Theorem clsss 14438

Description: Subset relationship for closure. (Contributed by NM, 10-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
clsss	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ T C_ S ) -> ( ( cls ` J ) ` T ) C_ ( ( cls ` J ) ` S ) )

Proof of Theorem clsss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 3191	. . . . . 6 |- ( T C_ S -> ( S C_ x -> T C_ x ) )
2	1	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( T C_ S /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( S C_ x -> T C_ x ) )
3	2	ss2rabdv 3265	. . . 4 |- ( T C_ S -> { x e. ( Clsd ` J ) | S C_ x } C_ { x e. ( Clsd ` J ) | T C_ x } )
4		intss 3896	. . . 4 |- ( { x e. ( Clsd ` J ) | S C_ x } C_ { x e. ( Clsd ` J ) | T C_ x } -> |^| { x e. ( Clsd ` J ) | T C_ x } C_ |^| { x e. ( Clsd ` J ) | S C_ x } )
5	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( T C_ S -> |^| { x e. ( Clsd ` J ) | T C_ x } C_ |^| { x e. ( Clsd ` J ) | S C_ x } )
6	5	3ad2ant3 1022	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ T C_ S ) -> |^| { x e. ( Clsd ` J ) | T C_ x } C_ |^| { x e. ( Clsd ` J ) | S C_ x } )
7		simp1 999	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ T C_ S ) -> J e. Top )
8		sstr2 3191	. . . . 5 |- ( T C_ S -> ( S C_ X -> T C_ X ) )
9	8	impcom 125	. . . 4 |- ( ( S C_ X /\ T C_ S ) -> T C_ X )
10	9	3adant1 1017	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ T C_ S ) -> T C_ X )
11		clscld.1	. . . 4 |- X = U. J
12	11	clsval 14431	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ T C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` T ) = |^| { x e. ( Clsd ` J ) | T C_ x } )
13	7, 10, 12	syl2anc 411	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ T C_ S ) -> ( ( cls ` J ) ` T ) = |^| { x e. ( Clsd ` J ) | T C_ x } )
14	11	clsval 14431	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = |^| { x e. ( Clsd ` J ) | S C_ x } )
15	14	3adant3 1019	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ T C_ S ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = |^| { x e. ( Clsd ` J ) | S C_ x } )
16	6, 13, 15	3sstr4d 3229	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ T C_ S ) -> ( ( cls ` J ) ` T ) C_ ( ( cls ` J ) ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   {crab 2479   C_ wss 3157   U.cuni 3840   |^|cint 3875   ` cfv 5259   Topctop 14317   Clsdccld 14412   clsccl 14414

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-top 14318  df-cld 14415  df-cls 14417

This theorem is referenced by:  clsss2  14449