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Theorem isoti 6702
Description: An isomorphism preserves tightness. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2021.)
Assertion
Ref Expression
isoti  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) )  <->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  ( u  =  v  <->  ( -.  u S v  /\  -.  v S u ) ) ) )
Distinct variable groups:    u, A, v   
u, B, v    u, F, v    u, R, v   
u, S, v

Proof of Theorem isoti
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isocnv 5590 . . . 4  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  `' F  Isom  S ,  R  ( B ,  A ) )
2 isotilem 6701 . . . 4  |-  ( `' F  Isom  S ,  R  ( B ,  A )  ->  ( A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  =  y  <->  ( -.  x S y  /\  -.  y S x ) ) ) )
31, 2syl 14 . . 3  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  =  y  <->  ( -.  x S y  /\  -.  y S x ) ) ) )
4 isotilem 6701 . . 3  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  =  y  <->  ( -.  x S y  /\  -.  y S x ) )  ->  A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) ) ) )
53, 4impbid 127 . 2  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) )  <->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  =  y  <->  ( -.  x S y  /\  -.  y S x ) ) ) )
6 equequ1 1645 . . . 4  |-  ( x  =  u  ->  (
x  =  y  <->  u  =  y ) )
7 breq1 3848 . . . . . 6  |-  ( x  =  u  ->  (
x S y  <->  u S
y ) )
87notbid 627 . . . . 5  |-  ( x  =  u  ->  ( -.  x S y  <->  -.  u S y ) )
9 breq2 3849 . . . . . 6  |-  ( x  =  u  ->  (
y S x  <->  y S u ) )
109notbid 627 . . . . 5  |-  ( x  =  u  ->  ( -.  y S x  <->  -.  y S u ) )
118, 10anbi12d 457 . . . 4  |-  ( x  =  u  ->  (
( -.  x S y  /\  -.  y S x )  <->  ( -.  u S y  /\  -.  y S u ) ) )
126, 11bibi12d 233 . . 3  |-  ( x  =  u  ->  (
( x  =  y  <-> 
( -.  x S y  /\  -.  y S x ) )  <-> 
( u  =  y  <-> 
( -.  u S y  /\  -.  y S u ) ) ) )
13 equequ2 1646 . . . 4  |-  ( y  =  v  ->  (
u  =  y  <->  u  =  v ) )
14 breq2 3849 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  (
u S y  <->  u S
v ) )
1514notbid 627 . . . . 5  |-  ( y  =  v  ->  ( -.  u S y  <->  -.  u S v ) )
16 breq1 3848 . . . . . 6  |-  ( y  =  v  ->  (
y S u  <->  v S u ) )
1716notbid 627 . . . . 5  |-  ( y  =  v  ->  ( -.  y S u  <->  -.  v S u ) )
1815, 17anbi12d 457 . . . 4  |-  ( y  =  v  ->  (
( -.  u S y  /\  -.  y S u )  <->  ( -.  u S v  /\  -.  v S u ) ) )
1913, 18bibi12d 233 . . 3  |-  ( y  =  v  ->  (
( u  =  y  <-> 
( -.  u S y  /\  -.  y S u ) )  <-> 
( u  =  v  <-> 
( -.  u S v  /\  -.  v S u ) ) ) )
2012, 19cbvral2v 2598 . 2  |-  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  =  y  <->  ( -.  x S y  /\  -.  y S x ) )  <->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  ( u  =  v  <->  ( -.  u S v  /\  -.  v S u ) ) )
215, 20syl6bb 194 1  |-  ( F 
Isom  R ,  S  ( A ,  B )  ->  ( A. u  e.  A  A. v  e.  A  ( u  =  v  <->  ( -.  u R v  /\  -.  v R u ) )  <->  A. u  e.  B  A. v  e.  B  ( u  =  v  <->  ( -.  u S v  /\  -.  v S u ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103   A.wral 2359   class class class wbr 3845   `'ccnv 4437    Isom wiso 5016
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2841  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-isom 5024
This theorem is referenced by:  supisoti  6705
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