Theorem cnven 6786

Description: A relational set is equinumerous to its converse. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnven	|- ( ( Rel A /\ A e. V ) -> A ~~ `' A )

Proof of Theorem cnven

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. 2 |- ( ( Rel A /\ A e. V ) -> A e. V )
2		cnvexg 5148	. . 3 |- ( A e. V -> `' A e. _V )
3	2	adantl 275	. 2 |- ( ( Rel A /\ A e. V ) -> `' A e. _V )
4		cnvf1o 6204	. . 3 |- ( Rel A -> ( x e. A |-> U. `' { x } ) : A -1-1-onto-> `' A )
5	4	adantr 274	. 2 |- ( ( Rel A /\ A e. V ) -> ( x e. A |-> U. `' { x } ) : A -1-1-onto-> `' A )
6		f1oen2g 6733	. 2 |- ( ( A e. V /\ `' A e. _V /\ ( x e. A |-> U. `' { x } ) : A -1-1-onto-> `' A ) -> A ~~ `' A )
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1233	1 |- ( ( Rel A /\ A e. V ) -> A ~~ `' A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   {csn 3583   U.cuni 3796   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   `'ccnv 4610   Rel wrel 4616   -1-1-onto->wf1o 5197   ~~ cen 6716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-en 6719

This theorem is referenced by:  cnvct  6787  relcnvfi  6918