Theorem isoti 7347

Description: An isomorphism preserves tightness. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2021.)

Assertion

Ref	Expression
isoti	|- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) <-> A. u e. B A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) ) )

Distinct variable groups:   u, A, v   u, B, v   u, F, v   u, R, v   u, S, v

Proof of Theorem isoti

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isocnv 6017	. . . 4 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> `' F Isom S , R ( B , A ) )
2		isotilem 7346	. . . 4 |- ( `' F Isom S , R ( B , A ) -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) -> A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) ) )
3	1, 2	syl 14	. . 3 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) -> A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) ) )
4		isotilem 7346	. . 3 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) -> A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) ) )
5	3, 4	impbid 129	. 2 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) ) )
6		equequ1 1764	. . . 4 |- ( x = u -> ( x = y <-> u = y ) )
7		breq1 4133	. . . . . 6 |- ( x = u -> ( x S y <-> u S y ) )
8	7	notbid 677	. . . . 5 |- ( x = u -> ( -. x S y <-> -. u S y ) )
9		breq2 4134	. . . . . 6 |- ( x = u -> ( y S x <-> y S u ) )
10	9	notbid 677	. . . . 5 |- ( x = u -> ( -. y S x <-> -. y S u ) )
11	8, 10	anbi12d 477	. . . 4 |- ( x = u -> ( ( -. x S y /\ -. y S x ) <-> ( -. u S y /\ -. y S u ) ) )
12	6, 11	bibi12d 235	. . 3 |- ( x = u -> ( ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) <-> ( u = y <-> ( -. u S y /\ -. y S u ) ) ) )
13		equequ2 1765	. . . 4 |- ( y = v -> ( u = y <-> u = v ) )
14		breq2 4134	. . . . . 6 |- ( y = v -> ( u S y <-> u S v ) )
15	14	notbid 677	. . . . 5 |- ( y = v -> ( -. u S y <-> -. u S v ) )
16		breq1 4133	. . . . . 6 |- ( y = v -> ( y S u <-> v S u ) )
17	16	notbid 677	. . . . 5 |- ( y = v -> ( -. y S u <-> -. v S u ) )
18	15, 17	anbi12d 477	. . . 4 |- ( y = v -> ( ( -. u S y /\ -. y S u ) <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) )
19	13, 18	bibi12d 235	. . 3 |- ( y = v -> ( ( u = y <-> ( -. u S y /\ -. y S u ) ) <-> ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) ) )
20	12, 19	cbvral2v 2799	. 2 |- ( A. x e. B A. y e. B ( x = y <-> ( -. x S y /\ -. y S x ) ) <-> A. u e. B A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) )
21	5, 20	bitrdi 196	1 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) <-> A. u e. B A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wral 2528   class class class wbr 4130   `'ccnv 4773   Isom wiso 5378

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386

This theorem is used by:  supisoti  7350