Theorem clsss2 15156

Description: If a subset is included in a closed set, so is the subset's closure. (Contributed by NM, 22-Feb-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
clsss2	⊢ ((𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem clsss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cldrcl 15129	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐽 ∈ Top)
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶) → 𝐽 ∈ Top)
3		clscld.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
4	3	cldss 15132	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐶 ⊆ 𝑋)
5	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶) → 𝐶 ⊆ 𝑋)
6		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶) → 𝑆 ⊆ 𝐶)
7	3	clsss 15145	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐶 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝐶))
8	2, 5, 6, 7	syl3anc 1278	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ ((cls‘𝐽)‘𝐶))
9		cldcls 15141	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) → ((cls‘𝐽)‘𝐶) = 𝐶)
10	9	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶) → ((cls‘𝐽)‘𝐶) = 𝐶)
11	8, 10	sseqtrd 3286	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ 𝑆 ⊆ 𝐶) → ((cls‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ∪ cuni 3933  ‘cfv 5375  Topctop 15024  Clsdccld 15119  clsccl 15121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-top 15025  df-cld 15122  df-cls 15124

This theorem is referenced by:  clsss3  15157