Theorem cnvct 6877

Description: If a set is dominated by om, so is its converse. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cnvct	|- ( A ~<_ om -> `' A ~<_ om )

Proof of Theorem cnvct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5048	. . . 4 |- Rel `' A
2		ctex 6821	. . . . 5 |- ( A ~<_ om -> A e. _V )
3		cnvexg 5208	. . . . 5 |- ( A e. _V -> `' A e. _V )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( A ~<_ om -> `' A e. _V )
5		cnven 6876	. . . 4 |- ( ( Rel `' A /\ `' A e. _V ) -> `' A ~~ `' `' A )
6	1, 4, 5	sylancr 414	. . 3 |- ( A ~<_ om -> `' A ~~ `' `' A )
7		cnvcnvss 5125	. . . 4 |- `' `' A C_ A
8		ssdomg 6846	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( `' `' A C_ A -> `' `' A ~<_ A ) )
9	2, 7, 8	mpisyl 1457	. . 3 |- ( A ~<_ om -> `' `' A ~<_ A )
10		endomtr 6858	. . 3 |- ( ( `' A ~~ `' `' A /\ `' `' A ~<_ A ) -> `' A ~<_ A )
11	6, 9, 10	syl2anc 411	. 2 |- ( A ~<_ om -> `' A ~<_ A )
12		domtr 6853	. 2 |- ( ( `' A ~<_ A /\ A ~<_ om ) -> `' A ~<_ om )
13	11, 12	mpancom 422	1 |- ( A ~<_ om -> `' A ~<_ om )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   C_ wss 3157   class class class wbr 4034   omcom 4627   `'ccnv 4663   Rel wrel 4669   ~~ cen 6806   ~<_ cdom 6807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-en 6809  df-dom 6810

This theorem is referenced by: (None)