Theorem cnvdif 5004

Description: Distributive law for converse over set difference. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnvdif	|- `' ( A \ B ) = ( `' A \ `' B )

Proof of Theorem cnvdif

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 4976	. 2 |- Rel `' ( A \ B )
2		difss 3243	. . 3 |- ( `' A \ `' B ) C_ `' A
3		relcnv 4976	. . 3 |- Rel `' A
4		relss 4685	. . 3 |- ( ( `' A \ `' B ) C_ `' A -> ( Rel `' A -> Rel ( `' A \ `' B ) ) )
5	2, 3, 4	mp2 16	. 2 |- Rel ( `' A \ `' B )
6		eldif 3120	. . 3 |- ( <. y , x >. e. ( A \ B ) <-> ( <. y , x >. e. A /\ -. <. y , x >. e. B ) )
7		vex 2724	. . . 4 |- x e. _V
8		vex 2724	. . . 4 |- y e. _V
9	7, 8	opelcnv 4780	. . 3 |- ( <. x , y >. e. `' ( A \ B ) <-> <. y , x >. e. ( A \ B ) )
10		eldif 3120	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( `' A \ `' B ) <-> ( <. x , y >. e. `' A /\ -. <. x , y >. e. `' B ) )
11	7, 8	opelcnv 4780	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. `' A <-> <. y , x >. e. A )
12	7, 8	opelcnv 4780	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. `' B <-> <. y , x >. e. B )
13	12	notbii 658	. . . . 5 |- ( -. <. x , y >. e. `' B <-> -. <. y , x >. e. B )
14	11, 13	anbi12i 456	. . . 4 |- ( ( <. x , y >. e. `' A /\ -. <. x , y >. e. `' B ) <-> ( <. y , x >. e. A /\ -. <. y , x >. e. B ) )
15	10, 14	bitri 183	. . 3 |- ( <. x , y >. e. ( `' A \ `' B ) <-> ( <. y , x >. e. A /\ -. <. y , x >. e. B ) )
16	6, 9, 15	3bitr4i 211	. 2 |- ( <. x , y >. e. `' ( A \ B ) <-> <. x , y >. e. ( `' A \ `' B ) )
17	1, 5, 16	eqrelriiv 4692	1 |- `' ( A \ B ) = ( `' A \ `' B )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   = wceq 1342   e. wcel 2135   \ cdif 3108   C_ wss 3111   <.cop 3573   `'ccnv 4597   Rel wrel 4603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2723  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-br 3977  df-opab 4038  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606

This theorem is referenced by: (None)