Theorem cldrcl 12114

Description: Reverse closure of the closed set operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cldrcl	|- ( C e. ( Clsd ` J ) -> J e. Top )

Proof of Theorem cldrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fncld 12110	. . . 4 |- Clsd Fn Top
2		fnrel 5179	. . . 4 |- ( Clsd Fn Top -> Rel Clsd )
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- Rel Clsd
4		relelfvdm 5407	. . 3 |- ( ( Rel Clsd /\ C e. ( Clsd ` J ) ) -> J e. dom Clsd )
5	3, 4	mpan 418	. 2 |- ( C e. ( Clsd ` J ) -> J e. dom Clsd )
6		fndm 5180	. . 3 |- ( Clsd Fn Top -> dom Clsd = Top )
7	1, 6	ax-mp 7	. 2 |- dom Clsd = Top
8	5, 7	syl6eleq 2207	1 |- ( C e. ( Clsd ` J ) -> J e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1314   e. wcel 1463   dom cdm 4499   Rel wrel 4504   Fn wfn 5076   ` cfv 5081   Topctop 12007   Clsdccld 12104

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-fv 5089  df-cld 12107

This theorem is referenced by:  cldss  12117  cldopn  12119  difopn  12120  uncld  12125  cldcls  12126  clsss2  12141