Theorem clsss 14590

Description: Subset relationship for closure. (Contributed by NM, 10-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
clsss	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ T C_ S ) -> ( ( cls ` J ) ` T ) C_ ( ( cls ` J ) ` S ) )

Proof of Theorem clsss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 3200	. . . . . 6 |- ( T C_ S -> ( S C_ x -> T C_ x ) )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( T C_ S /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( S C_ x -> T C_ x ) )
3	2	ss2rabdv 3274	. . . 4 |- ( T C_ S -> { x e. ( Clsd ` J ) | S C_ x } C_ { x e. ( Clsd ` J ) | T C_ x } )
4		intss 3906	. . . 4 |- ( { x e. ( Clsd ` J ) | S C_ x } C_ { x e. ( Clsd ` J ) | T C_ x } -> |^| { x e. ( Clsd ` J ) | T C_ x } C_ |^| { x e. ( Clsd ` J ) | S C_ x } )
5	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( T C_ S -> |^| { x e. ( Clsd ` J ) | T C_ x } C_ |^| { x e. ( Clsd ` J ) | S C_ x } )
6	5	3ad2ant3 1023	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ T C_ S ) -> |^| { x e. ( Clsd ` J ) | T C_ x } C_ |^| { x e. ( Clsd ` J ) | S C_ x } )
7		simp1 1000	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ T C_ S ) -> J e. Top )
8		sstr2 3200	. . . . 5 |- ( T C_ S -> ( S C_ X -> T C_ X ) )
9	8	impcom 125	. . . 4 |- ( ( S C_ X /\ T C_ S ) -> T C_ X )
10	9	3adant1 1018	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ T C_ S ) -> T C_ X )
11		clscld.1	. . . 4 |- X = U. J
12	11	clsval 14583	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ T C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` T ) = |^| { x e. ( Clsd ` J ) | T C_ x } )
13	7, 10, 12	syl2anc 411	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ T C_ S ) -> ( ( cls ` J ) ` T ) = |^| { x e. ( Clsd ` J ) | T C_ x } )
14	11	clsval 14583	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = |^| { x e. ( Clsd ` J ) | S C_ x } )
15	14	3adant3 1020	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ T C_ S ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = |^| { x e. ( Clsd ` J ) | S C_ x } )
16	6, 13, 15	3sstr4d 3238	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ T C_ S ) -> ( ( cls ` J ) ` T ) C_ ( ( cls ` J ) ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   {crab 2488   C_ wss 3166   U.cuni 3850   |^|cint 3885   ` cfv 5271   Topctop 14469   Clsdccld 14564   clsccl 14566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-top 14470  df-cld 14567  df-cls 14569

This theorem is referenced by:  clsss2  14601