Theorem cnvct 7050

Description: If a set is dominated by om, so is its converse. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
cnvct	|- ( A ~<_ om -> `' A ~<_ om )

Proof of Theorem cnvct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5140	. . . 4 |- Rel `' A
2		ctex 6990	. . . . 5 |- ( A ~<_ om -> A e. _V )
3		cnvexg 5300	. . . . 5 |- ( A e. _V -> `' A e. _V )
4	2, 3	syl 14	. . . 4 |- ( A ~<_ om -> `' A e. _V )
5		cnven 7049	. . . 4 |- ( ( Rel `' A /\ `' A e. _V ) -> `' A ~~ `' `' A )
6	1, 4, 5	sylancr 414	. . 3 |- ( A ~<_ om -> `' A ~~ `' `' A )
7		cnvcnvss 5217	. . . 4 |- `' `' A C_ A
8		ssdomg 7018	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( `' `' A C_ A -> `' `' A ~<_ A ) )
9	2, 7, 8	mpisyl 1492	. . 3 |- ( A ~<_ om -> `' `' A ~<_ A )
10		endomtr 7030	. . 3 |- ( ( `' A ~~ `' `' A /\ `' `' A ~<_ A ) -> `' A ~<_ A )
11	6, 9, 10	syl2anc 411	. 2 |- ( A ~<_ om -> `' A ~<_ A )
12		domtr 7025	. 2 |- ( ( `' A ~<_ A /\ A ~<_ om ) -> `' A ~<_ om )
13	11, 12	mpancom 422	1 |- ( A ~<_ om -> `' A ~<_ om )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   C_ wss 3211   class class class wbr 4109   omcom 4712   `'ccnv 4748   Rel wrel 4754   ~~ cen 6973   ~<_ cdom 6974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-en 6976  df-dom 6977

This theorem is referenced by: (None)