) )
8	7	notbid 673	. . . . 5 |- ( x = u -> ( -. x S y <-> -. u S y ) )
9		breq2 4092	. . . . . 6 |- ( x = u -> ( y S x <-> y S u ) )
10	9	notbid 673	. . . . 5 |- ( x = u -> ( -. y S x <-> -. y S u ) )
11	8, 10	anbi12d 473	. . . 4 |- ( x = u -> ( ( -. x S y /\ -. y S x ) <-> ( -. u S y /\ -. y S u ) ) )
12	6, 11	bibi12d 235	. . 3 |- ( x = u -> ( ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) <-> ( u = y <-> ( -. u S y /\ -. y S u ) ) ) )
13		equequ2 1761	. . . 4 |- ( y = v -> ( u = y <-> u = v ) )
14		breq2 4092	. . . . . 6 |- ( y = v -> ( u S y <-> u S v ) )
15	14	notbid 673	. . . . 5 |- ( y = v -> ( -. u S y <-> -. u S v ) )
16		breq1 4091	. . . . . 6 |- ( y = v -> ( y S u <-> v S u ) )
17	16	notbid 673	. . . . 5 |- ( y = v -> ( -. y S u <-> -. v S u ) )
18	15, 17	anbi12d 473	. . . 4 |- ( y = v -> ( ( -. u S y /\ -. y S u ) <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) )
19	13, 18	bibi12d 235	. . 3 |- ( y = v -> ( ( u = y <-> ( -. u S y /\ -. y S u ) ) <-> ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) ) )
20	12, 19	cbvral2v 2780	. 2 |- ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) <-> A. u e. B A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) )
21	5, 20	bitrdi 196	1 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) <-> A. u e. B A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wral 2510   class class class wbr 4088   `'ccnv 4724   Isom wiso 5327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335

This theorem is referenced by:  supisoti  7208