Theorem cnven 6808

Description: A relational set is equinumerous to its converse. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cnven	|- ( ( Rel A /\ A e. V ) -> A ~~ `' A )

Proof of Theorem cnven

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. 2 |- ( ( Rel A /\ A e. V ) -> A e. V )
2		cnvexg 5167	. . 3 |- ( A e. V -> `' A e. _V )
3	2	adantl 277	. 2 |- ( ( Rel A /\ A e. V ) -> `' A e. _V )
4		cnvf1o 6226	. . 3 |- ( Rel A -> ( x e. A |-> U. `' { x } ) : A -1-1-onto-> `' A )
5	4	adantr 276	. 2 |- ( ( Rel A /\ A e. V ) -> ( x e. A |-> U. `' { x } ) : A -1-1-onto-> `' A )
6		f1oen2g 6755	. 2 |- ( ( A e. V /\ `' A e. _V /\ ( x e. A |-> U. `' { x } ) : A -1-1-onto-> `' A ) -> A ~~ `' A )
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1238	1 |- ( ( Rel A /\ A e. V ) -> A ~~ `' A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2148   _Vcvv 2738   {csn 3593   U.cuni 3810   class class class wbr 4004   |-> cmpt 4065   `'ccnv 4626   Rel wrel 4632   -1-1-onto->wf1o 5216   ~~ cen 6738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2740  df-sbc 2964  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-en 6741

This theorem is referenced by:  cnvct  6809  relcnvfi  6940