Theorem cldrcl 14984

Description: Reverse closure of the closed set operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cldrcl	|- ( C e. ( Clsd ` J ) -> J e. Top )

Proof of Theorem cldrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fncld 14980	. . . 4 |- Clsd Fn Top
2		fnrel 5456	. . . 4 |- ( Clsd Fn Top -> Rel Clsd )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- Rel Clsd
4		relelfvdm 5704	. . 3 |- ( ( Rel Clsd /\ C e. ( Clsd ` J ) ) -> J e. dom Clsd )
5	3, 4	mpan 424	. 2 |- ( C e. ( Clsd ` J ) -> J e. dom Clsd )
6		fndm 5457	. . 3 |- ( Clsd Fn Top -> dom Clsd = Top )
7	1, 6	ax-mp 5	. 2 |- dom Clsd = Top
8	5, 7	eleqtrdi 2327	1 |- ( C e. ( Clsd ` J ) -> J e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   dom cdm 4751   Rel wrel 4756   Fn wfn 5349   ` cfv 5354   Topctop 14879   Clsdccld 14974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-fv 5362  df-cld 14977

This theorem is referenced by:  cldss  14987  cldopn  14989  difopn  14990  uncld  14995  cldcls  14996  clsss2  15011