ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnvdif Unicode version

Theorem cnvdif 4915
Description: Distributive law for converse over set difference. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnvdif  |-  `' ( A  \  B )  =  ( `' A  \  `' B )

Proof of Theorem cnvdif
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 4887 . 2  |-  Rel  `' ( A  \  B )
2 difss 3172 . . 3  |-  ( `' A  \  `' B
)  C_  `' A
3 relcnv 4887 . . 3  |-  Rel  `' A
4 relss 4596 . . 3  |-  ( ( `' A  \  `' B
)  C_  `' A  ->  ( Rel  `' A  ->  Rel  ( `' A  \  `' B ) ) )
52, 3, 4mp2 16 . 2  |-  Rel  ( `' A  \  `' B
)
6 eldif 3050 . . 3  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  ( A  \  B
)  <->  ( <. y ,  x >.  e.  A  /\  -.  <. y ,  x >.  e.  B ) )
7 vex 2663 . . . 4  |-  x  e. 
_V
8 vex 2663 . . . 4  |-  y  e. 
_V
97, 8opelcnv 4691 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' ( A  \  B )  <->  <. y ,  x >.  e.  ( A  \  B ) )
10 eldif 3050 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( `' A  \  `' B )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  `' A  /\  -.  <. x ,  y >.  e.  `' B ) )
117, 8opelcnv 4691 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' A  <->  <. y ,  x >.  e.  A )
127, 8opelcnv 4691 . . . . . 6  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' B  <->  <. y ,  x >.  e.  B )
1312notbii 642 . . . . 5  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  `' B  <->  -.  <. y ,  x >.  e.  B
)
1411, 13anbi12i 455 . . . 4  |-  ( (
<. x ,  y >.  e.  `' A  /\  -.  <. x ,  y >.  e.  `' B )  <->  ( <. y ,  x >.  e.  A  /\  -.  <. y ,  x >.  e.  B ) )
1510, 14bitri 183 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( `' A  \  `' B )  <->  ( <. y ,  x >.  e.  A  /\  -.  <. y ,  x >.  e.  B ) )
166, 9, 153bitr4i 211 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  `' ( A  \  B )  <->  <. x ,  y >.  e.  ( `' A  \  `' B
) )
171, 5, 16eqrelriiv 4603 1  |-  `' ( A  \  B )  =  ( `' A  \  `' B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 103    = wceq 1316    e. wcel 1465    \ cdif 3038    C_ wss 3041   <.cop 3500   `'ccnv 4508   Rel wrel 4514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator