Theorem cnven 6774

Description: A relational set is equinumerous to its converse. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnven	|- ( ( Rel A /\ A e. V ) -> A ~~ `' A )

Proof of Theorem cnven

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 109	. 2 |- ( ( Rel A /\ A e. V ) -> A e. V )
2		cnvexg 5141	. . 3 |- ( A e. V -> `' A e. _V )
3	2	adantl 275	. 2 |- ( ( Rel A /\ A e. V ) -> `' A e. _V )
4		cnvf1o 6193	. . 3 |- ( Rel A -> ( x e. A |-> U. `' { x } ) : A -1-1-onto-> `' A )
5	4	adantr 274	. 2 |- ( ( Rel A /\ A e. V ) -> ( x e. A |-> U. `' { x } ) : A -1-1-onto-> `' A )
6		f1oen2g 6721	. 2 |- ( ( A e. V /\ `' A e. _V /\ ( x e. A |-> U. `' { x } ) : A -1-1-onto-> `' A ) -> A ~~ `' A )
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1228	1 |- ( ( Rel A /\ A e. V ) -> A ~~ `' A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   {csn 3576   U.cuni 3789   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043   `'ccnv 4603   Rel wrel 4609   -1-1-onto->wf1o 5187   ~~ cen 6704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-en 6707

This theorem is referenced by:  cnvct  6775  relcnvfi  6906