Theorem clsss 12758

Description: Subset relationship for closure. (Contributed by NM, 10-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
clsss	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ T C_ S ) -> ( ( cls ` J ) ` T ) C_ ( ( cls ` J ) ` S ) )

Proof of Theorem clsss

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sstr2 3149	. . . . . 6 |- ( T C_ S -> ( S C_ x -> T C_ x ) )
2	1	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( T C_ S /\ x e. ( Clsd ` J ) ) -> ( S C_ x -> T C_ x ) )
3	2	ss2rabdv 3223	. . . 4 |- ( T C_ S -> { x e. ( Clsd ` J ) | S C_ x } C_ { x e. ( Clsd ` J ) | T C_ x } )
4		intss 3845	. . . 4 |- ( { x e. ( Clsd ` J ) | S C_ x } C_ { x e. ( Clsd ` J ) | T C_ x } -> |^| { x e. ( Clsd ` J ) | T C_ x } C_ |^| { x e. ( Clsd ` J ) | S C_ x } )
5	3, 4	syl 14	. . 3 |- ( T C_ S -> |^| { x e. ( Clsd ` J ) | T C_ x } C_ |^| { x e. ( Clsd ` J ) | S C_ x } )
6	5	3ad2ant3 1010	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ T C_ S ) -> |^| { x e. ( Clsd ` J ) | T C_ x } C_ |^| { x e. ( Clsd ` J ) | S C_ x } )
7		simp1 987	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ T C_ S ) -> J e. Top )
8		sstr2 3149	. . . . 5 |- ( T C_ S -> ( S C_ X -> T C_ X ) )
9	8	impcom 124	. . . 4 |- ( ( S C_ X /\ T C_ S ) -> T C_ X )
10	9	3adant1 1005	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ T C_ S ) -> T C_ X )
11		clscld.1	. . . 4 |- X = U. J
12	11	clsval 12751	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ T C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` T ) = |^| { x e. ( Clsd ` J ) | T C_ x } )
13	7, 10, 12	syl2anc 409	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ T C_ S ) -> ( ( cls ` J ) ` T ) = |^| { x e. ( Clsd ` J ) | T C_ x } )
14	11	clsval 12751	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = |^| { x e. ( Clsd ` J ) | S C_ x } )
15	14	3adant3 1007	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ T C_ S ) -> ( ( cls ` J ) ` S ) = |^| { x e. ( Clsd ` J ) | S C_ x } )
16	6, 13, 15	3sstr4d 3187	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X /\ T C_ S ) -> ( ( cls ` J ) ` T ) C_ ( ( cls ` J ) ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   {crab 2448   C_ wss 3116   U.cuni 3789   |^|cint 3824   ` cfv 5188   Topctop 12635   Clsdccld 12732   clsccl 12734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-top 12636  df-cld 12735  df-cls 12737

This theorem is referenced by:  clsss2  12769