ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cldrcl Unicode version

Theorem cldrcl 12198
Description: Reverse closure of the closed set operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
cldrcl  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )

Proof of Theorem cldrcl
StepHypRef Expression
1 fncld 12194 . . . 4  |-  Clsd  Fn  Top
2 fnrel 5191 . . . 4  |-  ( Clsd 
Fn  Top  ->  Rel  Clsd )
31, 2ax-mp 5 . . 3  |-  Rel  Clsd
4 relelfvdm 5421 . . 3  |-  ( ( Rel  Clsd  /\  C  e.  ( Clsd `  J
) )  ->  J  e.  dom  Clsd )
53, 4mpan 420 . 2  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  dom  Clsd )
6 fndm 5192 . . 3  |-  ( Clsd 
Fn  Top  ->  dom  Clsd  =  Top )
71, 6ax-mp 5 . 2  |-  dom  Clsd  =  Top
85, 7eleqtrdi 2210 1  |-  ( C  e.  ( Clsd `  J
)  ->  J  e.  Top )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1316    e. wcel 1465   dom cdm 4509   Rel wrel 4514    Fn wfn 5088   ` cfv 5093   Topctop 12091   Clsdccld 12188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-rab 2402  df-v 2662  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-fv 5101  df-cld 12191
This theorem is referenced by:  cldss  12201  cldopn  12203  difopn  12204  uncld  12209  cldcls  12210  clsss2  12225
  Copyright terms: Public domain W3C validator