Theorem cldrcl 14896

Description: Reverse closure of the closed set operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cldrcl	|- ( C e. ( Clsd ` J ) -> J e. Top )

Proof of Theorem cldrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fncld 14892	. . . 4 |- Clsd Fn Top
2		fnrel 5435	. . . 4 |- ( Clsd Fn Top -> Rel Clsd )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- Rel Clsd
4		relelfvdm 5680	. . 3 |- ( ( Rel Clsd /\ C e. ( Clsd ` J ) ) -> J e. dom Clsd )
5	3, 4	mpan 424	. 2 |- ( C e. ( Clsd ` J ) -> J e. dom Clsd )
6		fndm 5436	. . 3 |- ( Clsd Fn Top -> dom Clsd = Top )
7	1, 6	ax-mp 5	. 2 |- dom Clsd = Top
8	5, 7	eleqtrdi 2324	1 |- ( C e. ( Clsd ` J ) -> J e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2202   dom cdm 4731   Rel wrel 4736   Fn wfn 5328   ` cfv 5333   Topctop 14791   Clsdccld 14886

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-rab 2520  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-fv 5341  df-cld 14889

This theorem is referenced by:  cldss  14899  cldopn  14901  difopn  14902  uncld  14907  cldcls  14908  clsss2  14923