ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnvdif Unicode version

Theorem cnvdif 4825
Description: Distributive law for converse over set difference. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnvdif  |-  `' ( A  \  B )  =  ( `' A  \  `' B )

Proof of Theorem cnvdif
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 4797 . 2  |-  Rel  `' ( A  \  B )
2 difss 3124 . . 3  |-  ( `' A  \  `' B
)  C_  `' A
3 relcnv 4797 . . 3  |-  Rel  `' A
4 relss 4513 . . 3  |-  ( ( `' A  \  `' B
)  C_  `' A  ->  ( Rel  `' A  ->  Rel  ( `' A  \  `' B ) ) )
52, 3, 4mp2 16 . 2  |-  Rel  ( `' A  \  `' B
)
6 eldif 3006 . . 3  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  ( A  \  B
)  <->  ( <. y ,  x >.  e.  A  /\  -.  <. y ,  x >.  e.  B ) )
7 vex 2622 . . . 4  |-  x  e. 
_V
8 vex 2622 . . . 4  |-  y  e. 
_V
97, 8opelcnv 4606 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' ( A  \  B )  <->  <. y ,  x >.  e.  ( A  \  B ) )
10 eldif 3006 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( `' A  \  `' B )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  `' A  /\  -.  <. x ,  y >.  e.  `' B ) )
117, 8opelcnv 4606 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' A  <->  <. y ,  x >.  e.  A )
127, 8opelcnv 4606 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' B  <->  <. y ,  x >.  e.  B )
1312notbii 629 . . . . 5  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  `' B  <->  -.  <. y ,  x >.  e.  B
)
1411, 13anbi12i 448 . . . 4  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  `' A  /\  -.  <. x ,  y >.  e.  `' B )  <->  ( <. y ,  x >.  e.  A  /\  -.  <. y ,  x >.  e.  B ) )
1510, 14bitri 182 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( `' A  \  `' B )  <->  ( <. y ,  x >.  e.  A  /\  -.  <. y ,  x >.  e.  B ) )
166, 9, 153bitr4i 210 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' ( A  \  B )  <->  <. x ,  y >.  e.  ( `' A  \  `' B
) )
171, 5, 16eqrelriiv 4520 1  |-  `' ( A  \  B )  =  ( `' A  \  `' B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438    \ cdif 2994    C_ wss 2997   <.cop 3444   `'ccnv 4427   Rel wrel 4433
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-br 3838  df-opab 3892  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator