Theorem cnvdif 5108

Description: Distributive law for converse over set difference. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnvdif	|- `' ( A \ B ) = ( `' A \ `' B )

Proof of Theorem cnvdif

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5079	. 2 |- Rel `' ( A \ B )
2		difss 3307	. . 3 |- ( `' A \ `' B ) C_ `' A
3		relcnv 5079	. . 3 |- Rel `' A
4		relss 4780	. . 3 |- ( ( `' A \ `' B ) C_ `' A -> ( Rel `' A -> Rel ( `' A \ `' B ) ) )
5	2, 3, 4	mp2 16	. 2 |- Rel ( `' A \ `' B )
6		eldif 3183	. . 3 |- ( <. y , x >. e. ( A \ B ) <-> ( <. y , x >. e. A /\ -. <. y , x >. e. B ) )
7		vex 2779	. . . 4 |- x e. _V
8		vex 2779	. . . 4 |- y e. _V
9	7, 8	opelcnv 4878	. . 3 |- ( <. x , y >. e. `' ( A \ B ) <-> <. y , x >. e. ( A \ B ) )
10		eldif 3183	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. ( `' A \ `' B ) <-> ( <. x , y >. e. `' A /\ -. <. x , y >. e. `' B ) )
11	7, 8	opelcnv 4878	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. `' A <-> <. y , x >. e. A )
12	7, 8	opelcnv 4878	. . . . . 6 |- ( <. x , y >. e. `' B <-> <. y , x >. e. B )
13	12	notbii 670	. . . . 5 |- ( -. <. x , y >. e. `' B <-> -. <. y , x >. e. B )
14	11, 13	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( <. x , y >. e. `' A /\ -. <. x , y >. e. `' B ) <-> ( <. y , x >. e. A /\ -. <. y , x >. e. B ) )
15	10, 14	bitri 184	. . 3 |- ( <. x , y >. e. ( `' A \ `' B ) <-> ( <. y , x >. e. A /\ -. <. y , x >. e. B ) )
16	6, 9, 15	3bitr4i 212	. 2 |- ( <. x , y >. e. `' ( A \ B ) <-> <. x , y >. e. ( `' A \ `' B ) )
17	1, 5, 16	eqrelriiv 4787	1 |- `' ( A \ B ) = ( `' A \ `' B )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   \ cdif 3171   C_ wss 3174   <.cop 3646   `'ccnv 4692   Rel wrel 4698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701

This theorem is referenced by: (None)