Theorem cnvdif 5076

Description: Distributive law for converse over set difference. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnvdif	|- `' ( A \ B ) = ( `' A \ `' B )

Proof of Theorem cnvdif

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5047	. 2 |- Rel `' ( A \ B )
2		difss 3289	. . 3 |- ( `' A \ `' B ) C_ `' A
3		relcnv 5047	. . 3 |- Rel `' A
4		relss 4750	. . 3 |- ( ( `' A \ `' B ) C_ `' A -> ( Rel `' A -> Rel ( `' A \ `' B ) ) )
5	2, 3, 4	mp2 16	. 2 |- Rel ( `' A \ `' B )
6		eldif 3166	. . 3 |- ( <. y , x >. e. ( A \ B ) <-> ( <. y , x >. e. A /\ -. <. y , x >. e. B ) )
7		vex 2766	. . . 4 |- x e. _V
8		vex 2766	. . . 4 |- y e. _V
9	7, 8	opelcnv 4848	. . 3 |- ( <. x , y >. e. `' ( A \ B ) <-> <. y , x >. e. ( A \ B ) )
10		eldif 3166	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( `' A \ `' B ) <-> ( <. x , y >. e. `' A /\ -. <. x , y >. e. `' B ) )
11	7, 8	opelcnv 4848	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. `' A <-> <. y , x >. e. A )
12	7, 8	opelcnv 4848	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. `' B <-> <. y , x >. e. B )
13	12	notbii 669	. . . . 5 |- ( -. <. x , y >. e. `' B <-> -. <. y , x >. e. B )
14	11, 13	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( <. x , y >. e. `' A /\ -. <. x , y >. e. `' B ) <-> ( <. y , x >. e. A /\ -. <. y , x >. e. B ) )
15	10, 14	bitri 184	. . 3 |- ( <. x , y >. e. ( `' A \ `' B ) <-> ( <. y , x >. e. A /\ -. <. y , x >. e. B ) )
16	6, 9, 15	3bitr4i 212	. 2 |- ( <. x , y >. e. `' ( A \ B ) <-> <. x , y >. e. ( `' A \ `' B ) )
17	1, 5, 16	eqrelriiv 4757	1 |- `' ( A \ B ) = ( `' A \ `' B )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   \ cdif 3154   C_ wss 3157   <.cop 3625   `'ccnv 4662   Rel wrel 4668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671

This theorem is referenced by: (None)