Theorem cnvdif 5174

Description: Distributive law for converse over set difference. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnvdif	|- `' ( A \ B ) = ( `' A \ `' B )

Proof of Theorem cnvdif

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5145	. 2 |- Rel `' ( A \ B )
2		difss 3349	. . 3 |- ( `' A \ `' B ) C_ `' A
3		relcnv 5145	. . 3 |- Rel `' A
4		relss 4842	. . 3 |- ( ( `' A \ `' B ) C_ `' A -> ( Rel `' A -> Rel ( `' A \ `' B ) ) )
5	2, 3, 4	mp2 16	. 2 |- Rel ( `' A \ `' B )
6		eldif 3223	. . 3 |- ( <. y , x >. e. ( A \ B ) <-> ( <. y , x >. e. A /\ -. <. y , x >. e. B ) )
7		vex 2818	. . . 4 |- x e. _V
8		vex 2818	. . . 4 |- y e. _V
9	7, 8	opelcnv 4942	. . 3 |- ( <. x , y >. e. `' ( A \ B ) <-> <. y , x >. e. ( A \ B ) )
10		eldif 3223	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( `' A \ `' B ) <-> ( <. x , y >. e. `' A /\ -. <. x , y >. e. `' B ) )
11	7, 8	opelcnv 4942	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. `' A <-> <. y , x >. e. A )
12	7, 8	opelcnv 4942	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. `' B <-> <. y , x >. e. B )
13	12	notbii 674	. . . . 5 |- ( -. <. x , y >. e. `' B <-> -. <. y , x >. e. B )
14	11, 13	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( <. x , y >. e. `' A /\ -. <. x , y >. e. `' B ) <-> ( <. y , x >. e. A /\ -. <. y , x >. e. B ) )
15	10, 14	bitri 184	. . 3 |- ( <. x , y >. e. ( `' A \ `' B ) <-> ( <. y , x >. e. A /\ -. <. y , x >. e. B ) )
16	6, 9, 15	3bitr4i 212	. 2 |- ( <. x , y >. e. `' ( A \ B ) <-> <. x , y >. e. ( `' A \ `' B ) )
17	1, 5, 16	eqrelriiv 4849	1 |- `' ( A \ B ) = ( `' A \ `' B )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   \ cdif 3211   C_ wss 3214   <.cop 3697   `'ccnv 4753   Rel wrel 4759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-br 4115  df-opab 4177  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762

This theorem is referenced by: (None)