ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnvct Unicode version

Theorem cnvct 6459
Description: If a set is countable, so is its converse. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
cnvct  |-  ( A  ~<_  om  ->  `' A  ~<_  om )

Proof of Theorem cnvct
StepHypRef Expression
1 relcnv 4768 . . . 4  |-  Rel  `' A
2 ctex 6403 . . . . 5  |-  ( A  ~<_  om  ->  A  e.  _V )
3 cnvexg 4925 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  `' A  e.  _V )
42, 3syl 14 . . . 4  |-  ( A  ~<_  om  ->  `' A  e.  _V )
5 cnven 6458 . . . 4  |-  ( ( Rel  `' A  /\  `' A  e.  _V )  ->  `' A  ~~  `' `' A )
61, 4, 5sylancr 405 . . 3  |-  ( A  ~<_  om  ->  `' A  ~~  `' `' A )
7 cnvcnvss 4842 . . . 4  |-  `' `' A  C_  A
8 ssdomg 6428 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( `' `' A  C_  A  ->  `' `' A  ~<_  A )
)
92, 7, 8mpisyl 1378 . . 3  |-  ( A  ~<_  om  ->  `' `' A  ~<_  A )
10 endomtr 6440 . . 3  |-  ( ( `' A  ~~  `' `' A  /\  `' `' A  ~<_  A )  ->  `' A  ~<_  A )
116, 9, 10syl2anc 403 . 2  |-  ( A  ~<_  om  ->  `' A  ~<_  A )
12 domtr 6435 . 2  |-  ( ( `' A  ~<_  A  /\  A  ~<_  om )  ->  `' A  ~<_  om )
1311, 12mpancom 413 1  |-  ( A  ~<_  om  ->  `' A  ~<_  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1436   _Vcvv 2614    C_ wss 2986   class class class wbr 3814   omcom 4371   `'ccnv 4403   Rel wrel 4409    ~~ cen 6388    ~<_ cdom 6389
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2616  df-sbc 2829  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-id 4087  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-res 4416  df-ima 4417  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-fo 4978  df-f1o 4979  df-fv 4980  df-1st 5849  df-2nd 5850  df-en 6391  df-dom 6392
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator