Theorem isoti 7031

Description: An isomorphism preserves tightness. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
isoti	|- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) <-> A. u e. B A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) ) )

Distinct variable groups:   u, A, v   u, B, v   u, F, v   u, R, v   u, S, v

Proof of Theorem isoti

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isocnv 5829	. . . 4 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> `' F Isom S , R ( B , A ) )
2		isotilem 7030	. . . 4 |- ( `' F Isom S , R ( B , A ) -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) -> A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) -> A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) ) )
4		isotilem 7030	. . 3 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) -> A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) ) )
5	3, 4	impbid 129	. 2 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) ) )
6		equequ1 1723	. . . 4 |- ( x = u -> ( x = y <-> u = y ) )
7		breq1 4021	. . . . . 6 |- ( x = u -> ( x S y <-> u S y ) )
8	7	notbid 668	. . . . 5 |- ( x = u -> ( -. x S y <-> -. u S y ) )
9		breq2 4022	. . . . . 6 |- ( x = u -> ( y S x <-> y S u ) )
10	9	notbid 668	. . . . 5 |- ( x = u -> ( -. y S x <-> -. y S u ) )
11	8, 10	anbi12d 473	. . . 4 |- ( x = u -> ( ( -. x S y /\ -. y S x ) <-> ( -. u S y /\ -. y S u ) ) )
12	6, 11	bibi12d 235	. . 3 |- ( x = u -> ( ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) <-> ( u = y <-> ( -. u S y /\ -. y S u ) ) ) )
13		equequ2 1724	. . . 4 |- ( y = v -> ( u = y <-> u = v ) )
14		breq2 4022	. . . . . 6 |- ( y = v -> ( u S y <-> u S v ) )
15	14	notbid 668	. . . . 5 |- ( y = v -> ( -. u S y <-> -. u S v ) )
16		breq1 4021	. . . . . 6 |- ( y = v -> ( y S u <-> v S u ) )
17	16	notbid 668	. . . . 5 |- ( y = v -> ( -. y S u <-> -. v S u ) )
18	15, 17	anbi12d 473	. . . 4 |- ( y = v -> ( ( -. u S y /\ -. y S u ) <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) )
19	13, 18	bibi12d 235	. . 3 |- ( y = v -> ( ( u = y <-> ( -. u S y /\ -. y S u ) ) <-> ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) ) )
20	12, 19	cbvral2v 2731	. 2 |- ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) <-> A. u e. B A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) )
21	5, 20	bitrdi 196	1 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) <-> A. u e. B A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wral 2468   class class class wbr 4018   `'ccnv 4640   Isom wiso 5233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-isom 5241

This theorem is referenced by:  supisoti  7034