Theorem cldrcl 14607

Description: Reverse closure of the closed set operation. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cldrcl	|- ( C e. ( Clsd ` J ) -> J e. Top )

Proof of Theorem cldrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fncld 14603	. . . 4 |- Clsd Fn Top
2		fnrel 5373	. . . 4 |- ( Clsd Fn Top -> Rel Clsd )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- Rel Clsd
4		relelfvdm 5610	. . 3 |- ( ( Rel Clsd /\ C e. ( Clsd ` J ) ) -> J e. dom Clsd )
5	3, 4	mpan 424	. 2 |- ( C e. ( Clsd ` J ) -> J e. dom Clsd )
6		fndm 5374	. . 3 |- ( Clsd Fn Top -> dom Clsd = Top )
7	1, 6	ax-mp 5	. 2 |- dom Clsd = Top
8	5, 7	eleqtrdi 2298	1 |- ( C e. ( Clsd ` J ) -> J e. Top )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   dom cdm 4676   Rel wrel 4681   Fn wfn 5267   ` cfv 5272   Topctop 14502   Clsdccld 14597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-fv 5280  df-cld 14600

This theorem is referenced by:  cldss  14610  cldopn  14612  difopn  14613  uncld  14618  cldcls  14619  clsss2  14634